Andrzej Komisarski O rzutach minimalnych w skończenie

Uniwersytet Łódzki
Wydział Matematyki
Andrzej Komisarski
O rzutach minimalnych
w skończenie wymiarowych
przestrzeniach Banacha
Skończenie wymiarowe (α, 1) przestrzenie
Rozprawa doktorska
Marzec 2004
Promotor:
prof. dr hab. Adam Paszkiewicz
Spis treści
1 Wprowadzenie
1.1
2
Oznaczenia i układ pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Pomocnicze konstrukcje ciał wypukłych
3
7
3 a-roje
22
4 Prostopadłościany, kostki i ich szczególne podzbiory
25
5 Główny wynik i jego dowód
36
6 Uwagi
44
1
1
Wprowadzenie
Rzutem minimalnym na podprzestrzeń domkniętą przestrzeni Banacha E nazywamy rzut, który ma
najmniejszą normę spośród wszystkich rzutów na daną podprzestrzeń. Nie dla każdej podprzestrzeni
istnieje rzut minimalny, a nawet gdy istnieje nie musi być wyznaczony jednoznacznie.
Przykładami przestrzeni, w których na każdą podprzestrzeń liniową domkniętą istnieje rzut
minimalny są przestrzenie Hilberta (także skończenie wymiarowe, czyli przestrzenie euklidesowe).
W przestrzeniach tych rzut minimalny na każdą nietrywialną podprzestrzeń ma normę 1. Własność
ta stanowi zarazem cechę wyróżniającą przestrzenie Hilberta wśród wszystkich przestrzeni Banacha
wymiaru różnego od 2. Zachodzi bowiem twierdzenie
Twierdzenie 1.1 (S. Kakutani). Niech E będzie przestrzenią Banacha taką, że dim E 6= 2. Załóżmy, że dla każdej dwuwymiarowej podprzestrzeni N ⊂ E istnieje rzut P = P 2 na N mający
normę 1. Przestrzeń E jest wówczas izometryczna z przestrzenią Hilberta.
Dowód powyższego twierdzenia dla rzeczywistych przestrzeni Banacha znajduje się w pracach
S. Kakutaniego ([3]) i R. S. Phillipsa ([6]). Przypadek zespolony jest udowodniony w pracy F. Bohnenblusta ([1]). W niniejszej rozprawie rozważamy tylko rzeczywiste przestrzenie Banacha.
Z rzutami minimalnymi związane jest następujące pojęcie: Mówimy, że przestrzeń Banacha E
ma własność (α, k) (α > 0, k = 1, 2, · · · ), gdy istnieje rzut minimalny na każdą k-kowymiarową
podprzestrzeń przestrzeni E i ma on normę 1 + α.
W pracy [7] S. Rolewicz pokazał, że dla każdego 1 < p < ∞ istnieje liczba α > 0 taka, że przestrzeń Lp [0, 1] ma własność (α, 1). Okazuje się jednak, że wynik Rolewicza nie pozostaje prawdziwy
jeśli dla p 6= 2 odcinek [0, 1] zastąpimy przestrzenią trzypunktową, tzn. gdy zamiast przestrzeni
Lp [0, 1] będziemy rozważać przestrzeń R3 z p-tą normą (||(x1 , x2 , x3 )||p = (xp1 + xp2 + xp3 )1/p ). (Gdy
p = 2, wówczas przestrzeń euklidesowa (R3 , || · ||2 ) ma własność (0, 1).) Fakt ten sugerował, że być
może (R3 , || · ||2 ) jest jedyną trójwymiarową przestrzenią Banacha mającą własność (α, 1) dla pewnego α > 0. Z twierdzenia Kakutaniego wynika, że (R3 , || · ||2 ) jest jedyną trójwymiarową przestrzenią Banacha mającą własność (0, 1).
S. Rolewicz postawił pytanie, czy istotnie (R3 , || · ||2 ) jest jedyną trójwymiarową przestrzenią
Banacha mającą własność (α, 1) dla pewnego α > 0 oraz pytanie ogólniejsze, mianowicie, czy twierdzenie Kakutaniego można uogólnić zastępując założenie mówiące, że dla każdej dwuwymiarowej
podprzestrzeni N ⊂ E istnieje rzut P = P 2 na N mający normę 1, założeniem następującym: Istnieje liczba α > 0 taka, że dla każdej dwuwymiarowej podprzestrzeni N ⊂ E istnieje rzut P = P 2
na N mający normę 1 + α.
W pracy [4] napisanej wspólnie z A. Paszkiewiczem odpowiedzieliśmy negatywnie na te pytania
konstruując trójwymiarową przestrzeń Banacha mającą własność (α, 1) dla pewnego α > 0.
2
W niniejszej rozprawie rezultat ten zostanie rozszerzony. Główny i jedyny wynik to konstrukcje
skończenie wymiarowych przestrzeni Banacha mających własność (α, 1), gdzie α > 0 (por. twierdzenie 5.1). Dokładniej, dla każdej liczby naturalnej n > 3 skonstruowana zostanie n-wymiarowa
przestrzeń Banacha mająca własność (α, 1), przy czym liczba α > 0 zależy od wymiaru n. Idea
dowodu jest zbliżona do tej, która użyta została w pracy [4]. Część lematów pochodzi bezpośrednio
z tej pracy (por. rozdział 6). Ich sformułowania zostały jednak poprawione. Podane zostały także
szczegółowe dowody, których zabrakło w pracy [4].
1.1
Oznaczenia i układ pracy
Ustalmy notację stosowaną w dalszej części pracy. Nie wyjaśniamy tu większości oznaczeń i pojęć,
które są powszechnie stosowane i znane, a ich znaczenie nie budzi wątpliwości.
Symbolem Rn będziemy oznaczać rzeczywistą przestrzeń wektorową wymiaru n. Elementy tej
przestrzeni (nazywamy je wektorami lub punktami) będziemy oznaczać literami pogrubionymi.
W szczególności, wektor zerowy 0 = (0, 0, . . . , 0), zaś elementy bazy kanonicznej przestrzeni Rn to
e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0),. . . ,en = (0, 0, . . . , 1). Przestrzeń Rn jest wyposażona w iloczyn
P
skalarny h·, ·i określony wzorem h(x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn )i = ni=1 xi yi i normę Euklidesową
p
|| · || (||x|| = hx, xi). Zawsze, ilekroć użyty jest symbol || · || oznacza on normę Euklidesową w Rn .
Prosta to jednowymiarowa podprzestrzeń afinczna przestrzeni liniowej. Kierunkiem prostej
L ⊂ Rn nazwiemy taki wektor a ∈ Rn , że ||a|| = 1 oraz L = {ta + b : t ∈ R} dla pewnego wektora
b ∈ Rn . Kierunek prostej nie jest jednoznacznie wyznaczony, każda prosta ma dwa kierunki będące
wektorami przeciwnymi.
Rodzina prostych w przestrzeni liniowej Rn tworzy przestrzeń metryczną z metryką d określoną
następująco: Jeśli K = {taK + bK : t ∈ R} i L = {taL + bL : t ∈ R} są prostymi mającymi kierunki
K
K
L
L L
L
K ⊥ bK i aL ⊥ bL ,
odpowiednio aK = (aK
1 , a2 , . . . , an ) oraz a = (a1 , a2 , . . . , an ), przy czym a
wówczas
L
K
L
K
L
K
L
d(K, L) = min(max(|aK
1 − a1 |, |a2 − a2 |, . . . , |an − an |, ||b − b ||),
L
K
L
K
L
K
L
max(|aK
1 + a1 |, |a2 + a2 |, . . . , |an + an |, ||b − b ||)).
Jeśli ograniczymy się do prostych będących podprzestrzeniami liniowymi Rn (czyli prostych zawierających 0) wówczas uzyskamy przestrzeń rzutową RP n−1 . Jest ona przestrzenią zwartą.
Jeśli E jest przestrzenią liniową, wówczas powiemy, że zbiór M jest hiperpłaszczyzną w E, gdy M
jest podprzestrzenią afiniczną kowymiaru 1 przestrzeni E. Hiperpłaszczyzna M rozcina przestrzeń E
na dwie półprzestrzenie i jest ich wspólnym brzegiem. O dwóch elementach różnicy E \ M powiemy,
że leżą po tej samej stronie hiperpłaszczyzny M , gdy są elementami jednej z tych półprzestrzeni.
W przeciwnym razie powiemy, że leżą po przeciwnych stronach M . Ponieważ hiperpłaszczyzna
3
w Rn to zbiór {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b}, dla pewnych liczb rzeczywistych a1 , a2 , . . . , an , b takich, że a21 + a22 + . . . + a2n = 1, więc a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b będziemy
nazywać równaniem hiperpłaszczyzny. Równanie to nie jest jednoznacznie wyznaczone, każda hiperpłaszczyzna ma dwa równania różniące się znakami występujących w nich liczb a1 , a2 , . . . , an , b.
Rodzina hiperpłaszczyzn w przestrzeni liniowej Rn tworzy przestrzeń metryczną z metryką d
określoną następująco: Jeśli M i N są hiperpłaszczyznami w Rn , a ich równaniami są odpowiednio
M
M
M oraz aN x + aN x + . . . + aN x = bN , wówczas
aM
n n
1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b
1 1
2 2
N
M
N
M
N
M
N
d(M, N ) = min(max(|aM
1 − a1 |, |a2 − a2 |, . . . , |an − an |, |b − b |),
N
M
N
M
N
M
N
max(|aM
1 + a1 |, |a2 + a2 |, . . . , |an + an |, |b + b |)).
Podprzestrzeń przestrzeni wszystkich hiperpłaszczyzn w Rn , składająca się z tych hiperpłaszczyzn,
które są podprzestrzeniami liniowymi Rn (zawierają 0), jest homeomorficzna z przestrzenią rzutową
RP n−1 i jest zwarta.
Dla dowolnego zbioru A ⊂ Rn przez lin A rozumiemy podrzestrzeń liniową generowaną (rozpiętą)
przez zbiór A, czyli zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru A. W szczególności
lin ∅ = {0}. Dla prostoty przyjmujemy, że jeśli v ∈ Rn , wówczas napis lin v oznacza to samo,
co lin{v}, czyli zbiór {tv : t ∈ R}.
Z kolei symbolem conv A dla zbioru A ⊂ Rn oznaczamy uwypuklenie zbioru A, czyli zbiór
wszystkich kombinacji wypukłych elementów A.
Punkty x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn są afinicznie niezależne, gdy z tego, że t1 x1 + t2 x2 + . . . + tk xk = 0
oraz t1 + t2 + . . . + tk = 0 wynika, że t1 = t2 = . . . = tk = 0.
Jeśli punkty x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn są afinicznie niezależne, wówczas zbiór conv{x1 , x2 , . . . , xk }
nazywamy sympleksem k − 1-wymiarowym rozpiętym przez wektory x1 , x2 , . . . , xk . Wnętrzem
tego sympleksu nazywamy zbiór {t1 x1 + t2 x2 + . . . + tk xk : t1 + t2 + . . . + tk = 1, ti > 0 dla
i = 1, 2, . . . , k}. Tak określone wnętrze sympleksu pokrywa się z wnętrzem topologicznym jedynie
wtedy, gdy k = n + 1.
Symbol S oznacza sferę jednostkową w normie || · ||, tzn. S = {(x ∈ Rn : ||x|| = 1}. Kula
domknięta B(x, r) o środku x ∈ Rn i promieniu r > 0 to zbiór B(x, r) = {y ∈ Rn : ||y − x|| 6 r}.
L⊥ oznacza dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni liniowej L ⊂ Rn , to znaczy podprzestrzeń
L⊥ = {x ∈ Rn : ∀y∈L x ⊥ y}.
Jeśli K i L są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni Rn takimi, że K ∩ L = {0} oraz
dim K + dim L = n, wówczas przekształcenie PLK : Rn → L jest rzutem (liniowym) na podprzestrzeń L z jądrem K. W przypadku rzutu ortogonalnego, czyli wtedy, gdy K = L⊥ zamiast
⊥
oznaczenia PLL stosować będziemy krótsze oznaczenie PL .
Dla x ∈ Rn \ {0} oraz liczby a > 0, zbiór
C(x, a) = {y ∈ Rn : | tg ∠(x, y)| 6 a} ∪ {0} = {y ∈ Rn : |hx, yi| > ||x||||y||/
4
p
a2 + 1}
nazywamy stożkiem. Stożek jest zbiorem domkniętym, symetrycznym względem 0, to znaczy
C(x, a) = −C(x, a). Wektor x wyznacza położenie stożka, natomiast liczba a określa jego wielkość, mianowicie prosta lin x jest osią stożka C(x, a), natomiast liczba a to tangens kąta zawartego
między osią i tworzącą stożka.
Dla dowolnego zbioru D ⊂ Rn zbiór C[D] = {λx : x ∈ D, λ ∈ R} również będziemy nazywać
stożkiem. W szczególności C(x, a) jest stożkiem postaci C[D], gdzie D jest pewną kulą. Dokładniej,
h √
i
1+a2
C(x, a) = C B r a||x||
x, r , gdzie r jest dowolną liczbą dodatnią.
Zbiór A ⊂ Rn nazywamy ciałem wypukłym, gdy A jest wypukłym, domkniętym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Rn takim, że 0 ∈ Int A oraz A = −A. Przez || · ||A oznaczamy
normę wyznaczoną przez ciało A, określoną jako ||x||A = inf{q > 0 : x ∈ qA}. Zachodzi równość
A = {x ∈ Rn : ||x||A 6 1}.
Jeśli ∅ =
6 A ⊂ Rn oraz x ∈ Rn to dist(x, A) jest odległością punktu x od zbioru A, to znaczy
dist(x, A) = inf{||x − y|| : y ∈ A}. Gdy A, B ⊂ Rn oraz A 6= ∅ i B 6= ∅, wówczas odległością
zbiorów A i B nazywamy liczbę dist(A, B) = inf{||x − y|| : x ∈ A, y ∈ B}.
Średnicą niepustego zbioru A ⊂ Rn nazywamy wielkość diam A = sup{||x − y|| : x, y ∈ A}.
Dla dowolnej funkcji f : X → Y przekształcającej zbiór X w zbiór Y oraz podzbiorów A ⊂ X
i B ⊂ Y , obraz zbioru A pod działaniem funkcji f , czyli zbiór {f (x) : x ∈ A}, oznaczamy jako f [A],
natomiast przeciwobraz zbioru B, czyli {x ∈ X : f (x) ∈ B}, jako f −1 [B].
Gdy A ⊂ Rn , B ⊂ Rn , x ∈ Rn i t ∈ R, wówczas A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B},
x + A = {x + a : a ∈ A} oraz tA = {ta : a ∈ A}.
Inne używane pojęcia i oznaczenia, w szczególności te związane z kostkami i prostopadłościanami
w przestrzeniach euklidesowych (por. rozdział 4), wyjaśnione są dokładnie w głównej części pracy.
Układ pracy związany jest ze sposobem konstrukcji żądanych norm. Aby skonstruować normę
||·||D , lub równoważnie, aby skonstruować kulę jednostkową D w (Rn , ||·||D ), będziemy zniekształcać
kulę {x ∈ Rn : ||x|| 6 1}, robiąc w niej skończoną liczbę identycznych deformacji.
W rozdziale 2 pracy opisany jest kształt pojedynczej deformacji i udowodnione jej własności.
Główny wynik tego rozdziału (stwierdzenie 2.5) uzyskany jest w oparciu o lematy dotyczące elementarnej geometrii przestrzeni Rn z wykorzystaniem aparatu geometrii analitycznej. Dowody
znajdujące się w tym rozdziale wymagają wykonania dużej liczby pomocniczych rachunków. Nie są
one przytaczane w całości. Podajemy jedynie ich wyniki i wskazówki umożliwiające czytelnikowi
samodzielne powtórzenie tychże rachunków.
W rozdziale 3 opisujemy jak powinny być rozmieszczone deformacje, aby uzyskane ciało wypukłe
miało pożądane własności. W tym celu wprowadzone zostaje pojęcie a-roju. Jest to skończony podzbiór przestrzeni Rn spełniający szereg warunków. Elementy takiego podzbioru opisują położenia
poszczególnych deformacji.
5
Rozdziały 4 i 5 poświęcone są konstrukcji a-roju. Jest ona rozpoczęta w rozdziale 4, gdzie dowiedzione jest istnienie pewnego specjalnego rozmieszczenia punktów w n-wymiarowej kostce (por.
stwierdzenie 4.5). Rozmieszczenie to wykorzystane jest w rozdziale 5 do skonstruowania a-roju.
W rozdziale tym zaprezentowany jest także dowód głównego twierdzenia pracy, czyli twierdzenia 5.1.
W rozdziale 6 zamieszczone są dodatkowe uwagi i komentarze.
6
2
Pomocnicze konstrukcje ciał wypukłych
W niniejszym rozdziale konstruowane są pewne ciała wypukłe, najpierw na płaszczyźnie, a następnie
w przestrzeniach Rn dla n > 2. Ciała takie, najprościej mówiąc, powstają z kuli w przestrzeni euklidesowej (Rn , || · ||) przez zniekształcenie jej w otoczeniu dwóch symetrycznie położonych punktów
na jej powierzchni.
Główną cechą tych ciał jest to, że w wyznaczanych przez nie normach, rzuty ortogonalne
na wszystkie podprzestrzenie liniowe mają normę niewiększą niż 1 + α (liczba α jest związana
z ciałem), a na niektóre podprzestrzenie liniowe – normę dokładnie równą 1 + α. Co więcej, dla
każdej z tych podprzestrzeni rzuty w pewnych kierunkach mają normę większą niż 1 + α.
Zajmijmy się najpierw konstrukcją ciał dwuwymiarowych. Sparametryzujmy zbiór jednowymiarowych podprzestrzeni liniowych R2 wprowadzając oznaczenia Lλ = {(x, y) : y = λx} dla λ ∈ R
oraz L∞ = {(x, y) : x = 0}.
Lemat 2.1. Dla dowolnych dwóch liczb 0 < a 6 3/4 oraz α > 0 spełniających zależność
p
a = 2 2α(1 + α)/(1 − α) oznaczmy
A = {(x, y) : |x| 6 1, y 2 6 4(1 + α)(1 + α − |x|)} ∩ B(0, 1 + 3α),
A0 = conv(A ∩ C(e1 , a))
(patrz rys. 1). Zachodzą następujące warunki:
A \ C(e1 , a) = B(0, 1 + 3α) \ C(e1 , a),
PLλ [A] ⊂ (1 + α)A
gdy − ∞ < λ 6 ∞,
PLλ [A] = PLλ [A0 ] = (1 + α)(Lλ ∩ A)
L
PLλµ [A0 ] 6⊂ (1 + α)A
gdy 4a/10 6 λ 6 4a/9,
gdy 4a/10 6 λ 6 4a/9 oraz − 1/λ < µ < λ.
