Przykład 3.3.

Przykład 3.3. Łańcuch kinematyczny o 2 stopniach swobody
Znane są prędkości leżących na jednym
poziomie podpór przesuwnych oznaczonych na
rysunku 3.A jako punkty A, B. Wynoszą one
V A = Vo
, VB = 2Vo .
Wyznaczyć prędkość punktu C, łączącego pręty.
rys. 3. A
ROZWIĄZANIE
Ruch płaski każdego z prętów 1 i 2 przedstawimy jako superpozycję ruchu
postępowego określonego przez ruch bieguna (wybranego dla danego pręta) i ruchu
obrotowego wokół tego bieguna.
Dla tarczy 1 jako biegun ruchu obrotowego przyjmiemy podporę A. Prędkość przegubu C
traktowanego jako punkt tarczy 1 możemy wówczas przedstawić jako sumę
VC = V A + VC / A
(*)
Przyjmując podporę B jako biegun ruchu obrotowego tarczy 2, możemy prędkość punktu C
przedstawić równocześnie jako
VC = VB + VC / B
(**)
Z porównanie równań (*) i (**) uzyskujemy (zilustrowane na rys. 3.B) równanie
V A + VC / A = VB + VC / B
(***)
rys. 3. B
Równanie (***) pozwala na wyznaczenie wartości wektorów VC / A i VC / B . Oczywiście dla
określenia szukanej prędkości wystarczy wyznaczyć tylko jedną z niewiadomych. Wartość
wektora VC / B możemy znaleźć rzutując wektory występujące w równaniu (***) na oś ξ,
prostopadłą do wektora VC / A . Uzyskujemy równanie
1
V A cos 60 o = VC / B cos 15 o + VB cos 30 o ,
a po podstawieniu wartości V A , V B
0 .5 ⋅ Vo = 0 .966 ⋅ VC / B + 1732
. ⋅ Vo ,
skąd VC / B = −1.28 ⋅Vo ( zwrot przeciwny do założonego na rys. 3.B). Szukana prędkość
przegubu C jest wypadkową wektorów VB i VC / B . Określenie wektora prędkości punktu C poprzez podanie składowych w prostokątnym układzie współrzędnych długości uzyskamy
rzutując wektory równania (**) na osie xy (rys.3.C):
. Vo ,
VC x = VB − VC / B cos 45 o = 110
VCy = −VC / B cos 45 o = − 0 .90Vo .
rys. 3. C
Długość wektora prędkości punktu C wynosi zatem
VC =
(VCx )2 + (VCy )
2
= 1.42Vo .
Rysunek 3.C ilustruje uzyskane wyniki.
Uwagi
• Do obliczenia prędkości punktu C można także zastosować twierdzenie o rzucie prędkości
dwóch punktów na łączącą je prostą. W tym celu wygodnie będzie przedstawić wektor VC
jako sumę wektorów VC x i VCy , a następnie zastosować twierdzenie o rzucie wektorów
prędkości na oś pręta 1 i pręta 2 (rys. 3.D).
rys. 3. D
2
Dla każdego z prętów, z twierdzenia o rzucie prędkości mamy:
VCξ = V Aξ
VCη = VBη .
i
Wykorzystując jednocześnie związek
( )
VCξ = (VCx )ξ + VCy
i
ξ
VC = VCx + VCy , uzyskujemy
( )
VCη = (VCx )η + VCy
η
.
Podstawiając otrzymujemy:
(VCx )ξ + (VCy )ξ = V Aξ
,
(VCx )η + (VCy )η = VBη
,
a po uwzględnieniu kątów nachylenia wektorów do osi prętów
VCx cos 30 o + VCy cos 60 o = V A cos 60 o ,
−VCx cos 45 o + VCy cos 45 o = −V B cos 45 o .
Z otrzymanego układu równań wyznaczamy długości wektorów VC x , VCy :
VCx =
VCy =
V A + VB
1+ 3
=
V A − 3VB
1+ 3
3
1+ 3
=−
. Vo ,
Vo = 110
2 3 −1
1+ 3
Vo = −0 .90 Vo .
• Wprowadzenie składowych VCx i VCy ułatwia wyznaczenie prędkości punktu C. Jeśli
bowiem dla opisu prędkości punktu C wprowadzimy wektor VC o nieznanej długości
i nachyleniu względem osi pręta to wyznaczenie niewiadomego wektora wymaga rozwiązania
układu równań trygonometrycznych.
3