Sznurki

Metoda sznurków
sªu»y do wyznaczania klatek i odpowiadaj¡cej im bazy Jordana.
PRZYKŠAD
Rozpatrzmy macierz A postaci

2
1
0
 −2
2
1

 0
2
2

 2 −1 −1

 −2
0
1

 1 −2
0
3 −4 −3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
2
0
0
0 −1 −1
1
0
3
0 −1










Jest to macierz wymiaru 7 × 7, czyli n = 7.
Obliczamy wielomian charakterystyczny. Tu w(λ) = (2 − λ)5 (1 + λ)2 .
2
3
Krok 2. Dla ka»dej warto±ci wªasnej λ obliczamy rz¦dy (A − λI), (A − λI) , (A − λI) , . . . a»
do stabilizacji rz¦dów.
Tu mamy :
λ=2
λ = −1
a1 = rz(A − 2I) = 5
a1 = rz(A + I) = 6
a2 = rz(A − 2I)2 = 3
a2 = rz(A + I)2 = 5
a3 = rz(A − 2I)3 = 2
a3 = rz(A + I)3 = 5
4
a4 = rz(A − 2I) = 2
(p)
p
Krok 3. Obliczamy wymiary podprzestrzeni Vλ , czyli podprzestrzeni Ker(A − λI) . Jest on
równy n − ap .
(1)
(1)
Tu mamy :
dimV2 = 7 − 5 = 2
dimV−1 = 7 − 6 = 1
(2)
(2)
dimV2 = 7 − 3 = 4
dimV−1 = 7 − 5 = 2
(3)
dimV2 = 7 − 2 = 5
(1)
Krok 4. Rysujemy sznurki. Wymiar Vλ
to liczba supeªków pocz¡tkowych, czyli liczba
(k+1)
(k)
sznurków. Ró»nica dimVλ
− dimVλ okre±la ile sznurkow mo»emy przedªu»y¢.
Tu dla λ = 2 mamy dwa sznurki. Dla λ = −1 jest jeden sznurek.
(2)
(1)
dimV2 − dimV2 = 2, przedªu»amy dwa sznurki.
(3)
(2)
dimV2 − dimV2 = 1, przedªu»amy jeden (dowolny) sznurek.
Otrzymujemy
λ=2
λ = −1
(1)
t
t
t
poziom V
Krok 1.
poziom V (2)
t
poziom V (3)
t
t
t
Wyznaczamy klatki Jordana i budujemy macierz ko«cow¡. Liczba sznurków to liczba
klatek. Dªugo±¢ sznurka to wymier klatki.
Dla λ = 2 mamy dwie klatki, jedna wymiaru 3 × 3, druga wymiaru 2 × 2. Dla λ = −1 jest
jedna klatka. Ma ona wymiar 2 × 2. Macierz ko«cowa skªada si¦ z klatek


2 1 0
2 1
−1
1
 0 2 1 ,
,
.
0 2
0 −1
0 0 2
Krok 5.
WYZNACZANIE BAZY na podstawie znalezionych sznurków.
Ka»demu sznurkowi przyporz¡dkujemy wektory ~vi . Numeracja wektorów z góry w
dóª (po ka»dym sznurku).
Krok 1.
λ=2
~v1 t
t~
v4
~v2 t
t~
v5
λ = −1
t~
v6
t~
v7
~v3 t
Krok 2.
(p)
Wyznaczamy dowolne bazy kolejnych podprzestrzeni Vλ .
(1)
V2 = lin{(0, 0, 0, 1, 0, 0, 0), (−1, 0, −2, 0, 0, 0, 1)},
(2)
V2 = lin{(0, 0, 0, 1, 0, 0, 0), (−1, 0, −2, 0, 0, 0, 1), (1, 0, 2, 0, 1, 0, 0), (1, −1, 2, 0, 0, 1, 0)},
(3)
V2 = lin{(0, 0, 0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0, 0, 1), (−1, −1, 0, 0, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 0, 0, 0)}.
(3)
Jako baz¦ V2
Krok 3.
(2)
mo»na wybra¢ baz¦ V2
(3)
i doª¡czy¢ do niej wektor z V2
(2)
nie nale»¡cy do V2 .
Budujemy baz¦ po ka»dym sznurku. Zaczynamy od doªu sznurka i idziemy do góry.
Zacznijmy od λ = 2.
(3)
(2)
Jako ~v3 bierzemy dowolny wektor z V2 nie nale»¡cy do V2 . (Uwaga: Wygodnie wybiera¢
wektor o du»ej liczbie zer.)
Niech np. ~v3 = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 1). Wtedy
~v2 = (A − 2I)(~v3 ) = (0, −2, 0, 2, −2, 2, 0),
~v1 = (A − 2I)(~v2 ) = (−2, 0, −4, 0, 0, 0, 2).
Otrzymujemy w ten sposób "kawaªek" bazy {~v1 , ~v2 , ~v3 } zwi¡zany z pierwszym sznurkiem.
Teraz przechodzimy do drugiego sznurka.
Poniewa» wektor ~v5 znajduje si¦ na drugim poziomie, tzn. na poziomie podprzestrzeni V (2)
(2)
(1)
jako ~v5 wybieramy wektor z V2 nie nale»¡cy do V2 . Niech np. ~v5 = (1, 0, 2, 0, 1, 0, 0). Wtedy
~v4 = (A − 2I)(~v5 ) = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0). Otrzymujemy w ten sposób kolejny "kawaªek" bazy.
Mamy wi¦c "kawaªek" {~v1 , ~v2 , ~v3 , ~v4 , ~v5 } odpowiadaj¡cy warto±ci wªasnej λ = 2.
Przechodzimy teraz do λ = −1. Tu jest jeden sznurek. Obliczamy
(1)
V−1
(2)
V−1
= lin{(0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)},
= lin{(0, 0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)}.
(2)
(1)
Jako ~v7 wybieramy wektor nale»¡cy do V−1 i nie nale»¡cy do V−1 .
Niech ~v7 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1). Wtedy ~v6 = (A + I)(~v7 ) = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0).
Wypisujemy baz¦ (istotna kolejno±¢ wektorów).
W naszym przypadku szukan¡ baz¦ tworz¡ wektory {~v1 , ~v2 , ~v3 , ~v4 , ~v5 , ~v6 , ~v7 }.
Wektory {~v1 , ~v2 , ~v3 } wyznaczaj¡ pierwsz¡ klatk¦, {~v4 , ~v5 } drug¡, {~v6 , ~v7 } trzeci¡.
Krok 4.