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Oba zbiory, A i A0 występujące w lemacie są ciałami wypukłymi. Warunek (2.1) mówi, że zbiór
A różni się od koła B(0, 1+3α) jedynie w bliskim otoczeniu punktów e1 i −e1 , dokładniej – w stożku
C(e1 , a). Zbiór A0 jest najmniejszym zbiorem wypukłym, który zawiera te fragmenty brzegu zbioru
A, które czynią go różnym od koła. Warunek (2.2) mówi, że normy (pochodzące od || · ||A ) rzutów
ortogonalnych na podprzestrzenie jednowymiarowe nie przekraczają 1+α. Z kolei rzuty ortogonalne
na podprzestrzenie Lλ dla 4a/10 6 λ 6 4a/9 mają normę równą 1 + α. Za tą własność odpowiada
warunek (2.3), jednak ze względu na późniejsze zastosowania jest on sformułowany mocniej i oprócz
zbioru A pojawia się w nim także mniejszy zbiór A0 . Warunek (2.4) mówi, że jeśli rozważymy
rzut na prostą Lλ dla 4a/10 6 λ 6 4a/9 w kierunku prostej Lµ , gdzie −1/λ < µ < λ, to norma
takiego rzutu jest większa niż 1 + α (znowu, ze względu na późniejsze zastosowania, po lewej stronie
7
y
α) 2
)
+3
2
p
2α(1 + α)
y=
)
)
y=
f (x
f (x
2α(1 + α)
f (x
f (x
p
= (1
y=
2
y
x2 + y 2
y=
)
1 + 3α
p
2 α(1 + α)
p
2 α(1 + α)
x
f (x
)
)
y=
f (x
f (x
−(1 + 3α)
−2
2 = (1
x2 + y
+
1
)
)
p
−2 α(1 + α)
p
−2 2α(1 + α)
A
1−α
−(1 − α)
y=
y=
p
−2 α(1 + α)
x
−1
1
f (x
1−α
−(1 − α)
y=
−1
p
2α(1 + α)
2
3α )
A0
p
f (x) = 2 (1 + α)(1 + α − |x|)
Rysunek 1: Zbiory A oraz A0 (lemat 2.1).
w (2.4) występuje nie zbiór A, lecz A0 ). Proste Lλ i L−1/λ są prostopadłe, Lλ = lin{PLλ (e1 )} oraz
L−1/λ = L⊥
λ = lin{PL⊥ (e1 )}, a warunek −1/λ < µ < λ dla λ > 0 można w sposób równoważny
λ
zapisać następująco: Lµ = lin v dla wektora v ∈ R2 takiego, że hv, PLλ (e1 )ihv, PL⊥ (e1 )i > 0 (będzie
λ
nam to pomocne przy dowodzie następnego lematu).
Dowód. Zbiory A i A0 są zbioram wypukłymi, punkt 0 = (0, 0) jest ich środkiem symetrii, a proste
{(x, y) : x = 0} oraz {(x, y) : y = 0} osiami symetrii. Brzegi obu zbiorów są sumami odcinków,
łuków parabol i łuków okręgu. Na rysunkach 1 i 2 przedstawione są oba zbiory, wyznaczone są
także współrzędne punktów będących końcami łuków i odcinków składających się na brzegi A
i A0 (ze względu na symetrię, na rysunku 2 ograniczam się jedynie do pierwszej ćwiartki układu
współrzędnych).
Zbiór A różni się od B(0, 1 + 3α) jedynie wewnątrz stożka C(e1 , 2
p
2α(1 + α)/(1 − α)), czyli
zachodzi równość (2.1).
Najpierw udowodnimy te własności obu zbiorów, które są związane z rzutami ortogonalnymi.
Ze względu na symetrię wystarczy, że ograniczymy się do rozważania rzutów na proste Lλ dla λ > 0.
Dla dowolnej liczby λ rzut ortogonalny zbioru A na Lλ jest odcinkiem symetrycznym względem
0 = (0, 0). Niech Qλ będzie tym końcem tego odcinka, który leży w pierwszej ćwiartce układu
współrzędnych, a Pλ ∈ A niech będzie takim punktem, że PLλ (Pλ ) = Qλ . Przecięcie zbioru A
z prostą Lλ również jest odcinkiem o środku 0. Leżący w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych
8
koniec tego odcinka oznaczmy symbolem Rλ . Stosunek długości obu tych odcinków, który jest zarazem równy stosunkowi odległości punktów Qλ i Rλ od początku układu współrzędnych oznaczmy
jako qλ .
Naszym celem jest pokazanie, że qλ 6 1 + α. Zobaczmy co się dzieje, gdy λ rośnie od 0
do nieskończoności. Przy wyznaczaniu położenia punktów Pλ i Qλ opieram się na tym, że prosta
zawierająca oba te punkty jest prostopadła do Lλ i podpiera zbiór A w punkcie Pλ . Co za tym
idzie, punkt Pλ jest albo punktem, w którym brzeg zbioru A nie jest gładki (w pierwszej ćwiartce
układu współrzędnych są dwa takie punkty, L i M, por. rys. 2), albo też jest punktem, w którym
prosta podpierająca jest styczna do brzegu A.
y
y
1 + 3α N
1 + 3α N
M
p
2 2α(1 + α)
M
p
2 2α(1 + α)
Pλ
p
2 α(1 + α)
p
2 α(1 + α)
L
Rλ
L
Qλ
Lp
Lλ
2α
1+α
L√
K
x
1−α 1 1+α
α
1+α
K
x
1−α 1 1+α
Rysunek 2:
Część brzegu zbioru A, znajdująca się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych (gruba linia). Cienka
krzywa (pokrywająca się częściowo z brzegiem zbioru A) to zbiór możliwych położeń punktu Qλ dla λ > 0.
Z lewej: Punkty Pλ , Qλ oraz Rλ dla przykładowo wybranego położenia prostej Lλ . Z prawej: Skrajne z tych
położeń prostej Lλ , dla których qλ = 1 + α.
Gdy λ = 0 wówczas punkt P0 leży na odcinku KL będącym częścią brzegu zbioru A i nie jest
wyznaczony jednoznacznie (gdyż zbiór A nie jest ściśle wypukły). Punkty Q0 i R0 pokrywają się
i mają współrzędne (1, 0). Współczynnik q0 = 1 jest mniejszy niż 1 + α.
i
p
p
Gdy λ ∈ 0, α/(1 + α) , wówczas Pλ = L = (1, 2 α(1 + α)) jest końcem odcinka KL (por.
√
√
1+2λ α(1+α)
1+2λ α(1+α)
rysunek 2). Punkt Qλ =
,λ
, a punkt Rλ = (1, λ) leży na odcinku KL.
1+λ2
1+λ2
p
Gdy λ rośnie od wartości 0 do α/(1 + α), wówczas wartość współczynnika qλ wzrasta od q0 = 1
do q√α/(1+α) = 1 + α.
p
p
Następnie, gdy λ zwiększa się od α/(1 + α) do 2α/(1 + α), wówczas punkt
_
Pλ = (1 + α)(1 − λ2 ), 2λ(1 + α) znajduje się na łuku LM paraboli, a punkt Qλ = (1 + α, λ(1 + α)).
9
Punkt Rλ = (1, λ) nadal leży na odcinku KL. Współczynnik qλ ma stałą wartość równą 1 + α.
hp
i
p
p
Następnie, dla λ ∈
2α/(1 + α), 2 α(1 + α) , punkt Pλ = M = (1 − α, 2 2α(1 + α)) jest
wspólnym
łuków paraboli i okręgu,ograniczających zbiór A, zaś punkt Qλ ma współrzędne
końcem
√
√
1−α+2λ 2α(1+α)
1−α+2λ 2α(1+α)
Qλ =
,
λ
. Punkt Rλ = (1, λ) w dalszym ciągu leży na odcinku
1+λ2
1+λ2
√
√
1−α+2λ 2α(1+α)
1−α+4 2α(1+α)
KL. Współczynnik qλ =
maleje
od
wartości
1
+
α
do
wartości
.
2
1+λ
(1+2α)2
p
p
Gdy λ rośnie od 2 α(1 + α) do a = 2 2α(1 + α)/(1 − α), wówczas nadal Pλ = M =
p
1 − α, 2 2α(1 + α) jest wspólnym końcem łuków paraboli i okręgu. Jego odległość od początku
układu współrzędnych wynosi 1 + 3α. Ponieważ odcinek 0Pλ jest przeciwprostokątną trójkąta
prostokątnego 40Pλ Qλ (być może zdegenerowanego), więc odległość punktu Qλ od punktu 0
_
nie przekracza 1 + 3α. Punkt Rλ znajduje się teraz na łuku LM paraboli i jego odległość od początku układu współrzędnych nie jest mniejsza od 1 + 2α (wartość najmniejszą, równą właśnie
p
1 + 2α odległość ta przyjmuje dla λ = 2 α(1 + α)). Współczynnik qλ jest zatem niewiększy niż
1+3α
1+2α
< 1 + α.
Wreszcie, gdy λ zwiększa się od a = 2
p
2α(1 + α)/(1 − α) do nieskończoności, wtedy punkt
_
Pλ = Qλ = Rλ leży na łuku MN okręgu {(x, y) : x2 + y 2 = (1 + 3α)2 } i qλ = 1.
Z tego, że niezależnie od wartości λ ∈ [0, ∞] zachodzi nierówność qλ 6 1 + α wynika zawieranie (2.2).
Zauważmy, że fragment rozumowania, z którego wynika, że dla λ ∈
hq
α
1+α ,
q
2α
1+α
i
liczba qλ
jest równa 1 + α można zastosować bez żadnych zmian nie tylko do zbioru A, ale także do zbioru
A0 .
Z warunków nałożonych w treści lematu na liczby a i α wynika, że 0 < α 6 1/17, co pozwala
dowieść zawierania przedziałów
" p
# r
p
r
8 2α(1 + α) 8 2α(1 + α)
α
α
[4a/10, 4a/9] =
,
⊂
, 2
.
10(1 − α)
9(1 − α)
1+α
1+α
Zestawienie tych dwóch obserwacji dowodzi prawdziwości (2.3).
Pozostało dowieść warunek (2.4). W tym celu zauważmy, iż sprawdziliśmy już, że dla
λ ∈ [4a/10, 4a/9] punkt Pλ jest elementem zbioru A0 , zaś punkt Qλ = PLλ (Pλ ) jest końcem odcinka
(1 + α)(A ∩ Lλ ). Zmiana kierunku rzutowania z prostopadłego na kierunek Lµ , gdzie −1/λ < µ < λ
L
powoduje, że PLλµ (Pλ ) 6∈ (1 + α)(A ∩ Lλ ), czyli zachodzi (2.4).
W dalszej części rozdziału będziemy się zajmować zbiorami w przestrzeni n-wymiarowej (Rn ),
gdzie n>2. Przyjmijmy oznaczenia
Mλ = {(x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) ∈ Rn : x2 = λx1 } dla − ∞ < λ < ∞
oraz
M∞ = {(x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 = 0}.
10
Zbiory Mλ dla λ ∈ R oraz M∞ są podprzestreniami liniowymi Rn kowymiaru 1.
Lemat 2.2. Niech n > 2 będzie liczbą naturalną i niech liczby rzeczywiste 0 < a 6 3/4 oraz α > 0
p
spełniają równość a = 2 2α(1 + α)/(1 − α). Określmy zbiory
B = {(x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) ∈ Rn : |x1 | 6 1, x22 + x23 + . . . + x2n 6 4(1 + α)(1 + α − |x1 |)} ∩ B(0, 1 + 3α),
B 0 = conv(B ∩ C(e1 , a)).
Zachodzą następujące warunki:
B \ C(e1 , a) = B(0, 1 + 3α) \ C(e1 , a),
PMλ [B] ⊂ (1 + α)B
PMλ [B 0 ] 6⊂ βB
gdy − ∞ < λ 6 ∞,
gdy 4a/10 6 λ 6 4a/9 oraz 0 < β < 1 + α
(2.5)
(2.6)
(2.7)
oraz
lin v
PM
[B 0 ] 6⊂ (1 + α)B
λ
dla 4a/10 6 λ 6 4a/9 oraz każdego niezerowego wektora v ∈ R3
(2.8)
spełniającego hv, PMλ (e1 )ihv, PM ⊥ (e1 )i > 0.
λ
Zbiór B jest n-wymiarowym odpowiednikiem zbioru A skonstruowanego w lemacie 2.1. Jest to
zbiór wypukły, symetryczny względem 0 = (0, 0, . . . , 0). Jego przecięcie z dowolną dwuwymiarową
podprzestrzenią liniową Rn zawierającą punkt e1 jest izometryczny ze zbiorem A. W podobny sposób zbiór B 0 jest n-wymiarowym odpowiednikiem zbioru A0 . Przekroje obu tych zbiorów hiperpłaszczyznami prostopadłymi do lin e1 są kulami (możliwe, że zdegenerowanymi do punktu lub zbioru
pustego) o środkach leżących na lin e1 . Wynika stąd, że B i B 0 są niezmiennicze ze względu na izometrie zachowujące 0 i lin e1 .
Podobnie, jak w poprzednim lemacie, warunek (2.5) mówi, że zbiór B różni się od kuli B(0, 1 + 3α)
jedynie w bliskim otoczeniu punktów e1 i −e1 , mianowicie w stożku C(e1 , a). Zbiór B 0 jest najmniejszym zbiorem wypukłym, który zawiera te fragmenty brzegu zbioru B, które czynią go różnym od kuli. Warunek (2.6) mówi, że normy (pochodzące od || · ||B ) rzutów ortogonalnych na
n − 1-wymiarowe podprzestrzenie liniowe Mλ ⊂ Rn nie przekraczają 1 + α. Z kolei rzuty ortogonalne na podprzestrzenie Mλ dla 4a/10 6 λ 6 4a/9 mają normę niemniejszą niż 1+α (a więc równą
1 + α). Za tą własność odpowiada warunek (2.7), jednak tak, jak poprzednio, z uwagi na późniejsze
zastosowania jest on wysłowiony silniej i zamiast zbioru B pojawia się w nim jego podzbiór B 0 .
Z (2.8) wynika, że jeśli rozważymy rzut na podprzestrzeń Mλ dla 4a/10 6 λ 6 4a/9 w kierunku,
który spełnia podany w treści lematu warunek, to norma takiego rzutu jest większa niż 1 + α.
11
Dowód. Gdy n = 2, wówczas lemat sprowadza się do lematu 2.1. Dalej zakładamy, że n > 2.
Równość (2.5) wynika natychmiast z (2.1) oraz z tego, że każdy przekrój zbioru B płaszczyzną
zawierającą 0 i e1 jest izometryczny ze zbiorem A.
Przejdźmy do dowodu (2.7).
Będziemy utożsamiać przestrzeń R2 z podprzestrzenią N =
lin{e1 , e2 } = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : x3 = x4 = . . . = xn = 0} ⊂ Rn . Niech 4a/10 6 λ 6 4a/9 oraz
0 < β < 1 + α. Popatrzmy na przekroje zbiorów B, B 0 i Mλ płaszczyzną N . Zachodzą zależności:
Mλ ∩ N = Lλ , PN [B] = B ∩ N = A, PN [B 0 ] = B 0 ∩ N = A0 , a także (wobec Mλ⊥ ⊂ N )
N ∩ PMλ [B 0 ] = PMλ [N ∩ B 0 ] = PLλ [A0 ].
Ponieważ z (2.3) mamy PLλ [A0 ] = (1+α)(Lλ ∩A) oraz wiemy, że Lλ ∩A 6⊂ {0}, więc dla 0 < β < 1+α
zbiór PLλ [A0 ] nie jest zawarty w β(Lλ ∩ A), a więc nie jest też zawarty w zbiorze βA. Oznacza to,
że
N ∩ PMλ [B 0 ] 6⊂ β(N ∩ B) = N ∩ (βB).
Wynika stąd, że PMλ [B 0 ] 6⊂ βB i własność (2.7) jest udowodniona.
Zajmijmy się teraz własnością (2.8). Ustalmy liczbę λ ∈ [4a/10, 4a/9] oraz wektor v ∈ Rn taki,
lin v [B 0 ] 6⊂ (1 + α)B. Wektor w = P (v)
że hv, PMλ (e1 )ihv, PM ⊥ (e1 )i > 0. Mamy pokazać, że PM
N
λ
λ
należy do płaszczyzny N , przy czym (w − v) ⊥ N . Ponieważ zarówno PMλ (e1 ) = PLλ (e1 ), jak
i PM ⊥ (e1 ) = PL⊥ (e1 ) należą do N , więc
λ
λ
hw, PLλ (e1 )ihw, PL⊥ (e1 )i = hw, PMλ (e1 )ihw, PM ⊥ (e1 )i = hv, PMλ (e1 )ihv, PM ⊥ (e1 )i > 0
λ
λ
λ
Wynika stąd, że wektor w jest niezerowy oraz (zgodnie z komentarzem poprzedzającym dowód
lematu 2.1) prosta lin w ⊂ N jest prostą Lµ dla pewnego −1/λ < µ < λ. Z lematu 2.1 mamy
lin v [B 0 ] ⊂ (1 + α)B
PLlinλ w [A0 ] 6⊂ (1 + α)A (własność (2.4) zbioru A). Gdyby zachodziło zawieranie PM
λ
lin v [B 0 ] ⊂
wówczas po przyłożeniu do obu jego stron rzutu ortogonalnego na N mielibyśmy PN PM
λ
lin v = P lin w P (wyni⊂ (1 + α)PN [B]. Zachodzi jednak następująca równość złożeń rzutów PN PM
N
Mλ
λ
kająca z tego, że N ⊥ ⊂ Mλ ), czyli otrzymalibyśmy
lin w
PM
PN [B 0 ] ⊂ (1 + α)PN [B],
λ
czyli
PLlinλ w [A0 ] ⊂ (1 + α)A.
lin v [B 0 ] 6⊂ (1 + α)B, co kończy dowód własności (2.8).
Otrzymana sprzeczność pokazuje, że PM
λ
Dowód zawierania (2.6) wymaga trochę więcej pracy, gdyż nie jest prostym przeniesieniem własności zbiorów A i A0 na zbiory B i B 0 , jak to było z pozostałymi własnościami. Ze względu
na symetrię zbioru B wystarczy przy dowodzeniu warunku (2.6) ograniczyć się do rozważenia rzutów ortogonalnych na płaszczyzny Mλ dla 0 6 λ 6 ∞.
Dla dowolnego zbioru Z ⊂ Rn i wektora ρ = (ρ3 , ρ4 , . . . , ρn ) ∈ Rn−2 oznaczmy
Z ρ = {(x, y) : (x, y, ρ3 , ρ4 , . . . , ρn ) ∈ Z}.
