5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne
pierwszego rzędu
5.1. Wstęp.
Definicja 5.1.
• Niech V ⊂ R3 będzie obszarem oraz F : V → R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci
F (x, y, y 0 ) = 0.
• Równanie różniczkowe postaci
y 0 = f (x, y),
(∗)
gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D ⊂ R2 , nazywamy równaniem różniczkowym rzędu pierwszego w postaci normalnej.
Definicja 5.2.
• Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania
(∗) nazywamy każdą funkcję ϕ : I → R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką,
że
V
ϕ0 (x) = f (x, ϕ(x)).
x∈I
Wykres funkcji ϕ nazywamy krzywą całkową równania (∗).
• Rozwiązaniem ogólnym równania (∗) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równania
(∗).
Definicja 5.3. Niech (x0 , y0 ) ∈ D. Zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem początkowym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania (∗), które spełnia
tzw. warunek początkowy ϕ(x0 ) = y0 .
Istnienie i jednoznaczność rozwiązania równania (∗):
Twierdzenie 5.4 (Peano). Niech D ⊂ R2 będzie obszarem oraz f : D → R. Jeśli funkcja f
jest ciągła, to dla dowolnego punktu (x0 , y0 ) ∈ D istnieje rozwiązanie ϕ równania (∗) spełniające
warunek ϕ(x0 ) = y0 (tzn. przez każdy punkt obszaru D przechodzi przynajmniej jedna krzywa
całkowa równania (∗)).
Twierdzenie 5.5 (Cauchy’ego-Piccard). Niech D ⊂ R2 będzie obszarem oraz f : D → R.
Jeśli funkcje f i fy0 są ciągłe na D, to dla dowolnego punktu (x0 , y0 ) ∈ D istnieje dokładnie jedno
rozwiązanie ϕ równania (∗) spełniające warunek ϕ(x0 ) = y0 .
24
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU
25
Uwaga 5.6. Jednoznaczność istnienia rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego rozumiemy następująco: jeśli funkcje ϕ : I → R oraz ψ : J → R (gdzie I, J są przedziałami otwartymi takimi,
że x0 ∈ I ∩ J) są rozwiązaniami równania (∗) spełniającymi warunek ϕ(x0 ) = ψ(x0 ) = y0 , to
V
ϕ(x) = ψ(x).
x∈I∩J
Interpretacja gemetryczna równania (∗):
5.2. Równanie o zmiennych rozdzielonych i równanie jednorodne względem x i y.
Definicja 5.7. Równaniem o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci
y 0 = h(x)g(y),
(ZR)
gdzie h : (a, b) → R oraz g : (c, d) → R.
Lemat 5.8. Jeśli y0 ∈ (c, d) oraz g(y0 ) = 0, to funkcja stała ϕ : (a, b) → R określona wzorem
ϕ(x) = y0 dla x ∈ (a, b),
jest rozwiązaniem równania (ZR). Jeśli h(x) 6= 0 dla pewnego x ∈ (a, b), to zachodzi również
stwierdzenie odwrotne.
Twierdzenie 5.9. Jeżeli h : (a, b) → R, g : (c, d) → R są funkcjami ciągłymi oraz g(y) 6= 0
dla każdego y ∈ (c, d), to dla dowolnego punktu (x0 , y0 ) ∈ (a, b) × (c, d) istnieje dokładnie jedno
rozwiązanie ϕ równania (ZR) spełniające warunek ϕ(x0 ) = y0 . Rozwiązanie to określone jest
wzorem
ϕ(x) = G−1 (H(x) − H(x0 ) + G(y0 )) dla x ∈ I ⊂ (a, b),
gdzie H i G są dowolnie ustalonymi funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji h i g1 .
Definicja 5.10. Równaniem jednorodnym względem x i y nazywamy równanie postaci
y
(J)
y 0 = f ( ),
x
gdzie f : (c, d) → R.
