Badanie koncentracji naprężeń

Badanie koncentracji naprężeń - doświadczalne wyznaczanie
współczynnika kształtu
oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski
1. Wstęp
Występowaniu skokowych zmian kształtu obciążonego elementu, obecności
otworów, wcięć lub szczelin, a także lokalnych oddziaływań innych elementów
(obciążeń skupionych lub działających na niewielkim obszarze) towarzyszy
koncentracja naprężeń. Maksymalne wartości naprężeń mogą znacznie przekraczać
wartości dopuszczalne (obliczane z reguły przy założeniu ich równomiernego lub
wolnozmiennego charakteru rozkładu), a miejsca ich występowania to z reguły
obszary powstawania pęknięć zmęczeniowych lub uszkodzeń o charakterze doraźnym.
Występowanie spiętrzeń naprężeń jest wiązane z pojęciem zbiorów: wypukłego i
niewypukłego [1]. W pierwszym przypadku, odcinek łączący dwa punkty tego zbioru
przebiega wewnątrz zbioru, natomiast w drugim – istnieją odcinki, które nie spełniają
tego warunku – rys. 1.
a)
b)
Rys. 1. Zbiory: a) wypukły, b) niewypukły
W praktyce, wpływ ukształtowania danego elementu na zjawisko koncentracji
naprężeń może być uwzględniony za pomocą współczynnika koncentracji naprężeń
definiowanego ogólnie jako:
αk = σmax/σnom
(1)
Występujące we wzorze (1) naprężenie nominalne σnom jest najczęściej obliczane przy
założeniu równomiernego charakteru rozkładu naprężeń, np. nieuwzględniającego
występowanie skokowej zmiany kształtu, obecności otworu, itp.. Wartość
współczynnika αk można wyznaczyć w niektórych przypadkach analitycznie lub na
drodze obliczeń numerycznych (np.[2]). Jednak doświadczalne wyznaczanie
współczynnika koncentracji naprężeń jest równie efektywne, a nawet niezbędne, np. w
celu weryfikacji przyjętych w obliczeniach założeń i uproszczeń.
2. Cel ćwiczenia i obiekt badań
Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie współczynnika kształtu αk,
określającego wpływ geometrii obciążonego elementu na spiętrzenie naprężeń,
zdefiniowanego ogólnie za pomocą wzoru (1). Obiektem badań są rozciągane próbki o
przekroju prostokątnym (rys. 2).
1
PDF stworzony przez wersję demonstracyjną pdfFactory Pro www.pdffactory.pl/
a)
b)
2b
2R
R
2b1
2b
Rys. 1. Schematy badanych próbek
3. Obliczenia wartości współczynnika koncentracji naprężeń
W przypadku próbki pokazanej na rys. 2a, teoretyczną wartość współczynnika
koncentracji naprężeń można obliczyć na podstawie rozwiązania zadania Kirscha, tj.
rozkładu naprężeń w nieskończonej tarczy z kołowym otworem, jednokierunkowo
rozciąganej (rys. 3).
p
y
R
y=0
x
r
Θ
p
Rys. 3. Nieskończona tarcza z otworem kołowym – oznaczenia
2
PDF stworzony przez wersję demonstracyjną pdfFactory Pro www.pdffactory.pl/
Korzystając z potencjałów zespolonych opisujących pole naprężeń, uzyskuje się
wzory umożliwiające obliczenie składowych stanu naprężenia w dowolnym punkcie
tarczy (np.[3]), określonym we współrzędnych biegunowych (ρ,Θ), przy czym ρ= r/R:
σΘ = p[(1 + R2/ r2) – (1 + 3 R4/ r4) cos 2Θ]/2
σρ = p[(1 - R2/ r2) + (1 - 4 R2/ r2 + 3 R4/ r4) cos 2Θ]/2
(2)
τρΘ= -p[(1 + 2 R2/ r2 – 3 R4/ r4) sin 2Θ]/2
Łatwo wykazać, że dla r=R, tj. ρ=1, jest: σρ = τρΘ = 0, natomiast σΘ max= 3p,
przy czym naprężenie p jest naprężeniem działającym w obszarze niezakłóconym
przez otwór (w nieskończoności), a miejsce występowania maksymalnej wartości
naprężenia na krawędzi otworu określa kąt Θ = π/2 (y = 0). Tak więc, teoretyczna
teoret
wartość współczynnika koncentracji naprężenia wynosi: αk
= 3.