12
Zbiór Z ρ można utożsamić z przekrojem zbioru Z płaszczyzną {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xk = ρk dla
k = 3, 4, . . . , n}, równoległą do płaszczyzny N . Zachodzą następujące zależności:
(βZ)ρ ={(x, y) : (x, y, ρ3 , ρ4 , . . . , ρn ) ∈ βZ} =
(2.9)
={(x, y) : (x/β, y/β, ρ3 /β, ρ4 /β, . . . /β, ρn /β) ∈ Z} =
={(βx, βy) : (x, y, ρ3 /β, ρ4 /β, . . . /β, ρn /β) ∈ Z} = βZ ρ/β
dla Z ⊂ Rn , ρ ∈ Rn−2 i β ∈ R \ {0},
Mλρ = Lλ ,
dla ρ ∈ Rn−2 oraz λ ∈ R ∪ {∞},
B ρ = {(x, y) : |x| 6 1, y 2 + ||ρ||2 6 4(1 + α)(1 + α − |x|)} ∩ B(0,
p
(1 + 3α)2 − ||ρ||2 ),
(2.10)
B 0 = A oraz B ρ ⊂ B τ gdy ||ρ|| > ||τ ||, ρ, τ ∈ Rn−2 .
W zależności od ρ postać zbioru B ρ zmienia się (patrz rys. 3). Gdy 0 6 ||ρ|| < 2
p
α(1 + α)
wówczas brzeg zbioru B ρ (ze względu na symetrię ograniczam się tu tylko do tej części brzegu
zbioru B ρ , która leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych) składa się z odcinka KL prostej
_
_
p
{(x, y) : x = 1}, łuku MN okręgu o środku (0, 0) i promieniu (1 + 3α)2 − ||ρ||2 oraz łuku LM
p
p
paraboli {(x, y) : y 2 + ||ρ||2 = 4(1 + α)(1 + α − x)}. Gdy 2 α(1 + α) 6 ||ρ|| < 2 2α(1 + α), brzeg
p
ten składa się już tylko z łuku okręgu i łuku paraboli, a gdy 2 2α(1 + α) 6 ||ρ|| < 1+3α, to B ρ jest
p
kołem o środku (0, 0) i promieniu (1 + 3α)2 − ||ρ||2 . Wreszcie B ρ = {(0, 0)}, gdy ||ρ|| = 1 + 3α
oraz B ρ = ∅, gdy ||ρ|| > 1 + 3α.
Aby wykazać zawieranie PMλ [B] ⊂ (1 + α)B, wystarczy dla każdego ρ ∈ Rn−2 udowodnić
zawieranie PLλ [B ρ ] = (PMλ [B])ρ ⊂ ((1 + α)B)ρ = (1 + α)B ρ/(1+α) (por. 2.9) lub mocniejsze od
niego zawieranie
PLλ [B ρ ] ⊂ (1 + α)B ρ .
(2.11)
Dla ρ = 0 zawieranie (2.11) zostało wykazane w lemacie 2.1. Istotnie (por. 2.2),
PLλ [B 0 ] = PLλ [A] ⊂ (1 + α)A = (1 + α)B 0 . Fakt ten wykorzystamy następująco: ponieważ dla
dowolnego ρ ∈ Rn−2 mamy B ρ ⊂ B 0 = A, więc
PLλ [B ρ ] ⊂ PLλ [A] ⊂ (1 + α)A ⊂ (1 + α) {(x, y) : |x| 6 1}.
Ze względu na zawieranie B ρ ⊂ B(0,
PLλ [B ρ ] ⊂ PLλ [B(0,
(2.12)
p
(1 + 3α)2 − ||ρ||2 ) mamy też
p
p
(1 + 3α)2 − ||ρ||2 )] ⊂ B(0, (1 + 3α)2 − ||ρ||2 ) ⊂
p
⊂ (1 + α) B(0, (1 + 3α)2 − ||ρ||2 ).
Z (2.12) i (2.13) wynika, że
p
PLλ [B ρ ] ⊂ (1 + α) {(x, y) : |x| 6 1} ∩ B(0, (1 + 3α)2 − ||ρ||2 ) .
13
(2.13)
p
0 < kρk < 2 α(1 + α)
kρk = 0
1 + 3α
N
p
(1 + 3α)2 − kρk2
2
M
p
2α(1 + α)
p
2 α(1 + α)
q
2 2α(1 + α) −
kρk2
4
q
2 α(1 + α) −
kρk2
N
M
L
Pλ
L
4
Rλ
Qλ
Lλ
K
1−α 1 1+α
K
1−α 1 1+α
p
kρk = 2 α(1 + α)
√
1 + 2α + 5α2
p
p
2 α(1 + α) < kρk < 2 2α(1 + α)
N
p
(1 + 3α)2 − kρk2
N
M
p
2 α(1 + α)
q
2 2α(1 + α) −
M
kρk2
4
L
1−α 1 1+α
L
1−α 1 1+α
p
kρk = 2 2α(1 + α)
1−α
p
2 2α(1 + α) < kρk < 1 + 3α
1−α
N
p
(1 + 3α)2 − kρk2
M
1−α 1
N
M
1−α 1
Rysunek 3:
Fragment brzegu zbioru B ρ zawarty w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych dla różnych wartości ||ρ||
(linia gruba). Jedna z linii cienkich to fragment brzeg zbioru (1 + α)B ρ , druga zaś – zbiór możliwych położeń
punktu Qλ dla λ > 0 (ta ostatnia pokrywa się częściowo z linią grubą).
14
Wobec (2.10), aby udowodnić (2.11) pozostaje sprawdzić, że zachodzi zawieranie
PLλ [B ρ ] ⊂ Eρ ,
(2.14)
gdzie Eρ =(1 + α) {(x, y) : y 2 + ||ρ||2 6 4(1 + α)(1 + α − |x|)} =
x
y 2
) + ||ρ||2 6 4(1 + α)(1 + α − |
|)} =
={(x, y) : (
1+α
1+α
||ρ||2
={(x, y) : y 2 6 4(1 + α)2 ((1 + α)2 − |x| −
)}.
4
Gdy ||ρ|| > 1 + 3α, czyli gdy B ρ = ∅ wówczas zawieranie (2.14) oczywiście zachodzi.
p
Gdy 2 2α(1 + α) 6 ||ρ|| 6 1 + 3α, czyli gdy zbiór B ρ jest kołem lub punktem, wówczas
PLλ [B ρ ] ⊂ B ρ ⊂ (1 + α)B ρ ⊂ (1 + α) {(x, y) : y 2 + ||ρ||2 6 4(1 + α)(1 + α − |x|)}
p
i (2.14) również zachodzi. Sytuacja jest bardziej złożona, gdy ||ρ|| < 2 2α(1 + α). Aby nie
p
p
p
rozpatrywać oddzielnie przypadków ||ρ|| < 2 α(1 + α) oraz 2 α(1 + α) 6 ||ρ|| < 2 2α(1 + α)
p
(por. rys. 3), a dodatkowo, by uniknąć kłopotliwych rachunków, rozważmy dla ||ρ|| < 2 2α(1 + α)
zbiór Cρ ⊂ R2 określony wzorem
Cρ = {(x, y) : y 2 + ||ρ||2 6 4(1 + α)(1 + α − |x|)} ∩ B(0,
p
(1 + 3α)2 − ||ρ||2 ).
Z powyższego określenia oraz z (2.10) wynika, że B ρ = Cρ ∩ {(x, y) : |x| 6 1}, w szczególności
p
B ρ ⊂ Cρ . Gdy ||ρ|| > 2 α(1 + α), wówczas Cρ = B ρ . Pokażemy, że
PLλ [Cρ ] ⊂ Eρ ,
co wobec B ρ ⊂ Cρ implikuje (2.14).
Przeprowadzimy rozumowanie podobne, jak w dowodzie lematu 2.1. Ustalmy ρ ∈ Rn−2 takie,
p
że ||ρ|| < 2 2α(1 + α). Dla 0 6 λ 6 ∞ (ze względu na symetrię wystarczy ograniczyć się jedynie
do rozważenia rzutów PLλ dla λ > 0) rzut ortogonalny zbioru Cρ na Lλ jest odcinkiem symetrycznym względem 0 = (0, 0). Niech Qλ będzie tym końcem tego odcinka, który leży w pierwszej
ćwiartce układu współrzędnych, a Pλ ∈ Cρ niech będzie takim punktem, że PLλ (Pλ ) = Qλ . Naszym celem jest pokazanie, że punkt Qλ jest elementem zbioru Eρ . Zobaczmy co się dzieje, gdy λ
rośnie od 0 do
nieskończoności.
√
2α(1+α)−||ρ||2 /4
Gdy λ ∈ 0,
, wówczas punkt Pλ leży na łuku paraboli ograniczającej zbiór Cρ ,
1+α
||ρ||2
||ρ||2
zaś punkt Qλ ma współrzędne Qλ = 1 + α − 4(1+λ
2 )(1+α) , λ(1 + α − 4(1+λ2 )(1+α) ) . Obie współrzędne punktu Qλ są liczbami nieujemnymi i są rosnące, jako
parametru
λ. Z obserwacji
funkcje
√
2α(1+α)−||ρ||2 /4
tej i z określenia zbioru Eρ wynika, że jeśli dla pewnego λ ∈ 0,
punkt Qλ 6∈ Eρ ,
1+α
to także punkt Q √2α(1+α)−||ρ||2 /4 6∈ Eρ . Za chwilę pokażemy, że ten ostatni punkt jest elementem
1+α
zbioru Eρ , a tym samym wszystkie punkty Qλ dla λ z rozważanego przedziału są elementami Eρ .
15
y
Eρ
N
M
Cρ
O
0
x
F
Rysunek 4:
0M. Środek tego okręgu ma współrzędne
Zbiory
C , Eρ oraz okrąg,
„
« którego średnicą jest odcinek
√
qρ
(1+3α)2 −||ρ||2
||ρ||2
1−α
, zaś jego promień ma długość
, 2α(1 + α) − 4
. Zbiór Eρ jest ograniczony łukami
2
2
parabol {(x, y) : y 2 = 4(1 + α)2 ((1 + α)2 − x −
√
√
2α(1+α)−||ρ||2 /4 2
,
1+α
||ρ||2
)}
4
oraz {(x, y) : y 2 = 4(1 + α)2 ((1 + α)2 + x −
2α(1+α)−||ρ||2 /4
1−α
||ρ||2
)}.
4
, wówczas punkt Pλ = M ma współrzędne
Gdy λ ∈
p
(1 − α, 2 2α(1 + α) − ||ρ||2 /4), zaś punkt Qλ znajduje się na okręgu o, którego średnicą jest odcinek 0M (gdyż kąt ∠0Qλ M jest kątem prostym). Okazuje się, że cały ten okrąg zawarty jest
w zbiorze Eρ . W szczególności punkty Qλ dla λ z rozważanego przedziału są elementami Eρ . Również Q √2α(1+α)−||ρ||2 /4 ∈ Eρ . Aby pokazać, że okrąg o jest zawarty w zbiorze Eρ należy pokazać,
1+α
2
że dla każdego punktu X = (x, y) ∈ o zachodzą nierówności y 2 6 4(1 + α)2 ((1 + α)2 − x − ||ρ||
4 ) oraz
2
y 2 6 4(1+α)2 ((1+α)2 +x− ||ρ||
4 ). Ponieważ obie nierówności pokazuje się podobnie, przedstawimy
tylko skrócone rachunki prowadzące do pierwszej (trudniejszej) z nich.
Liczby x, y spełniają nierówność y 2 6 4(1 + α)2 ((1 + α)2 − x −
||ρ||2
4 ),
wtedy i tylko wtedy,
gdy odległość punktu X = (x, y) od ogniska paraboli {(x, y) : y 2 = 4(1 + α)2 ((1 + α)2 − x −
||ρ||2
4 )}
jest niemniejsza niż
tejże paraboli.
odległość
√
q punktu X od kierownicy
(1+3α)2 −||ρ||2
||ρ||2
1−α
Oznaczmy środek
2α(1 + α) − 4
okręgu o literą O, jego promień
literą
2 ,
2
2
2
r, ogisko paraboli literą F = (− ||ρ||
4 , 0), zaś jej kierownicę {(x, y) : x = 2(1 + α) −
16
||ρ||2
4 }
literą k.
Jeśli X = (x, y) ∈ o, wówczas
dist(X, k) − ||X − F|| > (dist(O, k) − r) − (||O − F|| + r) = dist(O, k) − ||O − F|| − 2r =
p
„
« s„
«2
(1 + 3α)2 − ||ρ||2
||ρ||2
||ρ||2
||ρ||2
1−α
1−α
2
−
+
−2
=
= 2(1 + α) −
−
+ 2α(1 + α) −
4
2
2
4
4
2
”
p
p
1“
=
6 + 2α(9 + 4α) − ||ρ||2 − 4(1 + 3α)2 − 4α||ρ||2 + ||ρ||4 − 4 (1 + 3α)2 − ||ρ||2 >
4
s
„
«2
−4α||ρ||2 + ||ρ||4
1
2
>
6 + 2α(9 + 4α) − ||ρ|| − 4(1 + 3α)2 − 4α||ρ||2 + ||ρ||4 +
−
4
4(1 + 3α)
s
„
«2 !
||ρ||2
2
2
− 4 (1 + 3α) − ||ρ|| +
=
2(1 + 3α)
„
„
«
„
««
−4α||ρ||2 + ||ρ||4
||ρ||2
1
=
6 + 2α(9 + 4α) − ||ρ||2 − 2(1 + 3α) +
− 4 1 + 3α −
=
4
4(1 + 3α)
2(1 + 3α)
=2α2 +
(4 − 8α − 8α(1 + α))||ρ||2
(4 − 24α)||ρ||2
(4 − 8α − ||ρ||2 )||ρ||2
>
>
>0
16 + 48α
16 + 48α
16 + 48α
W powyższych szacowaniach wykorzystaliśmy to, że założeń lematu wynika, że α 6 1/11 oraz to,
p
że w rozpatrywanym przez nas przypadku ||ρ|| < 2 2α(1 + α). Otrzymaliśmy, że każdy punkt
okręgu o znajduje się bliżej ogniska paraboli {(x, y) : y 2 = 4(1 + α)2 ((1 + α)2 − x −
||ρ||2
4 )},
niż jej
kierownicy.
To kończy rozważania prowadzące
do dowodu należenia Qλ ∈ Eρ dla λ z przedziału
√
√
2α(1+α)−||ρ||2 /4 2 2α(1+α)−||ρ||2 /4
,
.
1+α
1−α
√
_
2 2α(1+α)−||ρ||2 /4
Wreszcie, gdy λ >
,
punkt
P
=
Q
leży
na
łuku
MN
okręgu ograniczającego
λ
λ
1−α
Cρ i zachodzi
Qλ ∈Cρ ⊂ {(x, y) : y 2 + ||ρ||2 6 4(1 + α)(1 + α − |x|)} ⊂
⊂(1 + α) {(x, y) : y 2 + ||ρ||2 6 4(1 + α)(1 + α − |x|)} = Eρ .
Ostatecznie, dla każdej wartości λ zachodzi zawieranie PLλ [Cρ ] ⊂ Eρ , a to, na podstawie przeprowadzonego rozumowania, pociąga za sobą (2.14), (2.11), a w konsekwencji (2.6).
W lemacie 2.2 rozważane są wyłącznie rzuty na podprzestrzenie liniowe kowymiaru 1. Uogólnimy
go teraz rozważając rzuty na dowolne podprzestrzenie liniowe przestrzeni Rn , których wymiar wynosi
co najmniej 2. W tym celu rozszerzmy dotychczasowe oznaczenia podprzestrzeni Rn następująco:
dla 1 6 k 6 n niech
Mλk = {(x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) ∈ Rn : x2 = λx1 , xk+2 = xk+3 = . . . = xn = 0} gdy − ∞ < λ < ∞
oraz
k
M∞
= {(x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 = 0, xk+2 = xk+3 = . . . = xn = 0}.
Dla ustalonego 1 6 k 6 n oraz λ ∈ R∪{∞} zbiór Mλk jest k-wymiarową podprzestrzenią liniową Rn .
Lemat 2.3. Niech n > 2 będzie liczbą naturalną i niech liczby rzeczywiste 0 < a 6 3/4 oraz α > 0
p
spełniają równość a = 2 2α(1 + α)/(1−α). Ciała wypukłe B i B 0 określone w lemacie 2.2 spełniają
17
dla dowolnego 1 6 k < n następujące warunki:
B \ C(e1 , a) = B(0, 1 + 3α) \ C(e1 , a),
PM k [B] ⊂ (1 + α)B
gdy − ∞ < λ 6 ∞,
λ
PM k [B 0 ] 6⊂ βB
λ
(2.15)
(2.16)
gdy 4a/10 6 λ 6 4a/9 oraz 0 < β < 1 + α
(2.17)
oraz
K
0
PM
k [B ] 6⊂ (1 + α)B
λ
gdy 4a/10 6λ 6 4a/9 i jądro K
rozważanego rzutu zawiera wektor v ∈K ∩ lin(Mλk , e1 ) taki, że
(2.18)
hv, PM k (e1 )ihv, P(M k )⊥ (e1 )i > 0.
λ
λ
Dowód. Równość (2.15) wynika z lematu 2.2 (równość 2.5). Dowodzimy zawieranie (2.16). Ustalmy
liczby k i λ. Jeśli λ = 0, wówczas PM k [B] = B ∩ Mλk ⊂ (1 + α)B. Jeśli zaś λ 6= 0, wówczas e1 6∈ Mλk ,
λ
podprzestrzeń lin(Mλk ∪ {e1 }) ma wymiar o jeden większy niż Mλk oraz PM k = PM k Plin(M k ∪{e1 }) .
λ
λ
λ
Podprzestrzeń
lin(Mλk ∪ {e1 }) ={(x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) ∈ Rn : xk+2 = xk+3 = . . . = xn = 0} =
= lin{e1 , e2 , . . . , ek+1 } = Rk+1 × {0}n−k−1
możemy utożsamić z przestrzenią Rk+1 . Zbiór B ∩ lin(Mλk ∪ {e1 }) = Plin(M k ∪{e1 }) [B] jest w niej
λ
opisany tymi samymi równaniami, co zbiór B w przestrzeni Rk+1 .
Stosując lemat 2.2 (wła-
sność (2.6)) dla zbioru B ∩ lin(Mλk ∪ {e1 }) i podprzestrzeni Mλk ⊂ lin(Mλk ∪ {e1 }) dostajemy
PM k [B ∩ lin(Mλk ∪ {e1 })] ⊂ (1 + α)B ∩ lin(Mλk ∪ {e1 }). Zachodzi zatem
λ
PM k [B] =PM k Plin(M k ∪{e1 }) [B] = PM k [B ∩ lin(Mλk ∪ {e1 })] ⊂
λ
λ
λ
⊂(1 + α)B ∩
λ
lin(Mλk
∪ {e1 }) ⊂ (1 + α)B.
