Przestrzenie metryczne

11.1 Definicja metryki
Odległością (lub metryką) na zbiorze X nazywamy funkcję d:XxX-> spełniającą poniższe
warunki:
10 warunek zerowania
∀ ,
d(x,y)=0
x=y
0
2 warunek symetrii
∀ ,
d(x,y)=d(y,x)
30 warunek trójkąta
∀ , ,
d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)
Zauważmy, że z powyższych warunków wynika, iż
∀ ,
d(x,y)≥0
Gdyby bowiem istniały x,ycX takie, że d(x,y)<0, to byłoby:
0=d(x,x)≤d(x,y)+d(y,x)<0
co jest niemożliwe.
.
Parę <X,d> nazywamy przestrzenią metryczną.
Pojęcie metryki jest uogólnieniem zwykłej odległości punktów na prostej Rm danej wzorem
d(x,y)= ∑ ( − )
gdzie
x=(x1,...xm), y=(y1,...ym).Odległóść ta nazywana bywa metryką euklidesową.
Natomiast metrykę dyskretną na X=R2 opisujemy następująco
q(x,y)=|x1-y1|+|x2-y2|
Przykłady metryki:
1)X=R q(x,y)=|x2-y2|
dla x,y,z ∈X mamy
1) 2 2
|x -y |=0 <=> x=y
załóżmy ,że x=y => x2=y2 => x2-y2=0 =>|x2-y2|=0
załóżmy ,że |x2-y2|=0 =>x2-y2=0 => x2=y2 =>x=y v x=-y
np. x=2 ^ y=-2 q(x,y)=0 ^ x≠y
nie jest to metryka
Przykład 2:
X=R q(x,y)=|x-y|
dla każdego x,y,z ∈X mamy
1) |x-y|=0 <=> x-y=0 <=> x=y
2) |y-x|=|(-1)(x-y)| =>|-1||x-y| =>|x-y|
3) |x-z|=|x-y+y-z|≤|x-y|+|y-z|
jest to metryka
Przykład 3:
q(x,y)= 0 gdy x=y
1 gdy x≠y
X -dowlony zbiór
1) oczywisty
2) I przypadek jeśli q(x,y)=0 =>x=y => 0=q(y,x)
II przypadek jeśli q(x,y)=1 => x≠y => q(y,x)=1 =>(q(x,y)=q(y,x))
3) jeśli x≠y to przynajmniej jeden z warunków x≠z,z≠y jest spełniony Zatem
q(x,y)=1 ^ q(x,z)+ q(z,y)≥1
jest to zatem metryka
11.2 Podać definicję kuli w przestrzeni metrycznej. Podać przykłady.
Co to jest zbiór ograniczony?
Definicja kuli :
Kulą otwartą o środku 0 ∈ i promieniu > 0 w przestrzeni metrycznej ( x, d ) nazywamy
zbiór: ( , ) = { ∈ : !( , ) < } i oznaczamy ją $( 0 , )
Kulą domkniętą o środku 0 ∈ i promieniu > 0 w przestrzeni metrycznej ( x, d ) nazywamy
zbiór ( , ) = { ∈ : !( , ) ≤ } i oznaczamy ją $( 0 , )
Przykłady: Znaleźć kulę
&
&
&
1 . ( N, d ); d (m,n) = | ' − ( | dla K ( 1, * ) . Kula otwarta
1
1
1
1
K ( 1, 3 ) = { x ϵ N: d (m,n) < 3 } = { x ϵ N : | − 1| < 3 }
1
1
− 1 < 3
i
1
1
− 1 > − 3
1
Rozwiązanie K ( 1, 3 ) = { 1 }.
&
&
2. (N, d ); d (m,n) = | ' − ( | dla K (2, 3) . Kula otwarta
1
1
K ( 2, 3) = { x ϵ N: d (m,n) < 3 } = { x ϵ N : | − 2 | < 3 }
Rozwiązanie K (2,3) =
.
3. (2,3) , d (x, y) = |x – y| , x ϵ R. Kula domknięta
$ ( 2, 3) = { x ϵ R: d (m,2) 3 } = { x ϵ R : | − 2| ≤ 3 }
− 2 ≤ 3+ − 2 ≥ −3
Rozwiązanie $ (2,3) = [ -1, 5]
4. (
-
= {(
= {(
1 2)
1
1
1
, !) , d (x,y ) = { max { | & − .& |, | - − .- |}, ((&, &), *)}. Kula otwarta
$/(1,1), 30 = {( 1 2 ) ∈ 2 2 ∶ max{| 1 − 1|, | 2 − 1|} < 3}
= 4( 1 2 ) ∈ 2 2 ∶5 1 − 1| < 3+| 2 − 1| < 3}
∈ 2 2 :(
2
2) ∈ 2 ∶ (
− 1 < 3+ 1 − 1 > −3)+( 2 − 1 < 3+ 2 − 1 > −3}
< 4+ 1 > −2)+( 2 < 4+ 2 > −2)}
Zbór ograniczony:
Zbiór A zawarty w przestrzeni metrycznej jest ograniczony, jeżeli istnieje kula K o środku x, taka że
A c K.
