Scenariusz zajęć cz. 2

Studenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki
Wydziału Matematyki i Informatyki
Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
9.03.2013
Autor: Agnieszka Kukla
KONSPEKT WYKŁADU Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA DLA GIMNAZJUM
CZĘŚĆ DRUGA
I.
SPRAWIEDLIWOŚĆ GRY
A.
Załóżmy, że mamy 5 kul – 2 czerwone i 3 niebieskie. Chciałabym
zaproponować Wam grę: wylosuję 2 kule. Jeśli będą tego samego koloru –
wygrywam ja. Jeśli będą różnych kolorów – wygrywacie Wy. Podejmiecie się tej gry?
Od czego zależałaby Wasza decyzja?
1.
Na początek zastanówmy się, kto ma większe szanse na wygraną:
a)
Jak to stwierdzić? Może szanse są równe? Jeśli tak, to gra
byłaby sprawiedliwa. Spójrzmy na rysunek:
(1)
Co możecie wywnioskować z tego rysunku?
(2)
Czym jest odcinek łączący dwie kule?
(3)
Czym są wszystkie takie odcinki?
(4)
Jak możemy odczytać z tego rysunku, jakie są szanse
na moją, a jakie na Waszą wygraną?
(5)
Czy zatem nasza gra jest sprawiedliwa?
(6)
Co należy zrobić, aby gra była sprawiedliwa? Może
dołożyć jakąś kulę? A może zabrać?
ul. Umultowska 87, Collegium Mathematicum, 61-614 Poznań
[email protected]
www.studmat.wmi.amu.edu.pl
strona 1 z 4
Jest 10 możliwości wyboru 2 kul z 5. Takich par, aby obie wybrane kule były tego samego
koloru, są 4, a takich, aby były różnego koloru, jest 6.
Jeśli dołożymy niebieską kulę jest 8 możliwości na Twoją wygraną, a 7 na moją. Czyli gra
nadal nie jest sprawiedliwa. Jeśli dołożymy kulę czerwoną jest 9 możliwości na Twoją
wygraną, a 6 na moją i gra nadal nie jest sprawiedliwa.
Jeśli natomiast zabierzemy kulę niebieską mamy 4 możliwości na Twoją wygraną i 2 na
moją. Gra nadal jest niesprawiedliwa. A jeśli zabierzemy kulę czerwoną mamy 3 możliwości
na Twoją wygraną i 3 na moją, czyli nasz gra jest już sprawiedliwa.
B.
Prawdopodobieństwo
Zastanówmy się teraz jakie jest prawdopodobieństwo Waszej wygranej, a jakie mojej.
Oznaczymy przez A moją wygraną, a przez B Waszą wygraną. Kiedy wygrywam ja, a
kiedy Wy?
A – wylosowano kule o tym samym kolorze
B – wylosowano kule o różnych kolorach
Przypomnijcie, ile jest możliwości, aby dwie kule były tego samego koloru. Ile jest
sytuacji sprzyjających zdarzeniu A?
A ile jest możliwości, aby dwie kule były różnych kolorów? Ile jest sytuacji
sprzyjających zdarzeniu B?
Ile jest wszystkich możliwych zdarzeń? (ile jest możliwości wyboru 2 kul z 5?)
Zdarzenia A i B to zdarzenia prawdopodobne. Czyli prawdopodobne jest, aby dwie
kule były tego samego koloru oraz prawdopodobne jest, że dwie kule będą różnych
kolorów. Jednak niemożliwe jest to, aby wylosowana kula była innego koloru aniżeli
czerwony lub niebieski, np. zielony.
Ile można utworzyć wszystkich takich par z 5 kul? Ile było w sumie krawędzi i
przekątnych naszego pięciokąta? 10
Zdarzeniu A (wylosowaniu 2 takich samych kul) sprzyjają 4 sytuacje, a zdarzeniu B
(wylosowaniu 2 różnych kul) sprzyja 6 sytuacji. Kto zatem ma większe szanse?