Własność (2.16) zbioru B została udowodniona.
Dowód własności (2.17) jest identyczny, jak dowód własności (2.7) w lemacie 2.2.
Pozostało dowieść, że ciała B i B 0 spełniają warunek (2.18). Ustalmy podprzestrzenie Mλk i K
oraz wektor v. Wektor v jest niezerowy, natomiast wektor e1 6∈ Mλk (gdyż λ > 4a/10 > 0). Podobnie, jak poprzednio, przestrzeń lin(Mλk ∪ {e1 }) możemy utożsamiać z przestrzenią Rk+1 . Zbiory
B ∩ lin(Mλk ∪ {e1 }) i B 0 ∩ lin(Mλk ∪ {e1 }) są w niej opisane identycznie, jak k + 1-wymiarowe zbiory
K , zaś K jest jego jądrem,
B i B 0 w przestrzeni Rk+1 . Ponieważ Mλk jest zbiorem wartości rzutu PM
k
λ
więc K ∩ Mλk = {0}, a K ∩ lin(Mλk ∪ {e1 }) jest jednowymiarową podprzestrzenią liniową zawierającą
niezerowy wektor v, czyli K ∩ lin(Mλk ∪ {e1 }) = lin v.
K do przestrzeni lin(M k ∪ {e }). Zbiorem wartości tego obcięcia
Rozważmy obcięcie rzutu PM
1
k
λ
λ
jest podprzestrzeń Mλk , zaś jądrem K ∩lin(Mλk ∪{e1 }) = lin v. Zastosujmy do tego obcięcia, zbiorów
18
B ∩ lin(Mλk ∪ {e1 }) oraz B 0 ∩ lin(Mλk ∪ {e1 }) lemat 2.2 (własność (2.8)). Otrzymamy wówczas, że
lin v
0
k
k
PM
k [B ∩ lin(Mλ ∪ {e1 })] 6⊂ (1 + α)(B ∩ lin(Mλ ∪ {e1 })).
λ
K [B 0 ∩ lin(M k ∪ {e })] 6⊂ (1 + α)B, czyli warunek (2.18) zachodzi.
Wynika stąd, że PM
1
k
λ
λ
W lematach 2.2 i 2.3 rozważane były szczególne położenia ciała wypukłego i podprzestrzeni,
na które wykonywane były rzutowania. Przeformułujemy teraz lemat 2.3, dopuszczając dowolne
położenia tych zbiorów.
Dla dowolnego wektora e ∈ Rn długości ||e|| = 1 i dowolnej podprzestrzeni liniowej M ⊂ Rn
wymiaru k > 1, symbolem λ(M, e) oznaczmy taki element λ zbioru [0, +∞], że istniejeje zachowująca punkt 0 izometria Φ przestrzeni Rn , która przekształca podprzestrzeń M na podprzestrzeń
Mλk , a wektor e na e1 . Wartość λ(M, e) jest jednoznacznie określona i λ(M, e) = ||M ⊥ e||/||M e||.
Niech e ∈ Rn będzie wektorem o długości 1, a Ψ : Rn → Rn izometrią taką, że Ψ(0) = 0 oraz
Ψ(e1 ) = e. Wówczas dla ustalonej liczby 0 < a 6 3/4 oraz zbiorów B i B 0 określonych w lemacie 2.2,
wzory
D(e, a) = Ψ[B]
(2.19)
i
D0 (e, a) = Ψ[B 0 ] = conv(D(e, a) ∩ C(e, a)),
jednoznacznie definiują ciała wypukłe D(e, a) i D0 (e, a) (ze względu na symetrię ciał B i B 0 nie ma
znaczenia wybór izometrii Ψ). Lemat 2.3 może być przeformułowany następująco:
Wniosek 2.4. Niech n > 2 będzie liczbą naturalną, liczby rzeczywiste 0 < a 6 3/4 oraz α > 0
p
spełniają równość a = 2 2α(1 + α)/(1 − α) i niech D(e, a) oraz D0 (e, a) będą ciałami określonymi
wzorami (2.19). Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej 1 6 k < n i k-wymiarowej podprzestrzeni
liniowej M ⊂ Rn
D(e, a) \ C(e, a) = B(0, 1 + 3α) \ C(e, a),
PM [D(e, a)] ⊂ (1 + α)D(e, a),
PM [D0 (e, a)] 6⊂ βD(e, a)
gdy 4a/10 6 λ(M, e) 6 4a/9 oraz 0 < β < 1 + α
(2.20)
(2.21)
oraz
K
PM
[D0 (e, a)] 6⊂ (1 + α)D(e, a)
gdy 4a/10 6 λ(M, e) 6 4a/9 i jądro K
(2.22)
rozważanego rzutu zawiera wektor v ∈ K ∩ lin(M, e) taki, że hv, PM (e)ihv, PM ⊥ (e)i > 0.
Dotychczas podane lematy opisują własności ciał wypukłych, które powstają z kuli w przestrzeni
euklidesowej przez zniekształcenie jej w okolicach dwóch ustalonych, antypodycznie względem siebie
19
położonych punktów. Na przykład występujące w ostatnim lemacie ciała D(e, a) różnią się od kuli
B(0, 1 + 3α) jedynie wewnątrz stożka C(e, a), w pobliżu punktów e i −e. W stwierdzeniu 2.5,
kończącym ten rozdział pracy podane zotaną podobne własności dla ciał, w których wspomniane
zniekształcenia występują w okolicach większej liczby punktów. Treść stwierdzenia 2.5 jest sformułowana, w odróżnieniu od wcześniejszych lematów, nie w języku zawierania się zbiorów, lecz poprzez
podanie pewnych własności normy ||.||D na Rn , pochodzącej od ciała wypukłego D i wyznaczonej
przez nią normy rzutów na podprzestrzenie liniowe.
Stwierdzenie 2.5. Dany jest skończony zbiór Z, będący podzbiorem sfery jednostkowej w przestrzeni
p
euklidesowj Rn oraz liczby α > 0 i a = 2 2α(1 + α)/(1 − α) 6 3/4. Załóżmy dodatkowo, że dla
dowolnych dwóch różnych punktów x, y ∈ Z przecięcie stożków C(x, a) i C(y, a) składa się wyłącznie
z punktu 0. Wówczas istnieje ciało wypukłe D ⊂ R3 spełniające warunek:
||PM ||D 6 1 + α
dla każdej liniowej podprzestrzeni M ⊂ Rn .
Ponadto dla dowolnej liczby naturalnej 1 6 k < n i k-wymiarowej podprzestrzeni liniowej M ⊂ Rn
||PM ||D > 1 + α
jeśli dla pewnego x ∈ Z zachodzi 4a/10 6 λ(M, x) 6 4a/9
oraz
K
||PM
||D > 1 + α
gdy dla pewnego x ∈ Z zachodzi 4a/10 6 λ(M, x) 6 4a/9, a jądro K
rozważanego rzutu zawiera wektor v ∈ K ∩ lin(M, x) taki, że hv, PM (x)ihv, PM ⊥ (x)i > 0.
Dowód. Ciało D określamy formułą
D=
\
D(x, a),
x∈Z
gdzie D(x, a) jest zdefiniowane przez (2.19). Ze względu na to, że dla dowolnych różnych punktów
x, y ∈ Z przecięcie stożków C(x, a) ∩ C(y, a) = {0}, zachodzi ∀x∈Z D ∩ C(x, a) = D(x, a) ∩ C(x, a),
co z kolei, ze względu na wypukłość ciała D daje ∀x∈Z D0 (x, a) = conv(D(x, a) ∩ C(x, a)) =
conv(D ∩ C(x, a)) ⊂ D. Mamy więc
∀x∈Z
D0 (x, a) ⊂ D ⊂ D(x, a).
Na podstawie (2.20) dla każdego x ∈ Z i dla każdej k-wymiarowej podprzestrzeni liniowej
M ⊂ R3 zachodzi
PM [D] ⊂ PM [D(x, a)] ⊂ (1 + α)D(x, a),
a stąd
PM [D] ⊂
\
(1 + α)D(x, a) = (1 + α)D,
x∈Z
20
a więc ||PM ||D 6 1 + α.
Załóżmy teraz, że podprzestrzeń M ⊂ Rn ma wymiar k (1 6 k < n) i dla pewnego x ∈ Z
zachodzi 4a/10 6 λ(M, x) 6 4a/9. Wówczas z (2.21) wynika, że
PM [D] ⊃ PM [D0 (x, a)] 6⊂ βD(x, a) ⊃ βD
dla 0 < β < 1 + α,
a więc PM [D] 6⊂ βD, czyli ||PM ||D > 1 + α.
K zawiera wektor v ∈ K ∩ lin(M, x),
Podobnie, jeśli dodatkowo założymy, że jądro rzutu PM
dla którego hv, PM (x)ihv, PM ⊥ (x)i > 0, to z (2.22) wynika, że
K
K
PM
[D] ⊃ PM
[D0 (x, a)] 6⊂ (1 + α)D(x, a) ⊃ (1 + α)D.
K [D] 6⊂ (1 + α)(M ∩ D), czyli ||P K || > 1 + α.
Zatem PM
M D
Dalsze rozdziały pracy poświęcone są konstrukcjom zbiorów Z, które spełniają warunki podane
w treści stwierdzenia 2.5 dla możliwie bogatych rodzin rzutów na podprzestrzenie Rn . Dokładniej,
zbiory Z zostaną skonstruowane w ten sposób, by przestrzenie (Rn , || · ||D ) określone w stwierdzeniu 2.5 miały własność (α, 1).
21
3
a-roje
W sformułowaniu stwierdzenia 2.5 występują pewne warunki, wiążące zbiór Z z rzutami na podprzestrzenie liniowe przestrzeni Rn . Postaramy się obecnie przyjrzeć bliżej tym warunkom i uprościć
je tak, by możliwa była konstrukcja spełniającego je zbioru Z. Wprowadzimy w tym celu kilka pojęć,
z których szczególnie użyteczne będzie pojęcie a-roju dla podprzestrzeni liniowej Rn kowymiaru 1.
Zacznijmy jednak od pewnych rozważań pomocniczych.
Definicja 3.1. Powiemy, że wektor x ∈ Rn leży pomiędzy wektorami x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn gdy
P
x = ki=1 ti xi dla jednoznacznie wyznaczonych liczb ti > 0.
W szczególności, jeśli wektor x leży pomiędzy wektorami x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn , to wszystkie te
wektory (łącznie z x) leżą w jednej k-wymiarowej podprzestrzeni liniowej przestrzeni Rn , każdy
z nich jest wektorem niezerowym i każde k z nich jest liniowo niezależnych. Musi zatem zachodzić
nierówność k 6 n.
Uwaga 3.2. Jeśli wektor x leży pomiędzy wektorami x1 , x2 ,. . . , xk ∈ Rn oraz liczby s, s1 , s2 ,. . . ,
sk są dodatnie, wówczas wektor sx leży pomiędzy wektorami s1 x1 , s2 x2 ,. . . , sk xk .
Uwaga 3.3. Załóżmy, że wektory x1 , x2 ,. . . ,xk ∈ Rn są afinicznie niezależne, podprzestrzeń afiniczna
rozpięta przez x1 , x2 , . . . , xk nie zawiera punktu 0, a ponadto x znajduje się we wnętrzu sympleksu
conv{x1 , x2 , . . . , xk }. Wówczas x leży pomiędzy x1 , x2 ,. . . ,xk .
P
Dowód. Istotnie, skoro x znajduje się we wnętrzu sympleksu conv{x1 , x2 , . . . , xk }, to x = ki=1 ti xi
P
P
dla pewnych liczb t1 , t2 , . . . , tk > 0 takich, że ki=1 ti = 1. Pozostaje pokazać, że jeśli x = ki=1 t0i xi
dla t01 , t02 , . . . , t0k > 0, to t01 = t1 , t02 = t2 ,. . . , t0k = tk .
Zachodzą równości
k
k
k
X
X
X
0
(ti − ti )xi =
t i xi −
t0i xi = x − x = 0.
i=1
i=1
(3.1)
i=1
P
Pk
0
Nie może przy tym być ki=1 (ti − t0i ) 6= 0. Gdyby bowiem tak było, to dla a =
i=1 (ti − ti )
P
P
t −t0
t −t0
mielibyśmy ki=1 i a i xi = 0 oraz ki=1 i a i = 1, a to przeczy założeniu mówiącemu, że 0 nie
należy do podprzestrzeni afinicznej rozpiętej przez x1 , x2 , . . . , xk .
P
Zatem ki=1 (ti − t0i ) = 0, co biorąc pod uwagę (3.1) i to, że wektory xi są afinicznie niezależne,
daje ti − t0i = 0 dla i=1, 2, . . . , k, a stąd t01 = t1 , t02 = t2 ,. . . , t0k = tk .
Lemat 3.4. Niech y1 , y2 ,. . . ,yn ∈ M i z1 , z2 ,. . . ,zn ∈ M ⊥ dla pewnej n − 1-wymiarowej podprzestrzeni liniowej M ⊂ Rn . Jeśli yn leży pomiędzy y1 , y2 ,. . . , yn−1 oraz hzi , zn i < 0, dla
i = 1, 2, . . . , n − 1, wówczas dla każdego wektora v ∈ Rn , v 6∈ M ∪ M ⊥ istnieje 1 6 i 6 n spełniające
hv, yi ihv, zi i > 0.
22
Dowód. Wektor yn leży pomiędzy y1 , y2 ,. . . ,yn−1 , a więc yn =
Pn−1
i=1
ti yi dla dodatnich liczb
t1 , t2 , . . . , tn−1 . Ponieważ wektory y1 , y2 ,. . . ,yn−1 są liniowo niezależne, jest ich n − 1 i należą do
n − 1-wymiarowej przestrzeni M , więc lin(y1 , y2 , . . . , yn−1 ) = M . Ponieważ z kolei v 6∈ M ⊥ , więc
hv, yi i =
6 0 dla pewnego 1 6 i 6 n − 1. Bez zmniejszania ogólności załóżmy, że hv, y1 i =
6 0. Lemat
zostanie udowodniony, jeśli pokażemy, że z nierówności
hv, y1 ihv, z1 i < 0 oraz hv, yi ihv, zi i 6 0 dla 2 6 i 6 n − 1
(3.2)
wynika nierówność
hv, yn ihv, zn i > 0.
(3.3)
Warunek hzi , zn i > 0, dla i = 1, 2, . . . , n − 1 oznacza, że wszystkie wektory zi są niezerowe
i zn leży po przeciwnej stronie hiperpłaszczyzny M niż z1 , z2 , . . . , zn−1 . Ponieważ zaś v 6∈ M ,
więc, w zależności od tego, po której stronie hiperpłaszczyzny M leży v, albo hv, zi i > 0 dla
i = 1, 2, . . . , n − 1 oraz hv, zn i < 0, albo hv, zi i < 0 dla i = 1, 2, . . . , n − 1 oraz hv, zn i > 0.
Dalej rozważamy pierwszy z tych przypadków (w drugim postępowanie jest analogiczne). Warunek (3.2) implikuje
hv, y1 i < 0 oraz hv, yi i 6 0 dla 2 6 i 6 n − 1,
a zatem
hv, yn i = hv,
n−1
X
ti yi i =
i=1
n−1
X
ti hv, yi i < 0.
i=1
Ostatecznie, wobec hv, zn i < 0, dostajemy (3.3), co kończy dowód lematu.
Następujące pojęcie będzie kluczowe dla reszty pracy.
Definicja 3.5. Dla ustalonego a > 0 powiemy, że skończony zbiór Z ⊂ Rn jest a-rojem dla
podprzestrzeni liniowej M ⊂ Rn kowymiaru 1, jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów x, y ∈ Z
przecięcie stożków C(x, a) i C(y, a) składa się wyłącznie z punktu 0, a ponadto można wybrać punkty
x1 , x2 , . . . , xn ∈ Z takie, że
PM (xn ) leży pomiędzy PM (x1 ), PM (x2 ), . . . , PM (xn−1 ),
xn leży po przeciwnej stronie hiperpłaszczyzny M niż x1 , x2 , . . . , xn−1 ,
M ∩ C(xi , 4a/10) = {0} oraz M ∩ C(xi , 4a/9) 6= {0} dla 1 6 i 6 n.
Ostatni z powyższych warunków można zapisać używając funkcji λ zdefiniowanej w poprzednim
rozdziale (por. wniosek 2.4 i poprzedzający go komentarz). Można mianowicie zapisać go jako
4a/10 < λ(M, xi ) 6 4a/9 dla 1 6 i 6 n.
Następujący wniosek wynika z lematu 3.4 i stwierdzenia 2.5:
23
Wniosek 3.6. Niech liczby α > 0 i a 6 3/4 spełniają zależność a = 2
p
2α(1 + α)/(1 − α). Jeśli
zbiór Z jest a-rojem dla n − 1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej M ⊂ Rn , wówczas istnieje ciało
wypukłe D ⊂ R3 spełniające warunki:
||PN ||D 6 1 + α
dla każdej liniowej podprzestrzeni N ⊂ Rn ,
||PM ||D = 1 + α,
oraz
K
||PM
||D > 1 + α
K
dla każdego nieortogonalnego rzutu PM
na M.
Dowód. Określmy zbiór Z 0 = {y/||y|| : y ∈ Z}. Jest on, podobnie, jak Z, a-rojem dla hiperpłaszczyzny M , przy czym wszystkie jego elementy mają długość 1. Dla tak określonego zbioru Z 0 niech
D będzie ciałem zdefiniowanym w stwierdzeniu 2.5. Norma rzutu ortogonalnego na dowolną liniową
podprzestrzeń N ⊂ Rn nie przekracza wówczas 1 + α.
Ponieważ Z 0 jest a-rojem dla M , więc dla pewnego x ∈ Z 0 zachodzi 4a/10 < λ(M, x) 6 4a/9,
a zatem ||PM ||D = 1 + α.
lin(v)
Rozważmy rzut nieortogonalny PM
na M . Wektor v 6∈ M ∪ M ⊥ . Z tego, że Z 0 jest
a-rojem dla M wynika, że istnieją punkty x1 , x2 , . . . , xn ∈ Z 0 takie, że PM (xn ) leży pomiędzy PM (x1 ), PM (x2 ), . . . , PM (xn−1 ) oraz xn leży po przeciwnej stronie hiperpłaszczyzny M niż
x1 , x2 , . . . , xn−1 . Stosując lemat 3.4 dla yi = PM (xi ), zi = PM ⊥ (xi ) oraz wektora v dostajemy 1 6 i 6 n takie, że hv, PM (xi )ihv, PM ⊥ (xi )i > 0. Ponieważ zachodzą również nierówności
lin v || > 1 + α.