Uwaga 5.11. Równanie jednorodne (J) poprzez zamianę zmiennych
y = xt,
sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych
f (t) − t
t0 =
.
x
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU
26
5.3. Równanie liniowe i równanie Bernouliego.
Definicja 5.12. Niech p, q : (a, b) → R.
• Równanie postaci
y 0 + p(x)y = q(x)
(L)
nazywamy równaniem równaniem liniowym pierwszego rzędu.
• Jeśli q(x) = 0 dla x ∈ (a, b), to równanie (L) przyjmuje postać
y 0 + p(x)y = 0.
(LJ)
Równanie (LJ) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym.
Równanie liniowe, które nie jest równaniem jednorodnym nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym.
Twierdzenie 5.13. Jeśli p, q : (a, b) → R są funkcjami ciągłymi oraz (x0 , y0 ) ∈ (a, b) × R, to
istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania (L) określone na przedziale (a, b) i spełniające
warunek początkowy ϕ(x0 ) = y0 .
Lemat 5.14. Rozwiązanie ogólne równania (LJ) tworzą funkcje postaci
ϕ(x) = Ce−P (x) , C ∈ R,
gdzie P jest dowolnie ustaloną funkcją pierwotną funkcji p.
Twierdzenie 5.15. Niech p, q : (a, b) → R będą funkcjami ciągłymi oraz niech ϕs będzie
rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L). Wówczas ϕ jest rozwiązaniem równania
liniowego (L) ⇔ istnieje rozwiązanie ϕ0 równania jednorodnego (LJ) takie, że ϕ = ϕ0 + ϕs .
Metody wyznaczania rozwiązania szczególnego równania liniowego (L):
• metoda uzmienniania stałej (w oparciu o twierdzenie 5.16),
• metoda przewidywania (w oparciu o twierdzenia 5.17 i 5.18).
Twierdzenie 5.16. Niech p, q : (a, b) → R będą funkcjami ciągłymi. Jeśli P i C są dowolnie
ustalonymi funkcjami pierwotnymi, odpowiednio funkcji p i qeP , to funkcja postaci
ϕs (x) = C(x)e−P (x)
jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L).
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU
27
Twierdzenie 5.17. Jeśli Wn , Vm są wielomianami, odpowiednio stopnia n i m, zaś a, α, β ∈ R,
to równanie liniowe
y 0 + ay = [Wn (x) cos βx + Vm (x) sin βx]eαx
(LS)
ma rozwiązanie szczególne postaci
ϕs (x) = xk [Pl (x) cos βx + Ql (x) sin βx]eαx ,
gdzie Pl , Ql są wielomianami stopnia l = max{n, m} oraz
k=
(
1, gdy α = −a i β = 0,
0 w przeciwnym wypadku.
Twierdzenie 5.18. Niech q1 , q2 : (a, b) → R oraz a ∈ R. Jeśli ϕ1 jest rozwiązaniem szczególnym równania
y 0 + ay = q1 (x),
zaś ϕ2 jest rozwiązaniem szczególnym równania
y 0 + ay = q2 (x),
to funkcja ϕ1 + ϕ2 jest rozwiązaniem szczególnym równania
y 0 + ay = q1 (x) + q2 (x).
Definicja 5.19. Niech p, q : (a, b) → R oraz α ∈ R \ {0, 1}. Równanie postaci
y 0 + p(x)y = q(x)y α
(B)
nazywamy równaniem Bernouliego.
Uwaga 5.20.
1. Gdy w równaniu (B) α ∈ {0, 1}, to otrzymujemy równanie liniowe.
2. Jeśli α > 0, to funkcja
ϕ(x) = 0 dla x ∈ (a, b),
jest rozwiązaniem szczególnym równania (B).
3. Równanie Bernouliego (B) sprowadzamy do równania liniowego stosując podstawienie
y = tα−1 .
6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-TEGO RZĘDU.
