RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE Def.: Równaniem, w którym występują

RÓWNANIA RÓśNICZKOWE
Def.:
Równaniem, w którym występują pochodne (przynajmniej jedna) funkcji niewiadomej y nazywamy
równaniem róŜniczkowym (RR).
Def.:
Rzędem RR nazywamy najwyŜszy rząd pochodnej funkcji niewiadomej.
y′ = y − x – RR I rzędu
y′′ + 3 y′ − 2 y = 0 – RR II rzędu
x 2 y′′ = y IV – RR IV rzędu
2
∂u
2 ∂ u
=a
– RR cząstkowe
∂t
∂x 2
JeŜeli funkcja niewiadoma występująca w równaniu jest tylko funkcją jednej zmiennej, to RR
nazywamy równaniem zwyczajnym. RR, w którym występują pochodne cząstkowe nazywamy RR
cząstkowym.
Dalszy opis dotyczy równań zwyczajnych.
Ogólna postać:
F ( x, y, y′,..., y n ) = 0
gdzie niewiadomą jest y
Def.:
Rozwiązaniem lub całką RR (1) w zbiorze X nazywamy kaŜdą funkcję y mającą pochodne do
rzędu n włącznie, która wstawiona w miejsce y do równania (1) spełnia równanie w kaŜdym punkcie tego
zbioru tzn.:
F ( x, y ( x), y′( x),..., y n ( x) = 0
Rozwiązanie RR (1) w interpretacji geometrycznej przedstawia krzywą zwaną krzywą całkową.
Proces znajdowania nazywamy rozwiązaniem lub całkowaniem tego równania.
Równania róŜniczkowe zwyczajne – wiadomości wstępne
Przykład:
Wyznaczyć funkcję tak aby y′ = 2 x 3 + C
Rozwiązanie:
dy
= 6 x 2 ⇒ dx = 6 x 2 dx ⇒ y = 6 ∫ x 2 dx ⇒ y = 2 x 3 + C
dx
I rzędu
y′( x) = f [ x, y ( x)] tutaj y′ =
dy
dx
Zadanie:
Wyznaczyć rozwiązanie y równania y′ = 2 x , które przechodzi przez punkt A (0,1).
Rozwiązanie:
dy
= 2 x /⋅ dx
dx
dy = 2 xdx
∫ dy = 2∫ xdx
y = x2 + C
wyznaczamy stałą C wstawiając do otrzymanego równania wartości punktu A
1= 0+C ⇒C =1
wynik końcowy:
y = x 2 + 1 – funkcję y nazywamy rozwiązaniem szczególnym lub całką szczególną równania
róŜniczkowego.
Zadanie moŜna sformułować tak: y′ = 2 x, y (0) = 1
Równanie róŜniczkowe + warunek początkowy to zagadnienie Couchy’ego tzn.
y′( x) = f [ x, y ( x)], y ( x0 ) = y0 Rozwiązaniem tego zagadnienia Couchy’ego nazywa się rozwiązaniem
szczególnym lub całką szczególną. Rozwiązanie, które zawiera stałą nazywamy rozwiązaniem ogólnym.