4a/10 < λ(M, xi ) 6 4a/9 dla 1 6 i 6 n, więc na podstawie stwierdzenia 2.5 mamy ||PM
24
4
Prostopadłościany, kostki i ich szczególne podzbiory
Aby wykorzystać wniosek 3.6 musimy znaleźć liczbę 0 < a 6 3/4 i skonstruować skończony podzbiór
Z przestrzeni Rn , który jest a-rojem dla każdej n − 1-wymiarowej podprzestrzeni liniowej M ⊂ Rn .
Najpierw skonstruujemy jednak pewne podzbiory przestrzeni euklidesowej spełniające pewien
warunek podobny do tego występującego w definicji a-roju (por. definicje 3.5 i 4.1). W następnym
rozdziale w oparciu o uzyskane teraz wyniki zostanie skonstruowany żądany a-rój Z ⊂ Rn .
Prostopadłościanem n-wymiarowym nazwiemy każdy podzbiór przestrzeni euklidesowej, który
jest izometryczny ze zbiorem [c1 , d1 ] × [c2 , d2 ] × · · · × [cn , dn ] ⊂ Rn , gdzie ci < di dla i = 1, 2, . . . , n.
Jeśli R = Φ[[c1 , d1 ] × [c2 , d2 ] × · · · × [cn , dn ]] jest prostopadłościanem (a Φ izometrią występującą w jego definicji), wówczas ścianami (n − 1-wymiarowymi) prostopadłościanu R są zbiory
Φ[[c1 , d1 ] × · · · × [ck−1 , dk−1 ] × {ck } × [ck+1 , dk+1 ] × · · · × [cn , dn ]] oraz Φ[[c1 , d1 ]×· · ·×[ck−1 , dk−1 ]×
×{dk } × [ck+1 , dk+1 ] × · · · × [cn , dn ]] dla k = 1, 2 . . . , n. Ściany Φ[[c1 , d1 ] × · · · × [ck−1 , dk−1 ] × {ck } ×
×[ck+1 , dk+1 ] × · · · × [cn , dn ]] oraz Φ[[c1 , d1 ] × · · · × [ck−1 , dk−1 ] × {dk } × [ck+1 , dk+1 ] × · · · × [cn , dn ]]
nazywamy ścianami przeciwległymi.
Wnętrze prostopadłościanu R to zbiór Int R = Φ[(c1 , d1 )×(c2 , d2 )×· · ·×(cn , dn )]. Jego brzeg zaś,
∂R = R \ Int R, jest równy sumie mnogościowej wszystkich ścian prostopadłościanu R. Zauważmy,
że w sytuacji, gdy prostopadłościan R jest podzbiorem przestrzeni euklidesowej wymiaru większego
niż n, wówczas tak zdefiniowane pojęcia wnętrza i brzegu prostopadłościanu nie pokrywają się
z pojęciami wnętrza i brzegu topologicznego.
Symbolem Rδ będziemy oznaczać zbiór Rδ = {x ∈ R : dist(x, ∂R) > δ}. W zależności od
wielkości δ, zbiór Rδ ⊂ R jest prostopadłościanem (być może wymiaru mniejszego niż n), zbiorem
jednopunktowym lub zbiorem pustym.
Prostopadłościan R = Φ[[c1 , d1 ]×[c2 , d2 ]×· · ·×[cn , dn ]] nazwiemy kostką, gdy d1 −c1 = d2 −c2 =
= · · · = dn − cn .
W rozdziale tym będzie nas interesowało pewne szczególne położenie hiperpłaszczyzny i n + 1
punktów w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej:
Definicja 4.1. Powiemy, że hiperpłaszczyzna M i punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej i liczby r > 0 oraz 0 < p < q < 1 spełniają warunek F, gdy
(i). ||xi − xj || > 3r gdy 1 6 i < j 6 n + 1,
(ii). xn+1 znajduje się po przeciwnej stronie hiperpłaszczyzny M niż x1 , x2 ,. . . , xn ,
(iii). pr < dist(xi , M ) < qr dla i = 1, 2, . . . , n + 1,
(iv). jeśli y1 , y2 , . . . , yn+1 ∈ M są punktami takimi, że ||xi −yi || 6 r dla i = 1, 2, . . . , n+1, wówczas
y1 , y2 , . . . , yn są afinicznie niezależne oraz yn+1 ∈ Int conv{y1 , y2 , . . . , yn }.
25
Ostatni warunek można przeformułować następująco: Jeśli y1 , y2 , . . . , yn+1 ∈ M są punktami takimi, że ||xi − yi || 6 r dla i = 1, 2, . . . , n + 1, wówczas istnieje dokładnie jedna n-ka
P
P
(t1 , t2 , . . . , tn ) ∈ Rn taka, że t1 , t2 , . . . , tn > 0, ni=1 ti = 1 oraz yn+1 = ni=1 ti yi .
Rozważmy przykład sytuacji, w której warunek F zachodzi.
Przykład 4.2. Ustalmy dowolnie liczby 0 < p < q < 1. Niech r = 1/(3n), hiperpłaszczyzna
M = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 + x2 + . . . + xn = 1}, a ponadto
p+q
1
1
1
√ , √ ,..., √
xi = ei + r
dla i = 1, 2, . . . , n
2
n n
n
1 1
p+q
1
1
1
1
√ , √ ,..., √
xn+1 =
−r
, ,...,
.
n n
n
2
n n
n
Ze względu na dalsze wykorzystanie oznaczmy H = {x1 , x2 , . . . , xn+1 }. Dla tak określonych M ,
x1 , x2 , . . . , xn+1 , r, p i q warunek F jest spełniony.
Aby upewnić się, że tak jest istotnie, zaobserwujmy, że wektory ei (i = 1, 2, . . . , n) są afinicznie
(a nawet liniowo) niezależne, wszystkie należą do hiperpłaszczyzny M , a także (1/n, 1/n, . . . , 1/n) =
= (e1 +e1 +. . .+e1 )/n ∈ M . Wszystkie punkty xi znajdują się w odległości r(p+q)/2 od hiperpłaszczyzny M , przy czym xn+1 znajduje się po przeciwnej stronie M niż x1 , x2 , . . . , xn . Części (ii) i (iii)
warunku F są zatem spełnione. Prosty rachunek pokazuje, że min{||xi −xj || : 1 6 i < j 6 n+1} >
√
> 1/ 2 > 3/5 > 3r, zatem również część (i) jest spełniona. Liczba r = 1/(3n) jest przy tym tak
mała, że występujące w (iv) punkty y1 , y2 ,. . . ,yn , znajdują się na tyle blisko punktów e1 , e2 ,. . . ,en ,
zaś punkt yn+1 blisko (1/n, 1/n, . . . , 1/n), że (iv) jest spełnione. Dodatkowo można sprawdzić,
√
że średnica zbioru H = {x1 , x2 , . . . , xn+1 } wynosi 2 (informacja ta będzie dalej przydatna).
Następujące dwie obserwacje również będą potrzebne w dalszej części rozdziału:
Uwaga 4.3. Warunek F jest warunkiem otwartym ze względu na hiperpłaszczyznę M , to znaczy
dla ustalonych punktów x1 , x2 ,. . . , xn+1 oraz liczb r > 0 i 0 < p < q < 1 zbiór {M : warunek F
jest spełniony dla M, x1 , x2 , . . . , xn+1 , r, p, q} jest zbiorem otwartym w przestrzeni hiperpłaszczyzn.
Inaczej mówiąc, jeśli warunek F jest spełniony dla hiperpłaszczyzny M , punktów x1 , x2 ,. . . , xn+1
oraz liczb r > 0 i 0 < p < q < 1, to będzie on spełniony także wtedy, gdy hiperpłaszczyznę M
zatąpimy dowolną hiperpłaszczyzną M 0 dostatecznie bliską M , w sensie określonej w rozdziale 1
metryki w przestrzeni hiperpłaszczyzn.
Uwaga 4.4. Niech Ψ : Rn → Rn będzie podobieństwem o skali t > 0, czyli złożeniem pewnej
izometrii przestrzeni Rn i homotetii x 7→ tx. Jeśli warunek F jest spełniony dla hiperpłaszczyzny
M , punktów x1 , x2 ,. . . ,xn+1 oraz liczb r, p i q, to jest spełniony także dla hiperpłaszczyzny Ψ[M ],
punktów Ψ(x1 ), Ψ(x2 ),. . . ,Ψ(xn+1 ) oraz liczb tr, p i q.
Sformułujemy teraz główny rezultat niniejszego rozdziału, który pozwoli nam w kolejnym rozdziale skonstruować zbiór, będący a-rojem dla każdej podprzestrzeni liniowej Rn kowymiaru 1.
26
Stwierdzenie 4.5. Dla dowolnej liczby naturalnej n > 2, kostki Q ⊂ Rn i liczb 0 < p < q < 1,
δ > 0 istnieje skończony zbiór X ⊂ Rn oraz liczba 0 < r < δ/3 takie, że
(a). X ⊂ Q2δ/3 ,
(b). ||x1 − x2 || > 3r dla dowolnych dwóch różnych punktów x1 , x2 ∈ X,
(c). jeśli hiperpłaszczyzna M ⊂ Rn przecina zbiór Qδ wówczas dla hiperpłaszczyzny M , pewnych
punktów x1 , x2 ,. . . ,xn+1 ∈ X oraz liczb r, p i q spełniony jest warunek F.
Użyjemy następujących trzech lematów:
Lemat 4.6. Niech n > 2 będzie liczbą naturalną. Dla dowolnych liczb rzeczywistych 0 < k 6 1 oraz
0 < p < q < 1 istnieje liczba K > 0 i zbiór Y ⊂ {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : 0 6 x1 6 K} taki, że
• ||x1 − x2 || > 3/5 dla dowolnych dwóch różnych punktów x1 , x2 ∈ Y ,
• Jeśli M ⊂ Rn jest hiperpłaszczyzną, a L ⊂ M prostą, której kierunek (a1 , a2 , . . . , an ) spełnia
warunek |a1 | > k, wówczas istnieją punkty x1 , x2 ,. . . ,xn+1 ∈ Y takie, że dist(xi , L) < 2 dla
i = 1, 2, . . . , n + 1 oraz hiperpłaszczyzna M , punkty x1 , x2 ,. . . ,xn+1 oraz liczby r = 1/(3n), p
i q spełniają warunek F.
Dowód. Zbiór Y będziemy konstruować etapami. Kolejno określimy zbiory YL,M,0 , YL,M , YL ,
by wreszcie zdefiniować żądany zbiór Y . Występujące w indeksach L i M są odpowiednio 1i n − 1-wymiarową podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn . Zbiory YL,M,0 , YL,M , YL mają własności nieco słabsze od tych, które ma mieć zbiór Y . Spełniają pierwszą część tezy lematu, jednak
drugą spełniają dopiero po nałożeniu dodatkowych warunków na prostą L i hiperpłaszczyznę M .
W przypadku zbioru YL,M,0 druga część tezy lematu jest spełniona jedynie wtedy, gdy prosta L
jest równoległa do L, hiprpłaszczyzna M jest równoległa do M oraz 0 ∈ L (czyli, mówiąc prościej,
L = L i M = M). W przypadku zbioru YL,M jest ona spełniona gdy prosta L jest równoległa
do L a hiperpłaszczyzna M jest równoległa do M. W przypadku zbioru YL wymagana jest jedynie
równoległość prostej L do podprzestrzeni L.
Niech F ⊂ RP n−1 będzie rodziną 1-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni Rn takich, że L ∈ F
wtedy i tylko wtedy, gdy kierunek (a1 , a2 , . . . , an ) prostej L spełnia nierówność |a1 | > k (liczba
0 < k 6 1 jest dana w założeniach dowodzonego lematu). Zbiór F jest zwarty, gdyż jest domkniętym
podzbiorem przestrzeni RP n−1 , która jest zwarta.
Dla ustalonej 1-wymiarowej podprzestrzeni liniowej L ∈ F i n − 1 wymiarowej podprzestrzeni
liniowej M ⊂ Rn , takiej, że L ⊂ M zdefiniujemy zbiór YL,M,0 . Wykorzystamy w tym celu podany wcześniej przykład. Niech χ : Rn → Rn będzie izometrią przekształcającą hiperpłaszczyznę
27
{(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 + x2 + . . . + xn = 1} na podprzestrzeń M, prostą przechodzącą przez punkty
e1 i e2 na podprzestrzeń L i taką, że χ[H] ⊂ {(x1 , x2 , . . . , xn ) : 0 6 x1 6 2}. Niech
YL,M,0 = χ[H] + 3({0} × Zn ).
Zbiór ten składa się z przeliczalnie wielu izometrycznych kopii zbioru H, których położenie uzależnione jest od podprzestrzeni M i L. Jest on zawarty w zbiorze {(x1 , x2 , . . . , xn ) : 0 6 x1 6 2},
jest okresowy w tym sensie, że dla każdego wektora x ∈ 3({0} × Zn ) zachodzi x + YL,M,0 = YL,M,0
√
i odległość dowolnych dwóch różnych jego punktów jest niemniejsza niż min(3/5, 3 − 2) = 3/5
√
( 2 jest średnicą zbioru H). Ponadto hiperpłaszczyzna M, pewne punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 ∈ YL,M,0
odległe od prostej L o mniej niż 2 oraz liczby 1/(3n), p i q spełniają warunek F (jako x1 , x2 ,. . . ,
xn+1 można wybrać elementy zbioru χ[H]).
Niech zbiór UL,M,0 ⊂ {0}×Rn−1 będzie zbiorem takich wektorów y, że hiperpłaszczyzna y+M,
pewne punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 ∈ YL,M,0 odległe od prostej y + L o mniej niż 2 oraz liczby 1/(3n), p
i q spełniają warunek F. Zbiór ten jest otwartym podzbiorem {0} × Rn−1 , 0 ∈ UL,M,0 i dla każdego
wektora x ∈ 3({0}×Zn ) zachodzi x+UL,M,0 = UL,M,0 . Zauważmy, że ten sam zbiór otwarty otrzymamy, gdy w powyższym jego opisie zastąpimy YL,M,0 przez ta + YL,M,0 , gdzie a = (a1 , a2 , . . . , an )
jest kierunkiem prostej L oraz t ∈ R, czyli gdy przesuniemy zbiór YL,M,0 o dowolny wektor równoległy do prostej L.
Ponieważ zbiór {0} × [0, 3]n−1 jest zbiorem zwartym, a zbiór UL,M,0 ⊂ {0} × Rn−1 niepustym
zbiorem otwartym, więc istnieje skończony zbiór punktów {f1 , f2 , . . . , fj } ⊂ {0} × Rn−1 taki, że zachodzi zawieranie
n−1
{0} × [0, 3]
⊂
j
[
(fi + UL,M,0 ).
i=1
Z uwagi na okresowość zbioru UL,M,0 oznacza to, że
Sj
i=1 (fi
+ UL,M,0 ) = {0} × Rn−1 . Określmy
zbiór YL,M formułą
YL,M =
j
[
(fi +
i=1
3i
a + YL,M,0 ).
|a1 |
Zdefiniowany zbiór YL,M jest zawarty w {(x1 , x2 , . . . , xn ) : 0 6 x1 6 3(j + 1)}, Zbiór ten składa
się ze skończonej liczby odpowiednio przesuniętych kopii zbioru YL,M,0 . Odległość między nimi
jest niemniejsza niż 1, a zatem odległość dowolnych dwóch różnych punktów zbioru YL,M jest
niemniejsza niż 3/5. Jeśli hiperpłaszczyzna M ⊂ Rn jest równoległa do M, a prosta L ⊂ Rn jest
równoległa do L oraz L ⊂ M , wówczas M , pewne punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 ∈ YL,M odległe od
prostej L o mniej niż 2 oraz liczby 1/(3n), p i q spełniają warunek F. (Jeśli punkt przecięcia
prostej L i zbioru {0} × Rn−1 jest elementem fi + UL,M,0 , wówczas punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 można
wybrać ze zbioru fi +
3i
|a1 | a + YL,M,0 .)
Tą samą własność ma dowolny zbiór powstały z YL,M przez
przesunięcie go o dowolny wektor.
28
Dla ustalonej podprzestrzeni 1-wymiarowej L ∈ F niech FL będzie rodziną n − 1-wymiarowych
podprzestrzeni liniowych zawierających L. Zbiór FL jest zwarty, gdyż jest domkniętym podzbiorem
zwartej przestrzeni wszystkich n−1-wymiarowych podprzestrzeni liniowych Rn (która to przestrzeń
jest homeomorficzna z przestrzenią rzutową RP n−1 , por. rozdział 1.1).
Niech L ∈ F i M ⊃ L będą odpowiednio 1- i n − 1-wymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi
Rn . Symbolem UL,M oznaczmy zbiór takich podprzestrzeni N ∈ FL , że jeśli hiperpłaszczyzna
M ⊂ Rn jest równoległa do N , a prosta L ⊂ Rn jest równoległa do L oraz L ⊂ M , wówczas
M , pewne punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 ∈ YL,M odległe od prostej L o mniej niż 2 oraz liczby 1/(3n),
p i q spełniają warunek F. Oczywiście M ∈ UL,M . Co więcej, zbiór UL,M jest otwarty w FL
(uzasadnimy to później), a zatem rodzina {UL,M : M ∈ FL } stanowi pokrycie otwarte zwartego
zbioru FL . Można z niego wybrać podpokrycie skończone {UL,M1 , UL,M2 , . . . , UL,Ml }.
Zbiór YL określmy formułą:
YL =
l
[
(i(c + 1)e1 + YL,Mi ),
i=1
gdzie c jest taką liczbą, że wszystkie zbiory YL,Mi są zawarte w {(x1 , x2 , . . . , xn ) : 0 6 x1 6 c}.
Zachodzi zawieranie YL ⊂ {(x1 , x2 , . . . , xn ) : 0 6 x1 6 (l + 1)(c + 1)}. Zbiór YL składa się
ze skończonej liczby odpowiednio przesuniętych kopii zbioru YL,M . Odległość między nimi jest
niemniejsza niż 1. Odległość dowolnych dwóch różnych punktów zbioru YL,M jest niemniejsza
niż 3/5. Jeśli prosta L ⊂ Rn jest równoległa do L, a hiperpłaszczyzna M ⊂ Rn zawiera prostą
L, wówczas M , pewne punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 ∈ YL odległe od prostej L o mniej niż 2 oraz
liczby 1/(3n), p i q spełniają warunek F. (Jeśli hiperpłaszczyzna M ⊂ Rn jest równoległa do
podprzestrzeni liniowej N ∈ UL,Mi , wówczas punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 można wybrać ze zbioru
i(c+1)e1 +YL,Mi .) Tą samą własność ma każdy zbiór powstały z YL przez przesunięcie go o dowolny
wektor.