W przypadku próbek o skokowo zmiennej szerokości można przyjąć, że
współczynnik koncentracji naprężeń uwzględnia wartość σnom obliczoną dla szerszej
części próbki:
σnom= F / 2bt
(3)
gdzie: F – siła, t – grubość próbki,
stąd teoretyczna wartość współczynnika koncentracji naprężeń wynosi:
α kteoret= σmax/σnom= b / b1
(4)
bowiem naprężenie działające w węższej części próbki (co wynika z warunku
równowagi) ma wartość:
σ = F / 2b1t
(5)
4. Metoda pomiaru
Wartości współczynników kształtu, charakteryzujących koncentrację naprężeń w
pokazanych powyżej przypadkach, należy wyznaczyć metodą elastooptyczną [3].
Istotą elastooptyki jest wykorzystywanie światła, jako nośnika informacji, oraz
związku między właściwościami optycznymi niektórych materiałów, a polem
odkształceń (naprężeń). W szczególności, w tej metodzie pomiaru wykorzystywane
jest zjawisko polaryzacji światła oraz anizotropii optycznej (dwójłomności
wymuszonej) niektórych materiałów (np. szkła, żywicy epoksydowej, żelatyny).
Obserwacja w świetle spolaryzowanym, elementów lub modeli obiektów
rzeczywistych wykonanych z takich materiałów, pozwala zarejestrować efekty
optyczne w postaci prążków zwanych izochromami i izoklinami. Są one jednoznacznie
związane z polem odkształceń, a w zakresie liniowo-sprężystych odkształceń
materiału – również z polem naprężeń. Na ich podstawie można przeprowadzić
analizę rozkładu naprężeń normalnych i stycznych w analizowanym obszarze. W
szczególności, podstawowe równanie elastooptyki, wiąże różnicę naprężeń głównych
(σ1 – σ2) z efektem optycznym (rzędem izochromy N), równaniem o postaci:
3
PDF stworzony przez wersję demonstracyjną pdfFactory Pro www.pdffactory.pl/
σ1 – σ2 = N fσ
(6)
gdzie: fσ – tzw. naprężeniowa wartość rzędu izochromy.
W przypadku wyznaczenia tzw. parametru izokliny α, bezpośrednio z pomiaru
można wyznaczyć wartość naprężenia stycznego:
τxy = (N fσ sin 2α)/2
(7)
W ogólnym przypadku, w celu określenia składowych normalnych stanu
naprężenia, konieczne jest tzw. rozdzielenie naprężeń metodami numerycznymi lub z
wykorzystaniem wyników dodatkowych pomiarów wykonywanych innymi metodami.
Jednak na nieobciążonych, obciążeniami normalnymi lub stycznymi, krawędziach
badanych elementów jest σ2 = 0, tak więc wartość naprężenia działającego stycznie
do krawędzi jest wprost proporcjonalna do rzędu izochromy zmierzonego w danym jej
punkcie:
(σ1 )i = Ni fσ
(8)
co pozwala wyznaczać w takich przypadkach wartość naprężeń maksymalnych na
zasadzie pomiaru maksymalnej wartości rzędu izochromy.
