Nadszedª wreszcie moment, w którym potrafimy ujawnic

Nadszedª wreszcie moment, w którym potramy ujawnic pochodzenie zagadkowej postaci staªej separacji w równaniu Laplace'a (por. podrozdzial 2.2).
Jak stwierdzilismy wtedy, przyj¦cie takiej wªa¦nie staªej separacji iloczynu
kolejnych nieujemnych liczb caªkowitych, prowadzi m.in do równania (stowarzyszonego albo zwykego) Legendre'a. Z kolei w tabeli 2.1 równanie Legendre'a guruje jako równanie klasy Fuchsa, o trzech kolejnych punktach osobliwych: -1,
1, ∞ co sugeruje jego bliskie powinowactwo z równaniem Gaussa. Aby wyjasni¢
spraw¦ do ko«ca, dokonujemy nast¦pujcego rachunku. Przypu±¢my, »e chcemy
rozwi¡za¢ równanie Legendre'a dla uproszczenia zwykªe przy dowolnej
postaci staªej separacji, np. λ:
dT
1 d
sin θ
+ λT = 0
(1)
sin θ dθ
dθ
Podstawienie ζ = cos θ , dζ = − sin θdθ prowadzi do [T (θ) → Θ cos (θ)]:
d
dΘ
(1 − ζ )
+ λΘ (ζ) = 0
(2)
dζ
dζ
albo
2ζ
λ
Θ (ζ) −
Θ (ζ) +
Θ=0
(3)
1−ζ
1−ζ
Aby przeprowadzi¢ powy»sze równanie w równanie Gaussa, wystarczy dokona¢
jeszcze jednej zamiany zmiennej: x = (ζ + 1) /2 [Θ (ζ) → y (x)] Po elementarnych rachunkach otrzymujemy
2x − 1
λ
y (x) +
y (x) −
y (x) = 0
(4)
x (x − 1)
x (x − 1)
Jest to niew¡tpliwie równanie Gaussa. Trzy parametry równania α, β, γ wyznaczamy porównuj¡c (3) z postaci¡ kanoniczn¡ (2.88). I tak γ = 1, natomiast
2
00
0
2
00
α+β
α· β
2
0
=
1
= −λ
=⇒

α1,2 =
1
2
1±
β1,2 =
1
2
1∓

√
√
1 + 4λ
1 + 4λ
(5)
Uzyskana symetria w parach (α , β ) i (α , β ), a tak»e fakt, ze γ = 1 (por.
wzór (2.94) (i jego dyskusje) ±wiadcz¡, »e równanie (3) b¦dzie miaªo tylko jedno
rozwi¡zanie w postaci szeregu hipergeometrycznego. Wydawaªoby sie, »e nic nie
stoi na przeszkodzie, aby zapisa¢
1
√
√
1
y (x) = F
1 ± 1 + 4λ ,
1 ∓ 1 + 4λ , 1; x .
(6)
2
2
Otó» powy»sze rozwi¡zanie okazuje si¦ nieprzydatne. Szereg hipergeometryczny
nie jest jednostajnie zbie»ny dla caªego interesuj¡cego nas zakresu zmiennej x.
1
1
2
?
1
2