Raz jeszcze wykonajmy podobne rozumowanie, tym razem wykorzystując zwartość rodziny prostych F .
Niech L będzie 1-wymiarową podprzestrzeią liniową Rn , należącą do rodziny F . Symbolem
UL oznaczmy zbiór takich prostych K ∈ RP n−1 , że jeśli prosta L ⊂ Rn jest równoległa do K
i hiperpłaszczyzna M ⊂ Rn zawiera prostą L, wówczas M , pewne punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 ∈ YL
odległe od prostej L o mniej niż 2 oraz liczby 1/(3n), p i q spełniają warunek F. Oczywiście
L ∈ UL . Co więcej, zbiór UL jest otwarty w RP n−1 (uzasadnimy to później), a zatem rodzina
{UL : L ∈ F } stanowi pokrycie otwarte zwartego zbioru F . Można wybrać podpokrycie skończone
{UL1 , UL2 , . . . , ULm }.
29
Zbiór Y i liczbę K określmy formułą:
Y =
m
[
(i(d + 1)e1 + YLi ),
i=1
K = (m + 1)(d + 1),
gdzie d jest taką liczbą, że wszystkie zbiory YLi są zawarte w {(x1 , x2 , . . . , xn ) : 0 6 x1 6 d}.
Zachodzi zawieranie Y ⊂ {(x1 , x2 , . . . , xn ) : 0 6 x1 6 K}. Odległość dowolnych dwóch różnych
punktów zbioru Y jest niemniejsza niż 3/5. Jeśli prosta L ⊂ Rn ma kierunek (a1 , a2 , . . . , an ) taki,
że |a1 | > k a hiperpłaszczyzna M ⊂ Rn zawiera prostą L, wówczas M , pewne punkty x1 , x2 ,. . . ,
xn+1 ∈ YL,M odległe od prostej L o mniej niż 2 oraz liczby 1/(3n), p i q spełniają warunek F.
(Jeśli prosta L ⊂ Rn jest równoległa do prostej K ∈ ULi , wówczas punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 można
wybrać ze zbioru i(d + 1)e1 + YLi .)
Pozostało udowodnić otwartość zbiorów UL,M oraz UL . Oba rozumowania są podobne, więc
ograniczymy się jedynie do pokazania, że zbiór UL,M jest otwarty w FL . Przeprowadzimy dowód
nie wprost. Załóżmy w tym celu, że istnieje ciąg N1 , N2 , . . . elementów FL zbieżny do N ∈ FL taki,
że N ∈ UL,M , podczas gdy Ni 6∈ UL,M dla i = 1, 2, . . .. Oznacza to, że istnieją hiperpłaszczyzny
Mi ⊂ Rn oraz proste Li ⊂ Mi takie, że dla i = 1, 2, . . . hiperpłaszczyzna Mi jest równoległa do Ni ,
prosta Li jest równoległa do L i nie istnieją punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 ∈ YL,M odległe od prostej L
o mniej niż 2 takie, że Mi , punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 oraz liczby 1/(3n), p i q spełniają warunek F.
Ponieważ proste Li są równoległe do L, więc istnieją punkty b1 , b2 , . . . ∈ {0} × Rn−1 takie,
że Li = bi + L. Wówczas także Mi = bi + Ni . Ze względu na to, że zbiór YL,M jest okresowy
można założyć, że b1 , b2 , . . . ∈ {0}×[0, 3]n−1 (przesuwając ewentualnie proste Li i hiperpłaszczyzny
Mi o wektory będące elementami 3({0} × Zn−1 )).
Ze zwartości zbioru {0} × [0, 3]n−1 wynika, że ciąg (bi ) ma podciąg zbieżny (bki ). Oznaczmy
b = limi→∞ bki . Zachodzą zbieżności:
Lki = bki + L → b + L,
Mki = bki + Nki → b + N .
Ponieważ hiperpłaszczyzna b + N jest równoległa do N , prosta b + L jest równoległa do L,
b + L ⊂ b + N oraz N ∈ UL,M , więc istnieją punkty x̂1 , x̂2 ,. . . ,x̂n+1 ∈ YL,M odległe od prostej b + L o mniej niż 2 takie, że b + N , punkty x̂1 , x̂2 ,. . . ,x̂n+1 oraz liczby 1/(3n), p i q spełniają
warunek F.
Z uwagi 4.3 (dotyczącej otwartości warunku F) i wypisanych wyżej zbieżności wynika, że dla
dostatecznie dużych i punkty x̂1 , x̂2 ,. . . ,x̂n+1 ∈ YL,M są odległe od prostej Lki o mniej niż 2,
zaś hiperpłaszczyzna Mki , punkty x̂1 , x̂2 ,. . . ,x̂n+1 oraz liczby 1/(3n), p i q spełniają warunek F.
Doszliśmy do sprzeczności. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że zbiór UL,M jest otwarty w FL .
30
Lemat 4.7. Niech n > 2 będzie liczbą naturalną oraz niech R1 i R2 będą przeciwległymi ścianami
n-wymiarowego prostopadłościanu R ⊂ Rn . Dla dowolnych liczb 0 < p < q < 1 oraz δ > 0 istnieje
liczba 0 < r < δ/3 i skończony podzbiór Z ⊂ Rn takie, że
• dist(x, R) 6 δ/3 dla każdego x ∈ Z,
• ||x1 − x2 || > 3r dla dowolnych dwóch różnych punktów x1 , x2 ∈ Z,
• jeśli hiperpłaszczyzna M ⊂ Rn przecina jednocześnie ściany R1 i R2 , wówczas warunek F jest
spełniony dla M , pewnych punktów x1 , x2 ,. . . , xn+1 ∈ Z oraz liczb r, p i q.
Dowód. Można założyć (wprowadzając odpowiednio układ współrzędnych), że R = [c1 , d1 ]×[c2 , d2 ]×
× · · · × [cn , dn ], R1 = {c1 } × [c2 , d2 ] × · · · × [cn , dn ] oraz R2 = {d1 } × [c2 , d2 ] × · · · × [cn , dn ].
Rozważmy dowolną hiperpłaszczyznę M przecinającą jednocześnie R1 i R2 . Istnieją punkty
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) oraz y = (y1 , y2 , . . . , yn ) takie, że x ∈ R1 ∩ M i y ∈ R2 ∩ M . Wynika stąd,
że x1 = c1 , y1 = d1 oraz xi , yi ∈ [ci , di ] dla i = 2, 3 . . . , n. Niech L będzie prostą zawierającą oba te
punkty. Prosta ta ma kierunek (a1 , a2 , . . . , an ) = (y − x)/||y − x||. Szacując |a1 | dostajemy
|a1 | = a1 =(y1 − x1 )/||y − x|| =
p
=(d1 − c1 )/ (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + . . . + (yn − xn )2 >
p
>(d1 − c1 )/ (d1 − c1 )2 + (d2 − c2 )2 + . . . + (dn − cn )2 .
Zatem jeśli hiperpłaszczyzna M przecina jednocześnie ściany R1 i R2 prostopadłościanu R, to
zawiera ona prostą L, która również przecina R1 i R2 i której kierunek (a1 , a2 , . . . , an ) spełnia
p
warunek |a1 | > (d1 − c1 )/ (d1 − c1 )2 + (d2 − c2 )2 + . . . + (dn − cn )2 .
p
Zastosujmy lemat 4.6 przyjmując k = (d1 −c1 )/ (d1 − c1 )2 + (d2 − c2 )2 + . . . + (dn − cn )2 oraz
p, q dane w założeniach dowodzonego lematu. Otrzymujemy w ten sposób pewną liczbę K > 0 i zbiór
Y ⊂ {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : 0 6 x1 6 K} spełniające warunki podane w sformułowaniu lematu 4.6.
Ustalmy liczbę 0 < t < min(δ, (d1 − c1 )/K) na tyle małą, by dla każdej prostej L przecinającej jednocześnie R1 i R2 oraz punktu x ∈ {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 ∈ [c1 , d1 ]} z warunku dist(x, L) < 2t wynikało, że dist(x, R) 6 δ/3 (jest to możliwe, wystarczy w tym celu,
p
by t 6 δ(d1 − c1 )/(6 (d1 − c1 )2 + (d2 − c2 )2 + . . . + (dn − cn )2 )).
Określmy podobieństwo Ψ : Rn → Rn wzorem Ψ(x) = tx + (c1 , 0, 0, . . . , 0). Ma ono skalę t,
a ponadto Ψ[Y ] ⊂ {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 ∈ [c1 , d1 ]}. Szukany zbiór Z i liczbę r określam przy
pomocy formuł
Z = Ψ[Y ] ∩ {x ∈ Rn : dist(x, R) 6 δ/3},
r=
t
.
3n
Natychmiast otrzymujemy, że r = t/(3n) < δ/(3n) < δ/3 oraz dist(x, R) 6 δ/3 dla każdego x ∈ Z.
t
Jeśli x1 , x2 ∈ Z, to ||x1 − x2 || > 35 t > 3 3n
= 3r.
31
Niech M będzie dowolną hiperpłaszczyzną przecinającą ściany R1 i R2 prostopadłościanu R.
Jak już zauważyliśmy, istnieje prosta L ⊂ M , która także przecina R1 i R2 i która ma kieZbiór Ψ−1 [M ] jest także hiperpłaszczyzną, a prosta
runek (a1 , a2 , . . . , an ) taki, że |a1 | > k.
Ψ−1 [L] ⊂ Ψ−1 [M ] ma ten sam kierunek, co prosta L. Z lematu 4.6 wynika, że istnieją punkty x1 ,
x2 ,. . . , xn+1 ∈ Y takie, że ich odległość od prostej Ψ−1 [L] jest mniejsza niż 2, a ponadto hiperpłaszczyzna Ψ−1 [M ], punkty x1 , x2 ,. . . , xn+1 oraz liczby 1/(3n), p i q spełniają warunek F. Korzystając
z uwagi 4.4 wnioskujemy, że hiperpłaszczyzna M = Ψ[Ψ−1 [M ]], punkty Ψ(x1 ), Ψ(x2 ),. . . ,Ψ(xn+1 )
oraz liczby t/(3n) = r, p i q spełniają warunek F. Punkty Ψ(xi ) są elementami zbioru
Ψ[Y ] ⊂ {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 ∈ [c1 , d1 ]}, a ponadto odległość każdego z nich od prostej
L = Ψ[Ψ−1 [L]] jest mniejsza niż 2t. Wynika stąd, że są one elementami zbioru
Ψ[Y ] ∩ {x ∈ Rn : dist(x, R) 6 δ/3} = Z.
Lemat 4.8. Dla dowolnej liczby naturalnej n > 2, n-wymiarowej kostki Q ⊂ Rn oraz liczby δ > 0
można wybrać parami przystające, rozłączne, n-wymiarowe prostopadłościany R1 , . . . , R5 ⊂ Int Q2δ/3
i wyróżnić po jednej parze przeciwległych n − 1-wymiarowych ścian każdego z tych prostopadłościanów tak, by spełniony był warunek: Jeśli hiperpłaszczyzna M ⊂ Rn przecina kostkę Qδ , to przecina
obie wyróżnione ściany któregoś z prostopadłościanów R1 , . . . , R5 .
Dowód. Wyróżnione, przeciwległe ściany prostopadłościanu Ri będziemy oznaczać R1i oraz R2i . Konstrukcję przeprowadzimy najpierw dla n = 2.
Dla n = 2 stosowny wybór prostopadłościanów (prostokątów) i par ich przeciwległych ścian
(boków prostokątów) przedstawia rysunek 5a. Zauważmy, że jeśli prosta M przecina kwadrat Qδ
i nie przecina jednocześnie którejś pary odcinków R1i , R2i dla i = 1, 2, 3, 4, to musi ona przechodzić
w pobliżu dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu Qδ , a wówczas przecina odcinki R15 , R25 .
Q∩N
Q
R1
R1 ∩ N
Qδ ∩ N
R5
R
4
R3
5
R
∩N
R4 ∩ N
R2
R2 ∩ N
Qδ
R3 ∩ N
δ
3
2δ
3
δ
3
a)
b)
R1i i R2i to dłuższe boki prostokąta Ri .
Rysunek 5:
32
2δ
3
Gdy natomiast n > 2 wówczas postępujemy następująco: Można założyć (wprowadzając odpowiednio układ współrzędnych), że Q = [c, d]n . Wówczas Qδ = [c + δ, d − δ]n oraz Q2δ/3 =
= [c + 2δ/3, d − 2δ/3]n . Niech R̃1 , . . . , R̃5 wraz z wyróżnionymi przeciwległymi bokami R̃1i , R̃2i ,
i = 1, 2, 3, 4, 5 będą prostokątami skonstruowanymi przed chwilą dla kwadratu Q̃ = [c, d]2 . Żądane
prostopadłościany Ri definiujemy formułą
Ri = R̃i × [c + δ, d − δ]n−2
i = 1, 2, 3, 4, 5,
i wyróżniamy ich ściany
R1i = R̃1i × [c + δ, d − δ]n−2
i = 1, 2, 3, 4, 5.
R2i = R̃2i × [c + δ, d − δ]n−2
Oczywiście R1 , . . . , R5 ⊂ Int Q2δ/3 . Jeśli hiperpłaszczyzna M przecina kostkę Qδ , to istnieje punkt
y = (y1 , y2 , . . . , yn ) taki, że y ∈ Qδ ∩ M . Literą N oznaczmy płaszczyznę (dwuwymiarową)
N = {(x1 , x2 , y3 , . . . , yn ) : x1 , x2 ∈ R}. Przecięcie Qδ ∩ M ∩ N jest niepuste, gdyż jego elementem jest punkt y. Rozważmy przekroje kostki Q, prostopadłościanów Ri oraz hiperpłaszczyzny
M płaszczyzną N . Ponieważ y3 , y4 , . . . , yn ∈ [c + δ, d − δ], więc przekrój ten wygląda tak, jak
na rysunku 5b.
Z tego, że M ma kowymiar 1 wynika, że przecięcie N ∩ M jest albo całą płaszczyzną N , albo
pewną prostą zawartą w N , taką jednak, że (N ∩ M ) ∩ (N ∩ Qδ ) 6= ∅. W pierwszym z tych przypadków (N ∩ M = N ) hiperpłaszczyzna M przecina wszystkie zbiory R11 , R21 , . . . , R15 , R25 . W drugim
przypadku, jak wynika z rozważań dla n = 2, istnieje i ∈ {1, 2, 3, 4, 5} takie, że prosta N ∩ M
przecina odcinki N ∩ R1i oraz N ∩ R2i , a tym samym hiperpłaszczyzna M przecina ściany R1i i R2i
prostodłościanu Ri .
Jesteśmy teraz gotowi do udowodnienia stwierdzenia 4.5.
Dowód stwiedzenia 4.5. Ustalmy n, liczby p, q, δ i kostkę Q, jak w treści stwierdzenia. W oparciu
o lemat 4.8 znajdujemy rozłączne prostopadłościany R1 , . . . , R5 ⊂ Int Q2δ/3 i w każdym z nich
wyróżniamy po jednej parze przeciwległych ścian w taki sposób, że jeśli hiperpłaszczyzna przecina
kostkę Qδ , to przecina wyróżnioną parę przeciwległych ścian któregoś z prostopadłościanów.
Niech liczba 0 < δ 0 < δ będzie taka, że δ 0 < dist(Ri , Rn \ Q2δ/3 ) oraz δ 0 <
1
2
dist(Ri , Rj ),
gdy i 6= j. Zastosujmy lemat 4.7 do każdego z prostopadłościanów Ri , wyróżnionych ścian R1i , R2i
oraz liczb p, q, δ 0 . Otrzymujemy w ten sposób zbiory skończone Z 1 , . . . , Z 5 i liczby dodatnie
r1 , . . . , r5 < δ 0 /3 takie, że odległość dowolnych dwóch różnych punktów zbioru Z i jest niemniejsza
niż 3ri oraz dist(x, Ri ) 6 δ 0 /3 dla każdego x ∈ Z i . Ponadto, jeśli hiperpłaszczyzna M ⊂ Rn przecina
jednocześnie obie wyróżnione ściany prostopadłościanu Ri , wówczas warunek F jest spełniony dla
33
M , pewnych punktów x1 , x2 ,. . . , xn+1 ∈ Z i oraz liczb ri , p i q. Ponieważ prostopadłościany
R1 , . . . , R5 są przystające, więc można założyć, że r1 = . . . = r5 . Określmy
X = Z 1 ∪ . . . ∪ Z 5,
r = r1 = . . . = r5 .
Zachodzi nierówność r < δ 0 /3 < δ/3. Warunek (c) z treści stwierdzenia dla tak określonych X
i r jest spełniony. Warunek (a) także jest spełniony, gdyż jeśli x ∈ X, to x ∈ Z i dla pewnego
i = 1, 2, 3, 4, 5. Wówczas dist(x, Ri ) 6 δ 0 /3 < δ 0 , a ponieważ δ 0 < dist(Ri , Rn \ Q2δ/3 ), więc
x ∈ Q2δ/3 . Sprawdźmy warunek (b). Jeśli punkty x1 , x2 ∈ X są różne, to albo oba należą do
jednego zbioru Z i , a wtedy ||x1 − x2 || > 3ri = 3r, albo należą do dwóch różnych zbiorów Z i oraz
Z j . Wiemy jednak, że dist(x1 , Ri ) 6 δ 0 /3, dist(x2 , Rj ) 6 δ 0 /3 oraz dist(Ri , Rj ) > 2δ 0 , a stąd
||x1 − x2 || > (2 − 2/3)δ 0 > δ 0 > 3r.
W następnym rozdziale będziemy chcieli korzystać ze stwierdzenia 4.5 dla kostki, która ma
wymiar o jeden mniejszy niż przestrzeń euklidesowa, w której się znajduje. W tym celu sformułujmy
następujący wniosek:
Wniosek 4.9. Niech n > 2 będzie liczbą naturalną Dla dowolnej n-wymiarowej podprzestrzeni afinicznej K ⊂ Rn+1 takiej, że 0 6∈ K, n-wymiarowej kostki Q ⊂ K i liczb 0 < p < q < 1 oraz δ > 0
istnieje skończony zbiór X ⊂ K i liczba 0 < r < δ/3 takie, że
(a). X ⊂ Q2δ/3 ,
(b). ||x1 − x2 || > 3r dla dowolnych dwóch różnych punktów x1 , x2 ∈ X,
(c). jeśli podprzestrzeń liniowa M ⊂ Rn+1 kowymiaru 1 przecina zbiór Qδ , wówczas dla hiperpłaszczyzny M oraz pewnych punktów x1 , x2 ,. . . ,xn+1 ∈ X zachodzi:
(c1) xn+1 znajduje się po przeciwnej stronie podprzestrzeni M niż x1 , x2 ,. . . , xn ,
(c2) pr < dist(xi , M ∩ K) < qr dla i = 1, 2, . . . , n + 1,
(c3) jeśli y1 , y2 , . . . , yn+1 ∈ M ∩K są punktami takimi, że ||xi −yi || 6 r dla i = 1, 2,. . . , n + 1,
wówczas y1 , y2 , . . . , yn są afinicznie niezależne oraz yn+1 znajduje się we wnętrzu sympleksu conv{y1 , y2 , . . . , yn }.
