Aby rozwi¡za¢ równanie postaci (1) gdzie A to macierz nieosobliwa
Transkrypt
Aby rozwi¡za¢ równanie postaci (1) gdzie A to macierz nieosobliwa
Aby rozwi¡za¢ równanie postaci (1) AX = B, gdzie A to macierz nieosobliwa n × n, mno»nym z lewej przez macierz odwrotn¡ do A, czyli A−1 . A−1 AX = A−1 B. Poniewa» A−1 A = I (macierz jednostkowa n × n), za± IX = X , otrzymujemy wzór na rozwi¡zanie: X = A−1 B. Aby rozwi¡za¢ równanie postaci (2) Y A = C, mno»nym przez A−1 z prawej strony, otrzymuj¡c Y AA−1 = CA−1 . Poniewa» AA−1 = I, za± YI=Y, otrzymujemy wzór na rozwi¡zanie: Y = CA−1 . Oba powy»sze przypadki typy równa« prze¢wiczyli±my rozwi¡zuj¡c zad. 4 z zestawu 4. Mo»emy te» zetn¡¢ si¦ z równaniami typu (3) AX + λX = B, λ ∈ R gdzie to pewien skalar (liczba). Aby rozwi¡za¢ takie równanie zauwa»my, »e X = IX (macierz jednostkowa jest elementem neutralnym dla operacji mno»enia macierzy), a mno»enie macierzy jest rozdzielne wzgl¦dem dodawania. Dzi¦ki temu mo»emy równanie (3) przeksztaªci¢ do postaci (A + λI)X = B, czyli DX = B, gdzie D = A + λI.1 Jest to wi¦c równanie tego samego typu co (1), i rozwi¡zujemy go analogicznie. Analogicznie mo»emy sprowadzi¢ równanie postaci (4) Y C + λY = C (gdzie λ ∈ R) do postaci Y E = C, gdzie E = C + λI, czyli takiej samej jak w równaniu (2) 1 Zapis D = A + λI oznacza, »e pozadiagonalne elementy macierzy natomiast aby otrzyma¢ elementy diagonalne macierzy doda¢ liczb¦ D D s¡ równe odpowiednim elementom macierzy nale»y do odpowiednich elementów diagonalnych macierzy λ. 1 A; A