Asymptotyczne zachowanie pewnych funkcji prawie okresowych

Adam Nawrocki
Asymptotyczne zachowanie pewnych funkcji
prawie okresowych względem miary Lebesgue’a
Jednym z najważniejszych uogólnień funkcji prawie okresowych w sensie Bohra są
funkcje prawie okresowe względem miary Lebesgue’a, wprowadzone przez Stiepanowa
w 1926 roku. Funkcja
f (x) =
1
√
2 + cos x + cos (x 2)
dla x ∈ R,
jest klasycznym przykładem nieograniczonej i ciągłej funkcji µ-prawie okresowej.
Dla tej funkcji zachodzi
e−x
√ = 0.
x→+∞ 2 + cos x + cos (x 2)
lim
W referacie omówimy ideę dowodu powyższej równości, w którym wykorzystuje się
aproksymacje diofantyczne oraz wskażemy pewną ogólną metodę obliczania granic.
√
Dalej, rozważymy, czy zamiana liczby 2 na inną liczbę niewymierną może znacząco
wpłynąć na zachowanie badanej funkcji. Dokładniej, omówimy konstrukcję liczby
niewymiernej α takiej, że granica
e−x
x→+∞ 2 + cos x + cos (xα)
lim
nie będzie istnieć.