Dowód. Kostka Q jest izometrycznym obrazem zbioru [c, d]n ⊂ Rn . Niech Φ : Rn → Rn+1 będzie
e : Rn → Rn+1 będzie częścią liniową izometrii Φ, to znaizometrią taką, że Φ[[c, d]n ] = Q i niech Φ
e
czy przekształceniem liniowym określonym wzorem Φ(x)
= Φ(x) − Φ(0). Wówczas Φ[Rn ] = K.
Zastosujmy stwierdzenie 4.5 dla kostki [c, d]n ⊂ Rn oraz liczb p, q, δ. Otrzymamy wówczas liczbę
r i skończony zbiór X 0 spełniający podane w stwierdzeniu 4.5 warunki. Musimy określić zbiór X.
Uczyńmy to przyjmując X = Φ[X 0 ]. Oczywiście X ⊂ K, spełnione są także warunki (a) i (b).
34
Upewnijmy się, że spełniony jest także warunek (c). Niech M ⊂ Rn+1 będzie dowolną podprzestrzenią liniową kowymiaru 1 przecinającą kostkę Qδ ⊂ K. Wówczas podprzestrzeń afiniczna
M ∩ K ⊂ Rn+1 ma wymiar n − 1, zaś Φ−1 [M ∩ K] jest hiperpłaszczyzną w Rn przecinającą kostkę
([c, d]n )δ . Wiemy jednak, że wówczas istnieją punkty x01 , x02 ,. . . ,x0n+1 ∈ X 0 takie, że Φ−1 [M ∩ K],
punkty x01 , x02 ,. . . ,x0n+1 ∈ X 0 oraz liczby r, p i q spełniają warunek F. Przyjmijmy xi = Φ(x0i ) ∈ X
dla i = 1, 2, . . . , n + 1. Punkty te w sposób oczywisty spełniają (c1) i (c2). Jeśli y1 , y2 ,. . . ,
yn+1 ∈ M ∩ K są punktami takimi, że ||xi − yi || 6 r dla i = 1, 2, . . . , n + 1, wówczas Φ−1 (y1 ),
Φ−1 (y2 ),. . . , Φ−1 (yn+1 ) ∈ Φ−1 [M ∩ K] oraz ||x0i − Φ−1 (yi )|| 6 r dla i = 1, 2, . . . , n + 1. Z waP
runku F wiemy, że w takim razie Φ−1 (yn+1 ) = ni=1 ti Φ−1 (yi ) dla jednoznacznie wyznaczonej n-ki
P
(t1 , t2 , . . . , tn ) ∈ Rn takiej, że t1 , t2 , . . . , tn > 0 oraz ni=1 ti = 1. Wówczas
!
n
X
−1
−1
yn+1 =Φ(Φ (yn+1 )) = Φ
ti Φ (yi ) =
i=1
e
=Φ
n
X
!
−1
ti Φ
(yi )
+ Φ(0) =
i=1
=
n
X
e −1 (yi )) + Φ(0)) =
ti (Φ(Φ
i=1
n
X
i=1
n
X
i=1
e −1 (yi )) +
ti Φ(Φ
ti Φ(Φ−1 (yi )) =
n
X
i=1
n
X
ti Φ(0) =
ti yi .
i=1
Liczby ti są przy tym wyznaczone jednoznacznie. Warunek (c3) jest spełniony.
35
5
Główny wynik i jego dowód
W tym rozdziale przedstawiamy główny wynik pracy.
Twierdzenie 5.1. Niech n > 3 będzie liczbą naturalną. Istnieje ciało wypukłe D ⊂ Rn i liczba
α > 0 takie, że przestrzeń Banacha (Rn , || · ||D ) ma następującą własność: Dla każdej podprzestrzeni
liniowej M ⊂ Rn zachodzi
min ||P ||D 6 1 + α,
minimum w powyższej nierówności jest brane po wszystkich rzutach P przestrzeni Rn na podprzestrzeń M . Co więcej, jeśli podprzestrzeń M ma kowymiar 1, wówczas powyższa nierówność staje się
równością.
Twierdzenie zostanie dowiedzione w oparciu o wniosek 3.6. W tym celu skonstruujemy zbiór
Z ⊂ Rn , który dla pewnego a ∈ (0, 3/4) będzie a-rojem dla każdej n − 1 wymiarowej podprzestrzeni
liniowej M ⊂ Rn (lemat 5.5). Wykorzystane zostaną konstrukcje zbiorów z poprzedniego rozdziału.
Lemat 5.2. Niech n > 3 będzie liczbą naturalną. Dla każdej liczby ξ > 1 istnieją m ∈ N,
0 < δ < 9ξ/4 oraz n − 1-wymiarowe, przystające kostki Q1 , . . . , Qm ⊂ Rn \ {0} takie, że jeśli symbolem Ki (i = 1, 2, . . . , m) oznaczymy hiperpłaszczyznę w Rn zawierającą kostkę Qi , to
(i). gdy i 6= j, wówczas C[Int Qi ] ∩ C[Int Qj ] = {0} dla i, j = 1, . . . , m,
(ii). 0 6∈ Ki dla i = 1, . . . , m,
(iii). dla każdej n − 1-wymiarowej podprzestrzeni liniowej M ⊂ Rn istnieje i ∈ {1, . . . , m} takie,
że M ∩ Qδi 6= ∅,
(iv). jeśli i ∈ {1, . . . , m}, x ∈ Qi oraz 0 < r < δ, to zachodzi zawieranie
B(x, r/ξ) ∩ Ki ⊂ C(x, r) ∩ Ki ⊂ B(x, ξr) ∩ Ki ,
(v). jeśli M jest n − 1 wymiarową podprzestrzenią liniową Rn przecinającą kostkę Qi oraz x ∈ Qi ,
to istnieje punkt y ∈ Ki oraz liczba s > 0 takie, że PM (x) = sy, a ponadto dla dowolnego
wektora z 6= 0 równoległego do Ki zachodzi nierówność |hy , zi| 6 (ξ − 1)||y|| ||z||.
Zanim przejdziemy do właściwej konstrukcji, omówmy dokładniej warunki (iv) i (v) powyższego
lematu. Wyobraźmy sobie podprzestrzeń afiniczną K ⊂ Rn kowymiaru 1 taką, że 0 6∈ K. Odległość
punktów tej podprzestrzeni można mierzyć na wiele sposobów. Można na przykład używać euklidesowej odległości pochodzącej z Rn , wtedy o tym jak daleko od siebie znajdują się punkty x i y ∈ K
mówi liczba ||x − y||. Inną miarą odległości jest miara kąta ∠x0y zawartego pomiędzy wektorami
−
→ −
→
0x i 0y. Wreszcie do wyrażania odległości można użyć tangensa tegoż kąta, czyli tg(∠x0y).
36
Ostatnia z tych miar odległości nie jest metryką na K (gdyż nie spełnia warunku trójkąta). Ma
ona jednak związek z rozważaniami prowadzonymi w rozdziałach 2 oraz 3 i wykorzystywanym w tych
rozważaniach pojęciem stożka. Wielkość takiego stożka opisuje parametr, którym jest tangens kąta
zawartego między osią i tworzącą stożka. Wybór taki był wygodny ze względu na wykorzystanie
w rozdziale 2 aparatu geometrii analitycznej. Z kolei rozważania rozdziału 4 wykorzystują wyłącznie
odległość euklidesową punktów. W niniejszym rozdziale oba te podejścia schodzą się, a odpowiada
za to właśnie część (iv) lematu.
Spróbujmy sformułować pewien warunek wiążący hiperpłaszczyznę K i leżące na niej punkty x
i y, który zapewniałby, że błąd względny, wynikający z mierzenia odległości między tymi punktami
za pomocą tangensa kąta ∠x0y zamiast odległości euklidesowej (lub na odwrót), był możliwie mały.
Precyzyjniej mówiąc, dla ustalonej liczby ξ > 1 sformułujemy warunek, którego spełnienie zagwarantuje, że ||x − y||/ξ 6 tg(∠x0y) 6 ξ||x − y||. Nierówności te zachodzą zawsze, gdy x = y, dlatego
dalej zakładam, że x 6= y. Wówczas pożądane nierówności przyjmują postać 1/ξ 6
czyli 1/ξ 6
sin(∠0yx)
||x|| cos(∠x0y)
tg(∠x0y)
||x−y||
6 ξ,
6 ξ (korzystam tu z twierdzenia sinusów dla trójkąta 0xy). Jeśli odległość
(euklidesowa) hiperpłaszczyzny K od punktu 0 jest bliska 1 oraz punkty x i y znajdują się blisko
rzutu prostokątnego punktu 0 na hiperpłaszczyznę K (oznaczmy go literą u), a więc także blisko
siebie nawzajem, wówczas kąt ∠x0y ma miarę bliską 0, kąt ∠0yx jest bliski kątowi prostemu oraz
||x|| jest bliskie 1. Wtedy zarówno cos(∠x0y), sin(∠0yx), jak i
sin(∠0yx)
||x|| cos(∠x0y)
są bliskie 1. Wynika
stąd, że
istnieje liczba > 0 taka, że jeśli ||x − u|| < , ||y − u|| < (5.1)
oraz ||u|| ∈ (1 − , 1 + ),wówczas ||x − y||/ξ 6 tg(∠x0y) 6 ξ||x − y||.
Niech teraz Q ⊂ K będzie n−1-wymiarową kostką zawierającą punkt u, przy czym diam Q < /2
oraz ||u|| ∈ (1 − , 1 + ). Dobierzmy liczbę 0 < δ < /2 tak małą, by z warunków x ∈ Q, y ∈ K
i tg(∠x0y) < δ wynikało, że ||x − y|| < /2. Pokażemy, że dla ustalonego punktu x ∈ Q i liczby
0 < r < δ zachodzą zawierania B(x, r/ξ) ∩ K ⊂ C(x, r) ∩ K ⊂ B(x, ξr) ∩ K.
Istotnie, jeśli y ∈ B(x, r/ξ) ∩ K, to y ∈ K oraz ||x − y|| 6 r/ξ < δ < /2. Ponieważ
||x − u|| 6 diam Q < /2 < , ||y − u|| 6 ||y − x|| + ||x − u|| < /2 + /2 = oraz ||u|| ∈ (1 − , 1 + ),
więc z (5.1) dostajemy tg(∠x0y) 6 ξ||x − y|| 6 r. Ostatecznie y ∈ C(x, r) ∩ K i zawieranie
B(x, r/ξ) ∩ K ⊂ C(x, r) ∩ K jest wykazane.
Niech z kolei y ∈ C(x, r) ∩ K. Ponieważ x ∈ Q, y ∈ K i tg(∠x0y) 6 r < δ, więc ||x − y|| < /2.
Z tego, że x ∈ Q wynika, że ||x − u|| < /2 < . Otrzymujemy ||y − u|| 6 ||y − x|| + ||x − u|| < .
Zatem na podstawie (5.1) mamy ||x − y|| 6 ξ tg(∠x0y) 6 ξr i y ∈ B(x, ξr) ∩ K. Pokazalśmy,
że C(x, r) ∩ K ⊂ B(x, ξr) ∩ K.
Wobec powyższego rozumowania mamy:
37
Uwaga 5.3. Aby warunek (iv) lematu 5.2 był spełniony, wystarczy zapewnić by każda z kostek Qi
miała odpowiednio małą średnicę, zawierała rzut prostokątny punktu 0 na hiperpłaszczyznę Ki ,
by odległość punktu 0 od hiperpłaszczyzny Ki była bliska 1 oraz by liczba δ > 0 była dostatecznie
mała.
Zajmijmy się teraz warunkiem (v). Podobnie, jak przed chwilą, rozważmy hiperpłaszczyznę
K ⊂ Rn taką, że 0 6∈ K, zaś literą u oznaczmy rzut prostokątny punktu 0 na hiperpłaszczyznę
K. Ustalmy liczbę ξ > 1 oraz n − 1 parami prostopadłych wektorów z1 , z2 ,. . . , zn−1 z których
każdy ma długość 1 i jest równoległy do hiperpłaszczyzny K. Każdy wektor z równoległy do K
P
można przedstawić w postaci z = n−1
i=1 ti zi , gdzie t1 , t2 , . . . , tn−1 ∈ R, przy czym |ti | 6 ||z|| dla
i = 1, 2, . . . , n − 1.
Pokażemy, że jeśli n − 1-wymiarowa kostka Q ⊂ K zawiera punkt u i jej średnica jest mała
w porównaniu z ||u||, wówczas dla dowolnej n − 1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej M ⊂ Rn
przecinającej kostkę Q oraz punktu x ∈ Q, istnieje punkt y ∈ K i liczba s > 0 takie, że PM (x) = sy
oraz dla dowolnego wektora z równoległego do K zachodzi |hy , zi| 6 (ξ − 1)||y|| ||z||.
Załóżmy, że diam Q < ||u||, gdzie 0 < < 1/10 oraz u ∈ Q. Niech M ⊂ Rn będzie dowolną
n − 1 wymiarową podprzestrzenią liniową przecinającą kostkę Q i niech x ∈ Q. Wybierzmy dowolny
punkt v ∈ Q ∩ M . Wówczas ||v − u|| < ||u||, PM (v) = v, ||x − v|| < ||u|| oraz
||PM (x) − u|| 6||PM (x) − v|| + ||v − u|| < ||PM (x) − v|| + ||u|| =
=||PM (x) − PM (v)|| + ||u|| 6 ||x − v|| + ||u|| < 2||u||.
Rozważmy odległości punktów 0 i PM (x) od hiperpłaszczyzny K. Zachodzą zależności
dist(PM (x), K) 6 ||PM (x) − u|| < 2||u|| < ||u|| = dist(0, K).
Odległości te są różne, co oznacza, że prosta przechodząca przez 0 i PM (x) nie jest równoległa do hiperpłaszczyzny K i przecina ją w pewnym punkcie y. Co więcej, z tego, że dist(PM (x), K) < dist(0, K)
wynika, że liczba s taka, że PM (x) = sy jest dodatnia. O położeniu punktu y możemy powiedzieć
więcej. Zachodzi
||PM (x) − y||
dist(PM (x), K)
||PM (x) − u||
=
6
< 2,
||0 − y||
dist(0, K)
||u||
a stąd ||PM (x) − y|| < 2||y||. Następnie
||PM (x) − y|| < 2||y|| 6 2(||u|| + ||PM (x) − u|| + ||PM (x) − y||)
i przekształcając:
(1 − 2)||PM (x) − y|| < 2(||u|| + ||PM (x) − u||) < 2(||u|| + 2||u||) = 2(1 + 2)||u||,
||PM (x) − y|| < 2
1 + 2
||u|| < 3||u||.
1 − 2
38
Ostatnia nierówność wynika stąd, że założyliśmy, że 0 < < 1/10, co pociąga za sobą
1+2
1−2
< 32 .
Wreszcie
||y − u|| 6 ||PM (x) − y|| + ||PM (x) − u|| < 3||u|| + 2||u|| = 5||u||.
Zatem punkt y znajduje się również relatywnie blisko punktu u, czyli rzutu prostokątnego punktu
0 na hiperpłaszczyznę K, podobnie, jak punkty x i PM (x).
Z ciągłości normy i iloczynu skalarnego wynika, że można dobrać liczbę na tyle małą, by dla
i = 1, 2, . . . , n − 1 zachodziło
n
||w − u|| < 5
∀w∈R
⇒
ξ−1
|hw , zi i| hw , zi i hu , zi i .
=
−
<
||w||
||w||
||u|| n − 1
Wykorzystujemy tu prostopadłość wektorów zi do wektora u.
Gdy liczba jest tak mała, jak to jest opisane w poprzednim akapicie, wówczas dla dowolnego
P
wektora z = n−1
i=1 ti zi równoległego do hiperpłaszczyzny K zachodzi
|hy , zi| =|hy ,
n−1
X
ti zi i| 6
i=1
n−1
X
|ti | |hy , zi i| 6
i=1
n−1
X
i=1
|ti |
ξ−1
||y|| 6
n−1
ξ−1
6
||y||(n − 1) max(|t1 |, |t2 |, . . . , |tn−1 |) 6 (ξ − 1)||y|| ||z||.
n−1
Z powyższego rozumawania wynika:
Uwaga 5.4. Jeśli chcemy zapewnić, by warunek (v) lematu 5.2 był spełniony, wystarczy zapewnić by każda z kostek Qi miała odpowiednio małą średnicę, zawierała rzut prostopadły punktu 0
na hiperpłaszczyznę Ki i by odległość punktu 0 od hiperpłaszczyzny Ki była bliska 1.
Dowód lematu 5.2. Możemy przejść do konstrukcji wymaganych kostek. Zacznijmy od przypadku
gdy n = 3. Dla zadanej liczby ξ musimy wskazać skończoną liczbę kwadratów i liczbę dodatnią δ
takie, by spełniona była teza lematu.
Dla liczby naturalnej k rozważmy 2k kwadraty Q̃i , które określamy podając ich wierzchołki. Dla
iπ
π
iπ
iπ
π
i = 1, . . . , 2k wierzchołkami kwadratu Q̃i są punkty (cos iπ
k , sin k , sin 2k ), (cos k , sin k , − sin 2k ),
(i+1)π
(i+1)π
(i+1)π
π
π
(cos (i+1)π
k , sin
k , sin 2k ) oraz (cos
k , sin
k , − sin 2k ). Ponadto, niech Q̃+ będzie kwadraπ
π
π
π
tem o wierzchołkach (± sin 2k
, ± sin 2k
, 1), a Q̃− kwadratem o wierzchołkach (± sin 2k
, ± sin 2k
, −1).
π
Wszystkie te kwadraty są przystające (bok każdego z nich ma długość 2 sin 2k
), Q̃− = −Q̃+ oraz
Q̃k+i = −Q̃i dla i = 1, . . . , k (a zatem C[Q̃− ] = C[Q̃− ] oraz C[Q̃k+i ] = C[Q̃i ]). Kwadraty Q̃i znajdują
się w pobliżu „równika” sfery jednostkowej S ⊂ R3 , podczas gdy Q̃+ i Q̃− leżą w pobliżu „biegunów”
tejże sfery.
Niech m = k + 1, Qi = Q̃i dla i = 1, 2, . . . , k = m − 1 oraz Qm = Q̃+ . Dla tak określonych kwadratów warunki (i) oraz (ii) są spełnione, jeśli tylko k > 1 (czyli m > 2). Odległości płaszczyzn K1 ,
π
K2 ,. . . , Km−1 od punktu 0 wynoszą cos 2k
. Wartość ta zbiega do 1, gdy k zbiega do nieskończoności.