Jakie jest prawdopodobieństwo mojej wygranej, a jakie Twojej?
Jeśli za prawdopodobieństwo weźmiemy wzór:
Zdarzenia sprzyjające/Wszystkie zdarzenia, a oznaczać je będziemy literką P, to:
P(A)=
P(B)=
Waszej wygranej sprzyja więcej zdarzeń, więc prawdopodobieństwo Waszej
wygranej jest większe.
A jakie byłoby prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej?
Kul zielonych jest zero, czyli zero zdarzeń sprzyja tej sytuacji. Zatem
prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej wynosi zero. Jest to zdarzenie
niemożliwe.
Zadanie domowe: Załóżmy, że mamy 3 kule – 1 czerwoną i 2 niebieskie. Chciałabym
zaproponować Wam grę: wylosuję 2 kule. Jeśli będą tego samego koloru – wygrywam ja.
Jeśli będą różnych kolorów – wygrywacie Wy. Podejmiecie się tej gry? Czy gra jest
sprawiedliwa?
Znak sprawy
strona 2 z 4
II.
PARADOKS WSPÓLNYCH URODZIN.
A.
Jak myślicie, czy jest możliwe, żeby wśród 12 losowo wybranych osób każda
z nich urodziła się w innym miesiącu?
1.
Pomyślmy ile jest w ogóle możliwości na rozdzielenie miesięcy wśród
grupy 12 osób:
KAŻDA OSOBA MOŻE MIEĆ PRZYPISANY 1 MIESIĄC Z 12 CZYLI NA 1
OSOBĘ PRZYPADA 12 MOŻLIWOŚCI. OSÓB MAMY 12, WIĘC 12 RAZY
MNOŻYMY 12, CZYLI MAMY MOC Ω WYNOSI
.
TERAZ PRZYJRZYJMY SIĘ RYSUNKOWI:
Aby każda osoba urodziła się w innym miesiącu 1 osoba ma do dyspozycji 12 miesięcy.
Jeżeli już ona wylosowała ten miesiąc, kolejna ma już do dyspozycji 11 miesięcy, następna
10, a potem 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 i 1. Zatem zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A polegającym
na tym, że każda z 12 osób urodziła się w innym miesiącu jest
12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1.
ZATEM NASZE PRAWDOPODOBIEŃSTWO WYGLĄDA TAK:
P(A) =
=
czyli jest bardzo niewielkie.
CIEKAWOSTKA
Ile osób musi wybiec na murawę stadionu, aby z prawdopodobieństwem minimum 50%
określić, że przynajmniej dwie z nich urodziły się tego samego dnia? (przez datę urodzin
rozumiemy dzień oraz miesiąc, ale już nie rok). Okazuje się, że tylko 23 osoby! (co dla wielu
może być niemałym zaskoczeniem). Można to stosunkowo łatwo uzasadnić rachunkiem
prawdopodobieństwa (szukane prawdopodobieństwo wynosi wówczas ≈0,507). Zatem
teoretycznie podczas każdego meczu piłki nożnej, gdy na boisku znajdują się dwie drużyny i
sędzia - czyli 23 osoby - szansa na trafienie dwóch osób z tą samą datą urodzin jest większe
niż wyrzucenie orła (lub reszki) podczas jednokrotnego rzutu monetą (czyli >50%).
Znak sprawy
strona 3 z 4
Faktycznie! Podczas inauguracji EURO 2012 można się było o tym przekonać, gdy Polacy
zmierzyli się z Grekami. W naszym składzie zagrał Marcin Wasilewski urodzony 9 czerwca
1980 r., a w ekipie gości Sokratis Papastathopoulos urodzony 9 czerwca 1988 r. Z kolei w
innej 23 osobowej grupie (reprezentacji Rosji) - istnieje dwóch zawodników z tą samą datą
urodzenia: Anton Szunin (ur. 27.01.1987) oraz Denis Głuszakow (ur. 27.01.1987).
I jak tu nie wierzyć królowej nauk!!!
Znak sprawy
strona 4 z 4