28
6. Równania różniczkowe zwyczajne
n-tego rzędu.
6.1. Wstęp
Definicja 6.1.
• Niech n ∈ N, V ⊂ Rn+2 będzie obszarem oraz F : V → R. Równaniem różniczkowym
zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie postaci
F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0.
• Równanie różniczkowe postaci
y (n) = f (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n−1) ),
(∗n )
gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D ⊂ Rn+1 , nazywamy równaniem
różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu w postaci normalnej.
Definicja 6.2.
• Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania
(∗n ) nazywamy każdą funkcję ϕ : I → R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką,
że
V
ϕ(n) (x) = f (x, ϕ(x), ϕ0 (x), ϕ00 (x), . . . , ϕ(n−1) (x)).
x∈I
• Rozwiązaniem ogólnym równania (∗n ) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równania (∗n ).
Definicja 6.3. Niech (x0 , y0 , y1 , . . . , yn−1 ) ∈ D. Zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem
początkowym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania (∗n ),
które spełnia tzw. warunki początkowe:
ϕ(x0 ) = y0 , ϕ0 (x0 ) = y1 , . . . , ϕ(n−1) (x0 ) = yn−1 .
Definicja 6.4. Zagadnieniem brzegowym nazywamy zadanie polegające na znalezieniu
rozwiązania ϕ równania
y 00 = f (x, y, y 0 ),
które spełnia tzw. warunki brzegowe: ϕ(x1 ) = y1 , ϕ(x2 ) = y2 , x1 6= x2 .
(∗2 )
6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-TEGO RZĘDU.
29
6.2. Równania rzędu drugiego sprowadzalne
do równań rzędu pierwszego.
Pewne typy równań rzędu drugiego można sprowadzić do równań rzędu pierwszego stosując
odpowiednie podstawienia:
r. r. rzędu 2
podstawienie
r. r. rzędu 1
F (x, y 0 , y 00 ) = 0
y 0 = u(x)
F (x, u, u0 ) = 0
F (y, y 0 , y 00 ) = 0
y 0 = u(y)
F (y, u, u du
)=0
dy
6.3. Równanie liniowe n-tego rzędu.
Definicja 6.5. Niech pn−1 , pn−2 , . . . , p1 , p0 , q : (a, b) → R.
• Równanie postaci
y (n) + pn−1 (x)y (n−1) + pn−2 (x)y (n−2) + . . . + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = q(x)
(Ln )
nazywamy równaniem równaniem liniowym n-tego rzędu.
• Jeśli q(x) = 0 dla x ∈ (a, b), to równanie (Ln ) przyjmuje postać
y (n) + pn−1 (x)y (n−1) + pn−2 (x)y (n−2) + . . . + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = 0.
(LJn )
Równanie (LJn ) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym n-tego rzędu.
Twierdzenie 6.6. Jeśli pn−1 , pn−2 , . . . , p1 , p0 , q : (a, b) → R są funkcjami ciągłymi oraz
(x0 , y0 , y1 , . . . , yn−1 ) ∈ (a, b) × Rn , to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ (określone na
(a, b)) równania liniowego (Ln ) takie, że
ϕ(x0 ) = y0 , ϕ0 (x0 ) = y1 , . . . , ϕ(n−1) (x0 ) = yn−1 .
Dalej zakładamy, że funkcje pn−1 , pn−2 , . . . , p1 , p0 oraz q są ciągłe na (a, b).
Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJn ) :
Niech V0 oznacza rodzinę wszystkich funkcji określonych na przedziale (a, b) i będących rozwiązaniami równania (LJn ). Wówczas
1. V0 ⊂ C (n) (a, b),
2.
V
V
ϕ∈V0 k∈R
3.
V
ϕ, ψ∈V0
kϕ ∈ V0 ,
ϕ + ψ ∈ V0 ,
co oznacza, że V0 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni C (n) (a, b).
Twierdzenie 6.7. dim V0 = n.