Odległość płaszczyzny Km od punktu 0 wynosi 1. Rzutem prostokątnym punktu 0 na płaszczyznę
39
Q̃+
Q̃2k−
3
Q̃2k−
2
Q̃2k−1
Q̃2k
Q̃1
Q̃2
Q̃3
Q˜4
Q̃−
Rysunek 6: Orientacyjne położenie kwadratów Q̃1 , Q̃2 ,. . . ,Q̃2k , Q̃+ oraz Q̃− w przypadku trójwymiarowym.
√
π
i zbiega
Ki dla i = 1, 2, . . . , m jest środek kwadratu Qi . Średnica tego kwadratu wynosi 2 2 sin 2k
do 0 gdy k zbiega do nieskończoności. Z uwag 5.3 oraz 5.4 wynika, że można dobrać odpowiednio
duże k oraz δ dostatecznie bliskie 0, by spełnione były warunki (iv) i (v) lematu.
Jeśli chcemy, by spełniony był także warunek (iii), należy dodatkowo pomniejszyć wybraną już
liczbę δ. Zauważmy bowiem, że jeśli δ jest wystarczająco małe, wówczas każda dwuwymiarowa
podprzestrzeń liniowa M ⊂ R3 , która nie przecina żadnego z kwadratów Qδi dla i = 1, 2, ..., m − 1
(a więc żadnego z kwadratów Q̃δi , i = 1, 2, ..., 2k), przechodzi w pobliżu biegunów sfery S i przecina
kwadrat Qδm = Q̃δ+ .
Niech z kolei n ∈ N będzie większe od 3. Będziemy utożsamiać przestrzeń R3 z podprzestrzenią
Rn wyznaczoną przez piersze trzy współrzędne (czyli z lin{e1 , e2 , e3 }). W podprzestrzeni tej znajdują się rozważane poprzednio kwadraty Q1 , . . . , Qm (parametry m i δ nie są jeszcze ustalone). Jako
π
π n−3
n − 1-wymiarowe kostki, które mamy skonstruować przyjmijmy kostki Q1 × [sin 2k
, sin 2k
]
,. . . ,
π
π n−3
Qm × [sin 2k
, sin 2k
]
. Identycznie, jak w przypadku gdy n = 3 dobieramy m na tyle duże, zaś δ
na tyle bliskie 0 by spełnione były warunki (i), (ii), (iv) oraz (v) lematu.
Podobnie, jak w przypadku, gdy n = 3 zmniejszamy w razie potrzeby δ w taki sposób, by każda
dwuwymiarowa podprzestrzeń liniowa L ⊂ lin{e1 , e2 , e3 }, przecinała któryś z kwadratów Qδi dla
i = 1, 2, ..., m.
Niech M ⊂ Rn będzie dowolną podprzestrzenią liniową kowymiaru 1.
Pod-
przestrzeń ta może zawierać podprzestrzeń lin{e1 , e2 , e3 } lub też jej nie zawierać. W pierwszym
π n−3 δ
π
z tych dwóch przypadków M przecina wszystkie kostki (Q1 × [sin 2k
, sin 2k
]
) , gdyż zawiera ich
środki będące elementami lin{e1 , e2 , e3 }. Z kolei w drugim przypadku przecięcie M ∩ lin{e1 , e2 , e3 }
40
jest dwuwymiarową podprzestrzenią liniową lin{e1 , e2 , e3 }. Istnieje zatem i ∈ {1, 2, . . . , m} takie,
że M ∩ lin{e1 , e2 , e3 } przecina kwadrat Qδi . Tym bardziej więc podprzestrzeń M przecina kostkę
π
π n−3 δ
(Q1 × [sin 2k
, sin 2k
]
) . Warunek (iii) jest spełniony.
Jesteśmy gotowi do udowodnienia ostatniego potrzebnego lematu zawierającego konstrukcję podzbioru Rn , który dla pewnej liczby a ∈ (0, 3/4] jest a-rojem dla każdej n − 1-wymiarowej podprzestrzeni liniowej Rn .
Lemat 5.5. Dla dowolnej liczby naturalnej n > 3 istnieje skończony zbiór Z ⊂ Rn i liczba
0 < a 6 3/4 takie, że Z jest a-rojem dla każdej n − 1-wymiarowej podprzestrzeni liniowej M ⊂ Rn .
Dowód. Ustalmy n i wybierzmy liczbę ξ > 1 spełniającą nierówność 9ξ 2 < 10. Zastosowanie
lematu 5.2 daje nam liczby m ∈ N i 0 < δ < 9ξ/4 oraz kostki Q1 , Q2 , . . . , Qm . Zastosujmy dla
każdej z kostek Q1 , . . . , Qm wniosek 4.9, przyjmując
p=
4
,
10
q=
4
9ξ 2
(5.2)
2δ/3
i przed chwilą wyznaczoną liczbę δ. Otrzymujemy skończone zbiory Xk ⊂ Qk
i liczby rk ,
(k = 1, . . . , m). Ponieważ kostki Qk są przystające, więc można założyć, że r1 = · · · = rm =: r,
gdzie 0 < r < δ/3 < 3ξ/4.
Pokażemy, że zbiór Z =
Sm
k=1 Xk
jest a-rojem dla każdej podprzestrzeni liniowej M ⊂ Rn
kowymiaru 1, gdzie
a=
r
3
< .
ξ
4
(5.3)
Po pierwsze, niech x, y ∈ Z i x 6= y. Wówczas x ∈ Xi oraz y ∈ Xj dla pewnych 1 6 i, j 6 m.
Chcemy pokazać, że C(x, a) ∩ C(y, a) = {0}. Zachodzą zawierania
C(x, a) ⊂ C[B(x, ξa) ∩ Ki ] = C[B(x, r) ∩ Ki ] ⊂ C[Int(Qi )].
Pierwsze zawieranie wynika z warunku (iv) lematu 5.2 natomiast drugie jest konsekwencją własności
2δ/3
zbioru Xi (ponieważ r < δ/3 oraz x ∈ Qi
, więc B(x, r) ∩ Ki ⊂ Int(Qi ), por. wniosek 4.9 (a)).
Podobnie
C(y, a) ⊂ C[B(y, ξa) ∩ Kj ] = C[B(y, r) ∩ Kj ] ⊂ C[Int(Qj )].
Jeśli i = j, wówczas C(x, a)∩C(y, a) ⊂ C[B(x, r)∩Ki ]∩C[B(y, r)∩Ki ] = {0}, gdyż B(x, r) ∩ B(y, r) = ∅,
co wynika z własności zbioru Xi (wniosek 4.9, warunek (b)).
Jeśli natomiast i 6= j, wtedy C(x, a) ∩ C(y, a) ⊂ C[Int(Qi )] ∩ C[Int(Qj )] = {0} (ostatnia równość
zachodzi na mocy warunku (i) lematu 5.2).
Ostatecznie C(x, a) ∩ C(y, a) = {0}.
41
Niech z kolei M ⊂ Rn będzie dowolną podprzestrzenią liniową kowymiaru 1. Pokażemy, że istnieją wówczas punkty x1 , x2 , . . . , xn ∈ Z świadczące o tym, że Z jest a-rojem dla podprzestrzeni
M (por. definicja 3.5).
Wybierzmy liczbę k ∈ {1, 2, . . . , m} taką, by M ∩ Qδk 6= ∅. Jest to możliwe wobec warunku (iii)
lematu 5.2. Z określenia zbioru Xk i wniosku 4.9 wynika, że istnieją punkty x1 , x2 , . . . , xn ∈ Xk ⊂ Z
takie, że
xn leży po przeciwnej stronie podprzestrzeni M niż x1 , x2 , . . . , xn−1 ,
M ∩ Kk ∩ B(xi , pr) = ∅
dla i = 1, 2, . . . , n
(5.4)
(5.5)
M ∩ Kk ∩ Int B(xi , qr) 6= ∅
oraz jeśli y1 , y2 , . . . , yn ∈ M ∩ Kk są punktami takimi, że ||xi − yi || 6 r dla i = 1, 2, . . . , n, wówczas
y1 , y2 , . . . , yn−1 są afinicznie niezależne oraz yn znajduje się we wnętrzu sympleksu conv{y1 , y2 , . . . , yn−1 }.
Wobec (5.5) i warunku (iv) lematu 5.2 mamy
M ∩ C(xi , 4a/10) ∩ Kk ⊂ M ∩ B(xi , 4ξa/10) ∩ Kk = M ∩ Kk ∩ B(xi , 4r/10) = M ∩ Kk ∩ B(xi , pr) = ∅,
a więc
M ∩ C(xi , 4a/10) = {0} dla i = 1, 2, . . . , n.
(5.6)
Podobnie
M ∩C(xi , 4a/9)∩Kk ⊃ M ∩B(xi , 4a/(9ξ))∩Kk = M ∩Kk ∩B(xi , 4r/(9ξ 2 )) = M ∩Kk ∩B(xi , qr) 6= ∅,
czyli
M ∩ C(xi , 4a/9) 6= {0} dla i = 1, 2, . . . , n.
(5.7)
Pozostało sprawdzić, że PM (xn ) leży pomiędzy PM (x1 ), PM (x2 ),. . . ,PM (xn−1 ). Z części (v)
lematu 5.2 wynika, że istnieją punkty y1 , y2 ,. . . , yn ∈ Kk i liczby s1 , s2 ,. . . , sn > 0 takie,
że PM (xi ) = si yi dla i = 1, 2, . . . , n. Oczywiście y1 , y2 ,. . . , yn ∈ M ∩Kk . Pokażemy, że ||xi − yi || 6 r
dla i = 1, 2, . . . , n. Rozważmy w tym celu trójkąt, którego wierzchołkami są punkty xi , yi oraz
PM (xi ). Ponieważ PM (xi ) − yi ∈ M , zaś PM (xi ) − xi ⊥ M , więc jest to trójkąt prostokątny, być
może zdegenerowany, jeśli PM (xi ) = yi , czyli si = 1. Jeśli jest to trójkąt zdegenerowany, wówczas
||xi − yi || = ||xi − PM (xi )|| = dist(xi , M ) 6 dist(xi , M ∩ Kk ) < qr < r. Jeśli natomiast trójkąt 4xi yi PM (xi ) nie jest zdegenerowany wówczas ||PM (xi ) − yi || = ||xi − yi || cos(∠PM (xi )yi xi ).
Jednocześnie mamy
cos(∠PM (xi )yi xi ) =
hPM (xi ) − yi , xi − yi i
h(si − 1)yi , xi − yi i
|hyi , xi − yi i|
=
=
<ξ−1
||PM (xi ) − yi || ||xi − yi ||
||(si − 1)yi || ||xi − yi ||
||yi || ||xi − yi ||
(ostatnia nierówność wynika z lematu 5.2 (v)). Zachodzi więc
||xi − yi || 6||xi − PM (xi )|| + ||PM (xi ) − yi || =
=||xi − PM (xi )|| + ||xi − yi || cos(∠PM (xi ) yi xi ) < ||xi − PM (xi )|| + ||xi − yi ||(ξ − 1),
42
a stąd
||xi − yi || <||xi − PM (xi )||/(2 − ξ) = dist(xi , M )/(2 − ξ) 6
6 dist(xi , M ∩ Kk )/(2 − ξ) < qr/(2 − ξ) <
Ostatnia nierówność wynika stąd, że ξ <
4
r < r.
9(2 − ξ)
p
10/9 < 2 − 4/9. Wykorzystujemy również nierówność
dist(xi , M ∩ Kk ) < qr wynikającą z (5.5).
Pokazaliśmy, że dla i = 1, 2, . . . , n zachodzi ||xi − yi || 6 r. Zatem punkty y1 , y2 , . . . , yn−1
są afinicznie niezależne i yn należy do wnętrza sympleksu conv{y1 , y2 , . . . , yn−1 }. Z uwagi 3.3
wynika, że yn leży między y1 , y2 , . . . , yn−1 zaś z uwagi 3.2 wynika, że PM (xn ) = sn yn leży między
PM (x1 ) = s1 y1 , PM (x2 ) = s2 y2 ,. . . , PM (xn−1 ) = sn−1 yn−1 .
Dla dowolnej podprzestrzeni liniowej M ⊂ Rn dowiedliśmy, że zbiór Z jest a-rojem dla M .
W ten sposób zakończyliśmy dowód lematu.
Dowód twierdzenia 5.1. Twierdzenie jest bezpośrednią konsekwencją lematu 5.5 i wniosku 3.6.
43
6
Uwagi
Idea przedstawionego dowodu pochodzi z pracy [4] napisanej przez autora wspólnie z A. Paszkiewiczem. Rozumowania zamieszczone w rozdziałach 3, 4 i 5 są w całości dziełem autora. Lematy
znajdujące się w rozdziale 2 są uogólnieniami na przypadki więcej niż trójwymiarowe lematów
z pracy [4] (ta część pracy [4] była dziełem A. Paszkiewicza). Ich treści zostały jednak uproszczone
i częściowo zmienione. Podane zostały także pełne dowody tych lematów. Praca [4] wymaga pewnych korekt i uzupełnień. W obecnej wersji pracy [4] odpowiedniki lematów 2.1 i 2.2 są błędnie
sformułowane, co uniemożliwia udowodnienie występujących w nich odpowiedników warunków (2.2)
i (2.6).
Zauważmy, że przeprowadzone rozumowanie bez wprowadzania istotnych zmian dowodzi trochę
mocniejszego wyniku. Nie tylko dla każnego n > 3 istnieje liczba α > 0 i n-wymiarowa przestrzeń,
mająca własność (α, 1), ale istnieje liczba α0 > 0 (zależna od n) taka, że dla wszystkich α ∈ (0, α0 ]
istnieje n-wymiarowa przestrzeń mająca własność (α, 1). Przedstawiony dowód nie pozwala jednak
podać dokładnej wartości α0 , nawet dla małych n. Pokrewne wyniki związane ze stałymi rzutowymi
√
przestrzeni skończenie wymiarowych (por. prace [2], [5]) dają pewność, że α0 < n. Oszacowanie
to prawdopodobnie może być jednak znacznie wzmocnione.
Skonstruowane w pracy przestrzenie (Rn , || · ||D ) są nowymi przykładami skończenie wymiarowych przestrzeni Banacha, nie mających bazy Schaudera o stałej równej 1. Przypomnijmy pojęcia bazy Schaudera skończenie wymiarowej przestrzeni Banacha oraz stałej takiej bazy. n-ka
(x1 , x2 , . . . , xn ) elementów n-wymiarowej przestrzeni Banacha E jest bazą Schaudera przestrzeni
E, gdy zbiór {x1 , x2 , . . . , xn } jest jej bazą algebraiczną. Innymi słowy, w przypadku przestrzeni
skończenie wymiarowych bazy Schaudera różną się od baz algebraicznych jedynie tym, że stanowią
one uporządkowane n-ki, podczas gdy bazy liniowe są tylko zbiorami. Stała bazy (x1 , x2 , . . . , xn )
lin{x
,x ,...,x }
n
2
to supremum norm rzutów Plin{x1k+1
, gdzie k przyjmuje wartości 0, 1, . . . , n.
,x2 ,...,xk }
Dla n > 3 rozważmy dowolną bazę (x1 , x2 , . . . , xn ) skonstruowanej w pracy przestrzeni (Rn , || · ||D ).
Ponieważ rzut minimalny na każdą podprzestrzeń kowymiaru 1 ma w tej przestzeni normę 1 + α,
lin xn
więc w szczególności norma rzutu Plin{x
jest nie mniejsza niż 1 + α. Tym samym stała
1 ,x2 ,...,xn−1 }
bazy (x1 , x2 , . . . , xn ) jest równa co najmniej 1 + α > 1. Przestrzenie takie były znane już wcześniej.
Uzyskany wynik i użyta metoda skłaniają do zastanowienia, czy w podobny sposób, jak w niniejszej pracy dałoby się udowodnić istnienie skończenie wymiarowych przestrzeni Banacha mających
własność (α, k) dla α > 0 oraz k większego od jedynki (lecz oczywiście mniejszego niż n − 1; z twierdzenia Hahna–Banacha wynika, że jeśli przestrzeń Banacha ma wymiar n i własność (α, n − 1), to
α = 0). W ewentualnych dowodach można by wykorzystać ciała wypukłe skonstruowane w rozdziale 2. Lematy dotyczące tych ciał uwzględniają nie tylko rzuty na podprzestrzenie kowymiaru 1,
lecz także rzuty na podprzestrzenie mające większe kowymiary. Trudności zaczynają się w chwili,
44
gdy chce się z użyciem tychże ciał skonstruować odpowiednią przestrzeń Banacha. O ile jest możliwe sformułowanie i udowodnienie odpowiedników lematów z rozdziałów 3 i 4, o tyle trudności
pojawiają się w chwili, gdy próbuje się zaadaptować wyniki rozdziału 5. Rozstrzygnięcie pytania
o istnienie skończenie wymiarowych przestrzeni Banacha mających własność (α, k) dla α > 0 oraz
1 < k < n − 1 wymaga więc dalszych badań.
Innym sposobem rozszerzenia uzyskanych wyników byłoby udowodnienie wersji zespolonej twierdzenia 5.1. Również w tym przypadku, możliwe są konstrukcje zespolonych ciał wypukłych mających własności analogiczne do tych, rozważanych w rozdziale 2. Konstrukcje te nie zostały przedstawione w niniejszej rozprawie. Dowód wersji zespolonej twierdzenia 5.1 oraz konstrukcja zespolonych
skończenie wymiarowych przestrzeni Banacha mających własność (α, k) dla α > 0 wymagają dalszych badań.
45
Literatura
[1] F. Bohnenblust, A characterization of complex Hilbert spaces, Portugaliae Math. 3(1942), 103–
109.
[2] M.I. Kadec, M.G. Snobar, Certain functionals on the Minkowski compactum, Mat. Zametki 10
(1971), 453–457 (w języku rosyjskim), Math. Notes 10 (1971), 694–696 (w języku angielskim).
[3] S. Kakutani, Some characterizations of Euclidean space, Jap. J. Math. 16(1939), 93–97.
[4] A. Komisarski, A. Paszkiewicz, On minimal projections in three-dimensional Banach spaces,
preprint.
[5] H. König, N. Tomczak-Jaegermann, Norms of minimal projections, J. Funct. Anal. 119 (1994),
no. 2, 253–280.
[6] R. S. Phillips, A characterization of Euclidean spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 46(1940), 930–933.
[7] S. Rolewicz, On minimal projections of the space Lp [0, 1] on 1-codimensional subspace, Bull.
Polish Acad. Sci. Math. 34(1986), no. 3-4, 151–153.
46