11.3. Definicja ciągu i granicy ciągu
Niech <X,d> będzie przestrzenią metryczną. Rozważmy ciąg ( 6 )7
6
Mówimy, że ciąg (xn) jest zbieżny jeśli posiada granicę ∈ , tzn.
∀89: ∃6< ∀696< =( 6 , ) < >
Piszemy wtedy lim6→7 6 = .
lim6→7 =( 6 , ) = 0
Mamy, że lim6→7 6 =
Przykład.
∈ = (0, +∞) =( , ) = | + |
6 =6
Przypuśćmy, że
lim6→7
6
=
: ⇔
lim6→7 IJ6K −
0 = lim =(
: I= Mlim(NO )
6→7
6 nie jest zbieżny
6, :)
−
= lim6→7 HIJ6K −
:M
= |0 −
:
:|
=
≠ 0
: IL
o wyrazach ze zbioru X.
=
:
11.4 Definicja granicy funkcji w sensie Cauchy’ego i sensie Heinego.
Niech ( , =) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że punkt : ∈ jest punktem skupienia
zbioru Q ⊂ jeśli istnieje ciąg ( 6 ) ⊂ Q taki, że 6 ≠ : dla S ∈ ℕ oraz lim6→7 6 = : . Innymi
słowy dla dowolnej kuli $( : , U) istnieje ≠ : taki, że ∈ Q ∩ $( : , U).
Niech ( , = ), ( , =W ) będą przestrzeniami metrycznymi, Q ⊂ niepustym zbiorem, X: Q → Y
dowolną funkcją.
Mówimy, że Z ∈ Y jest granicą funkcji X w sensie Cauchy’ego w punkcie [będącym punktem
skupienia zbioru Q, co zapisujemy lim →\ X( ) = Z, gdy
∀89: ∃]9: ∀ 0 < = ( , [) < U ⇒ =W (X( ), Z) < >
Mówimy, że Z ∈ Y jest granicą funkcji X w sensie Heinego w punkcie [będącym punktem
skupienia zbioru Q, co zapisujemy lim →\ X( ) = Z, gdy dla dowolnego ciągu ( 6 ) ⊂ Q takiego,
że
6
≠
:
dla S ∈ ℕ oraz lim6→7
=
6
:
zachodzi warunek
lim X( 6 ) = Z.
6→7
Twierdzenie. Obie definicje granicy są równoważne.
11.5 Podać definicję funkcji ciągłej dla funkcji o dziedzinie i wartościach w przestrzeniach
metrycznych.
Niech (x,d), (y,p) – przestrzeń metryczna, D c X, D ≠ ∅ ,
Def: Funkcję f nazywamy ciągłą w
o Warunek Heinego
∀{
6
∞
b }bc1
→
:
de((
6
0,
→
jeżeli
0 )
=> X(
po d w metryce (x,d) ; X(
o Warunek Cauchye`go
∀890 ∃]90 ∀
∈f (=(
,
∈ `, f: ` → a
0)
6)
6)
→ X( 0 ))
→ X( : ) po p w metryce (y,p).
< U => g/X( ), X( 0 )0 < >
f- ciągła, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie zbioru D.
11.6 Definicja przestrzeni topologicznej
Przestrzenią topologiczną nazywamy parę <X,TX>, gdzie ≠ ∅ i TX jest pewną rodziną
podzbiorów przestrzeni X taką, że:
10 ∅hi i XcTX
20 ∀j,k lm Q ∩ nhi
30 ∀(jo)⊂lm ⋃q Qq ∈ i
(TX nazywamy topologią, a zbiory tej rodziny nazywają się zbiorami otwartymi)
TOPOLOGIA NAJUBOŻSZA- zawiera tylko zbiór pusty i przestrzeń X
TOPOLOGIA NAJBOGATSZA- zawiera wszystkie podzbiory
Niech <X,d> będzie przestrzenią metryczną.
Definicja zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej
Podzbiór A przestrzeni metrycznej <X,d> jest zbiorem otwartym w X, gdy jest pusty albo gdy dla
każdego jego punktu x istnieje kula o środku xcA:
∀ j ∃r9: $( , )cA
Rodzina T wszystkich zbiorów otwartych jest topologią w przestrzeni X – tak zwaną topologią
wyznaczoną przez metrykę d.
Zbiór AcX nazywamy zbiorem domkniętym, jeśli \Q jest otwarty.