6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-TEGO RZĘDU.
30
Definicja 6.8. Każdą bazę przestrzeni V0 nazywamy fundamentalnym układem rozwiązań
równania (LJn ).
Uwaga 6.9. Na mocy powyższego twierdzenia, fundamentalnym układem rozwiązań równania
(LJn ) jest każdy układ funkcji ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ∈ V0 , który jest liniowo niezależny (lnz) a więc
taki, że
V
α1 ,α2 ,... ,αn ∈R
[(α1 ϕ1 + α2 ϕ2 + · · · + αn ϕn = 0) ⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0].
Definicja 6.10. Niech ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ∈ C (n) (a, b) oraz x ∈ (a, b). Wyznacznik
def W(ϕ1 ,ϕ2 ,... ,ϕn ) (x) = ϕ1 (x)
ϕ01 (x)
...
(n−1)
ϕ1
(x)
ϕ2 (x)
ϕ02 (x)
...
(n−1)
ϕ2
(x)
...
...
...
...
ϕn (x)
ϕ0n (x)
...
ϕ(n−1)
(x)
n
nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (wrońskianem) układu funkcji (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ) w
punkcie x.
Twierdzenie 6.11. Niech ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ∈ V0 .
Układ (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ) jest lnz
⇔
istnieje x0 ∈ (a, b) taki, że W(ϕ1 ,ϕ2 ,... ,ϕn ) (x0 ) 6= 0.
Twierdzenie 6.12. Jeśli funkcje ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn stanowią fundamentalny układ rozwiazań równania (LJn ), to rozwiązanie ogólne równania (LJn ) tworzą funkcje postaci
ϕ(x) = C1 ϕ1 (x) + C2 ϕ2 (x) + · · · + Cn ϕn (x), C1 , C2 , . . . , Cn ∈ R.
Twierdzenie 6.13. Jeśli ϕ1 : I → R jest rozwiązaniem równania (LJ2 ) takim, że ϕ1 (x) 6= 0
dla x ∈ I, zaś P1 jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p1 , to funkcja określona wzorem
ϕ2 (x) = ϕ1 (x)
Z
e−P1 (x)
dx
ϕ21 (x)
jest również rozwiązaniem równania (LJ2 ). Ponadto funkcje ϕ1 , ϕ2 są lnz.
Rozwiązanie ogólne równania liniowego (Ln ):
Twierdzenie 6.14. Niech ϕs będzie rozwiązaniem szczególnym równania (Ln ). Wówczas ϕ
jest rozwiązaniem równania liniowego (Ln ) ⇔ istnieje rozwiązanie ϕ0 równania (LJn ) takie, że
ϕ = ϕ0 + ϕs .
Wniosek 6.15. Jeśli funkcje ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn stanowią fundamentalny układ rozwiązań równania
(LJn ) oraz ϕs jest rozwiązaniem szczególnym równania (Ln ), to rozwiązanie ogólne równania
(Ln ) tworzą funkcje postaci
ϕ(x) = C1 ϕ1 (x) + C2 ϕ2 (x) + · · · + Cn ϕn (x) + ϕs (x),
C1 , C2 , . . . , Cn ∈ R.
6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-TEGO RZĘDU.
31
Rozwiązanie szczególne równania liniowego (Ln ):
Twierdzenie 6.16. Załóżmy, że funkcje ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn stanowią fundamentalny układ rozwiązań równania (LJn ). Wówczas funkcja postaci
ϕs (x) = C1 (x)ϕ1 (x) + C2 (x)ϕ2 (x) + · · · + Cn (x)ϕn (x)
jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (Ln ), gdy funkcje C1 , C2 , . . . , Cn : (a, b) → R
są rozwiązaniami układu równań
 0
C 1 ϕ1




0
0


 C 1 ϕ1
+C20 ϕ2
+C20 ϕ02
+ · · · + Cn0 ϕn
+ · · · + Cn0 ϕ0n
= 0,
= 0,
...