Pożądany stan polaryzacji światła, umożliwiający śledzenie efektu dwójłomności,
uzyskuje się w tzw. polaryskopach. Są one wyposażone w elementy optyczne
umożliwiające uzyskanie światła o określonej polaryzacji (kołowej lub liniowej) oraz
analizę zmian wywołanych anizotropią optyczną badanego ośrodka. Typowy schemat
polaryskopu z transmisyjną wiązką światła pokazano na rys. 3.
zespół polaryzatora
zespół analizatora
źródło światła
kierunek obserwacji
badana próbka (model)
Rys. 3. Schemat polaryskopu transmisyjnego
5. Sprzęt pomiarowy i przebieg pomiarów
Pomiary realizowane są na stanowisku wyposażonym w polaryskop transmisyjny
f-my Carl Zeiss Jena, układ do realizacji obciążeń statycznych badanych próbek oraz
układ do rejestracji obrazów izochrom (np. aparat cyfrowy ze statywem).
W przypadku rozciągania pasma z otworem, współczynnik αk jest wyznaczany
dla próbek o zmiennej szerokości, dla stosunku R/b wynoszącego: 1.5; 2; 3 i 4, przy
stałej wartości promienia otworu R = 6 mm i wartości σnom = const. (tabela 1).
Natomiast próbki o skokowo zmiennej szerokości mają stały stosunek b/b1 i
zmienny promień R, wynoszący: ~ 0.0; 2.5; 4 .0 i 6.0 mm.
4
PDF stworzony przez wersję demonstracyjną pdfFactory Pro www.pdffactory.pl/
Szerokość i obciążenie badanych próbek
Próbka
b [mm]
F/FP1
P1
9.0
1.00
P2
12.0
1.33
P3
18.0
2.00
P4
24.0
2.66
Tabela 1.
6. Opracowanie danych uzyskanych z pomiarów
Obliczenie wartości współczynnika koncentracji naprężeń sprowadza się do:
a)
b)
c)
d)
e)
wyznaczenia, na podstawie zarejestrowanych obrazów izochrom
całkowitych (N = 0; 1; 2; …) i połówkowych (N = 0.5; 1.5; …)
wartości Nmax, dla określonej geometrii badanej próbki i poziomu
obciążenia,
obliczenia wartości σmax na podstawie wzoru (3),
obliczenia wartości σnom,
wyznaczenia wartości αk na podstawie wzoru (1),
sporządzenia wykresów αk jako funkcji stosunku R/b.
Na podstawie przeprowadzonej analizy danych pomiarowych należy określić:
1. wpływ skończonej szerokości rozciąganego pasma z otworem na spiętrzenie
naprężeń wokół otworu – wykres αk(R/b) oraz określić charakter rozkładu σΘ w
przekroju y=0 (Θ=π/2) - wzór (4) oraz wykresu N(x) w tym samym przekroju,
2. wpływ zmiany promienia R na spiętrzenie naprężeń w miejscu zmiany szerokości
(sztywności) pasma – wykres α k(R/b)
W obu przypadkach należy uzyskane rezultaty porównać z wartościami teoretycznymi
współczynników koncentracji naprężeń.
7. Sprawozdanie z ćwiczenia
Sprawozdanie powinno zawierać:
− schemat stanowiska pomiarowego i obciążenia próbek,
− charakterystyki badanych próbek (geometria, dane materiałowe),
− zdjęcia izochrom użytych do obliczeń współczynników koncentracji naprężeń,
w tym ewentualne wyniki ekstrapolacji rzędów izochrom,
− przykładowe obliczenia współczynników oraz wykresy αk(R/b),
− wnioski wynikające z przeprowadzonych doświadczeń.
5
PDF stworzony przez wersję demonstracyjną pdfFactory Pro www.pdffactory.pl/
Literatura
[1] Gawęcki A., Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych, wyd. Alma Mater,
Polit. Poznańska, 2003.
[2] Laboratorium wytrzymałości materiałów, pod red. K. Gołosia, Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 2000.
[3] Gabryszewski Z., Teoria sprężystości, skrypt Polit.Wrocławskiej, Wrocław, 1977.
6
PDF stworzony przez wersję demonstracyjną pdfFactory Pro www.pdffactory.pl/