Tomasz Odrzygóźdź Zadanie 13* z serii 1 Udowodnij, ze jesli Xn

Tomasz Odrzygóźdź
Zadanie 13* z serii 1
Udowodnij, ze jesli Xn ⇒ X, p > 0 oraz supn E|Xn |p < 1, to E|X|p < 1,
ale niekoniecznie E|Xn |p → E|X|p . Pokaz, ze jest to jednak prawda, gdy dla
pewnego ε > 0, supn E|Xn |p+ε < ∞.
Najpiew zajmijmy się pierwszą częścią zadania. Przypuścmy nie wprost, że
istnieje rodzina zmiennych Xn zbieżna do X według rozkładu, oraz supn E|Xn |p <
∞, ale E|X|p = ∞.
Niech
C = supn E|Xn |p . Ponieważ E|X|p = ∞ istnieje taki przedział [−n, n],
Rn
że −n |x|p > 2C + 2. Niech f będzie dowolną funkcją ciągłą, nieujemną o
nośniku zawartym w [−n − 1, n + 1] taką, że:
∀x∈[−n,n] f (x) = |x|p .
Wtedy f dµXn →
f dµX . RJednak ∀n f dµXn ¬ E|Xn |p ¬ C. Z drugiej zaś
R
n
strony mamy, że f dµX ­ −n
|X|p ­ 2C + 2. Otrzymujemy sprzeczność.
R
R
R
Przykład pokazujący, że niekoniecznie E|Xn |p → E|X|p . Niech Xn = 1 −
1 √
δ p n , zaś X = δ0 . Wtedy Xn ⇒ X, ale E|Xn |p = 2, zaś E|X|p = 1.
n
1
n
δ0 +
Załóżmy teraz, że dla pewnego ε > 0 zachodzi D := supn E|Xn |p+ε < ∞.
Wybierzmy dowolnie ε2 > 0. Wtedy istnieje takie k, że dla każdego x > k
zachodzi |x|− < ε2 . Wobec tego:
Z ∞
k
p
|x| dµXn =
Z ∞
p+ε
|x|
k
−ε
|x| dµXn ¬ ε2
Z ∞
k
|x|p+ε ¬ ε2 D
Zauważmy, że powyższe oszacowanie nie zależy od n. Z pierwszej części
zadania wiemy, że E := E|X|p < ∞. Analogicznie jak poprzednio otrzymujemy, że:
Z ∞
k
|x|p ¬ ε2 E
Niech tym razem f będzie dowolną funkcją ciągłą, nieujemną o nośniku
zawartym w [−k − 1, k + 1] o tej własności, że:
∀x∈[−k,k] f (x) = |x|p .
1
Zauważmy, że:
Z
Z
f dµXn ¬ E|Xn |p ¬
p
f dµX ¬ E|Xn | ¬
Z
Z
f dµXn + 2ε2 D
f dµX + 2ε2 E
Ponieważ zmienne Xn zbiegają do X według rozkładu, wiemy że: f dµXn →
f dµX . Dobierając coraz mniejsze ε2 oraz odpowiadające im funkcje f dostajemy żądaną zbieżność.
R
R
2