(n−2)


C 0 1 ϕ1



 0 (n−1)
C 1 ϕ1
(n−2)
+C20 ϕ2
+ · · · + Cn0 ϕ(n−2)
= 0,
n
0 (n−1)
0 (n−1)
+C2 ϕ2
+ · · · + Cn ϕn
= q.
6.4. Równanie liniowe n-tego rzędu o stałych
współczynnikach.
Definicja 6.17. Równanie postaci
y (n) + an−1 y (n−1) + an−2 y (n−2) + · · · + a1 y 0 + a0 y = q(x),
(LSn )
gdzie an−1 , an−2 , . . . , a1 , a0 ∈ R, q : (a, b) → R, nazywamy równaniem równaniem liniowym
n-tego rzędu o stałych współczynnikach.
Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJSn ):
Definicja 6.18. Równanie
rn + an−1 rn−1 + an−2 rn−2 + · · · + a1 r + a0 = 0
nazywamy równaniem charakterystycznym równania liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach
y (n) + an−1 y (n−1) + an−2 y (n−2) + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0.
(LJSn )
Fundamentalny układ rozwiązań równania (LJSn ) można wyznaczyć przy pomocy pierwiastków równania charakterystycznego, korzystając z następującego faktu:
Twierdzenie 6.19. Niech r będzie rozwiązaniem równania charakterystycznego równania (LJSn ).
Wówczas
1. jeśli r jest pierwiastkiem rzeczywistym o krotności k, to każda z funkcji
erx , xerx , x2 erx , xk−1 erx
jest rozwiązaniem równania (LJSn );
6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-TEGO RZĘDU.
32
2. jeśli r = α + iβ jest pierwiastkiem zespolonym o krotności k, to każda z funkcji
eαx cos βx, xeαx cos βx, x2 eαx cos βx, xk−1 eαx cos βx,
eαx sin βx, xeαx sin βx, x2 eαx sin βx, xk−1 eαx sin βx,
jest rozwiązaniem równania (LJSn ).
Ponadto funkcje wybrane w ten sposób dla wszystkich pierwiastków równania charakterystycznego równania (LJSn ) stanowią układ lnz.
Rozwiązanie szczególne równania liniowego (LSn ):
Twierdzenie 6.20. Jeśli Wn , Vm są wielomianami stopnia, odpowiednio n i m, oraz
an−1 , an−2 , . . . , a1 , a0 , α, β ∈ R, to równanie liniowe
y (n) + an−1 y (n−1) + an−2 y (n−2) + · · · + a1 y 0 + a0 y = [Wn (x) cos βx + Vm (x) sin βx]eαx
ma rozwiązanie szczególne postaci
ϕs (x) = xk [Pl (x) cos βx + Ql (x) sin βx]eαx ,
gdzie Pl , Ql są wielomianami stopnia l = max{n, m} oraz
k=
(
kr , gdy r = α + βi jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotności kr ,
0 w przeciwnym wypadku.
Uwaga 6.21. Stałą α + βi nazywamy stałą kontrolną równania rozważanego w tw. 6.20.
Twierdzenie 6.22. Niech q1 , q2 : (a, b) → R będą funkcjami ciągłymi oraz an−1 , an−2 , . . . ,
a1 , a0 ∈ R. Jeśli ϕs1 jest rozwiązaniem równania
y (n) + an−1 y (n−1) + an−2 y (n−2) + · · · + a1 y 0 + a0 y = q1 (x),
zaś ϕs2 jest rozwiązaniem równania
y (n) + an−1 y (n−1) + an−2 y (n−2) + · · · + a1 y 0 + a0 y = q2 (x),
to funkcja ϕs1 + ϕs2 jest rozwiązaniem szczególnym równania
y (n) + an−1 y (n−1) + an−2 y (n−2) + · · · + a1 y 0 + a0 y = q1 (x) + q2 (x).