Wybrane rozdziały analizy i topologii 1 Kolokwium 1

Wybrane rozdziały analizy i topologii 1
Kolokwium 1
2010-2011 zimowy
1. Znajdź wnętrze, domknięcie i brzeg poniższych zbiorów oraz rozstrzygnij, czy zbiory te są
ograniczone, zupełne, zwarte, gęste, brzegowe:
1. [−1,1) × (1,3] w (ℝ2 , 𝑑𝐸 )
2. [−1,1] × [1,3] w (ℝ2 , 𝑑𝑅 )
3. [0, ∞) 𝑤 ℝ 𝑧 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦𝑘ą 𝑑𝑦𝑠𝑘𝑟𝑒𝑡𝑛ą
2. Pokaż, że w dowolnej przestrzeni metrycznej dla niepustych zbiorów 𝐴, 𝐵 mamy
𝐶𝑙(𝐼𝑛𝑡(𝐴)) ⊂ 𝐶𝑙(𝐼𝑛𝑡(𝐶𝑙(𝐴)))
oraz
𝐵𝑑(𝐴 ∪ 𝐵) ⊂ 𝐵𝑑(𝐴) ∪ 𝐵𝑑(𝐵).
Czy powyższe stwierdzenia są prawdziwe, jeśli inkluzje zastąpimy równościami?
3. Podaj przykład (o ile istnieje) lub krótko uzasadnij, że nie istnieje:
1. Otwartego i gęstego podzbioru (ℝ, 𝑑𝐸 )
2. Domkniętego i brzegowego podzbioru (ℝ, 𝑑𝐸 )
3. Zbioru o średnicy 1 w (ℝ2 , 𝑑𝑇 )
4. Zbioru nieograniczonego w ℝ z metryką dyskretną
5. Przestrzeni metrycznej zupełnej, która nie jest zwarta
6. Przestrzeni metrycznej ośrodkowej, która nie jest zwarta
7. Przestrzeni metrycznej zupełnej, która nie jest ośrodkowa
𝑛𝑎
8. Funkcji ciągłej 𝑓: (ℝ, 𝑑𝐸 ) → (ℝ, 𝑑𝐸 ) takiej, że obraz pewnego zbioru otwartego nie
jest zbiorem otwartym
𝑛𝑎
9. Funkcji ciągłej 𝑓: ([0,1], 𝑑𝐸 ) → ((−4,2), 𝑑𝐸 )
𝑛𝑎
10. Funkcji ciągłej 𝑓ℝ, 𝑑𝐸 ) → ([0,10], 𝑑𝐸 )
4. Sprawdź, czy 𝑑: ℝ → ℝ jest metryką na ℝ, jeśli
𝑑(𝑥, 𝑦) = ln(1 + |𝑥 − 𝑦|)
5. Sprawdź, że (ℝ, 𝑑) jest przestrzenią metryczną dla
𝑑(𝑥, 𝑦) = min(1, |𝑥 − 𝑦|).
Co możesz powiedzieć o zupełności tej przestrzeni?