Zadania powtórkowe + zadania do sprawdzianu nr 6

Zestaw zadań: Elementy geometrii analitycznej na płaszczyźnie i w przestrzeni
I. W afinicznej przestrzeni euklidesowej R 2 ( R ) dane są punkty A(2,5), B(6,-1), C(3,-1).
1. Sprawdzić, że punkty A, B i C nie są współliniowe, tj., że układ punktów (A,B,C) jest w położeniu ogólnym.
2. Zbadać, czy trójkąt o wierzchołkach A, B, C jest równoramienny lub prostokątny i obliczyć jego pole.
3. Wyznaczyć równanie ogólne symetralnej odcinka AB . Czy punkt C należy do tej symetralnej?
4. Napisać równanie parametryczno-wektorowe prostej równoległej do pr.AB i przechodzącej przez punkt C.
5. Dla każdej prostej wyznaczonej przez dwa z trzech danych punktów podać opisujący ją układ równań
parametrycznych i znaleźć odległość trzeciego punktu od prostej wyznaczonej przez dwa pozostałe punkty.
6. Znaleźć wierzchołek D równoległoboku zaczepionego w punkcie B i wyznaczonego przez wektory BA i BC .
7. Korzystając z podanej wskazówki1 obliczyć pole równoległoboku o wierzchołkach A,B, C, D.
8. Wyznaczyć obrazy punktów A, B, C w przekształceniu f płaszczyzny R 2 , gdy dla ( x, y ) ∈ R 2 przyjmujemy:
a) f ( x, y ) = ( x + 3, y − 5) ;
b) f ( x, y ) = ( 2 x,− 2 y ) ;
c) f ( x, y ) = ( − x,− 2 y + 1) .
9. Uzasadnić, w którym przypadku z zadania poprzedniego przekształcenie f jest izometrią płaszczyzny R 2 .
10. Dla każdego przypadku z zadania 8. sprawdzić, że obrazem prostej pr.AB w przekształceniu f jest prosta.
i wyznaczyć jej równanie ogólne lub parametryczno-wektorowe.
II. W afinicznej przestrzeni euklidesowej R 3 ( R ) dane są punkty A(1,2,5), B(0,6,-1), C(3,0,1) i D(3,3,0).
1. Sprawdzić, że punkty A, B i C nie są współliniowe, tj., że układ punktów (A,B,C) jest w położeniu ogólnym.
2. Napisać równania parametryczno-wektorowe prostych wyznaczonych przez każde dwa z punktów A, B i C.
W każdy przypadku znaleźć odległość trzeciego punktu od prostej wyznaczonej przez dwa pozostałe punkty.
3. Podać równanie ogólne płaszczyzny H, do której należą dane punkty A, B, C. Uzasadnić, że H jest wyznaczona
jednoznacznie. Podać przykład płaszczyzny: a) równoległej do H; b) prostopadłej do H. Ile jest takich płaszczyzn?
4. Opisać równaniem ogólnym lub parametryczno-wektorowym płaszczyznę T, do której należą punkty B, C i D.
Uzasadnić, że T jest wyznaczona jednoznacznie. Znaleźć symetralną odcinka BC , zawartą w płaszczyźnie T.
5. Wyznaczyć równanie ogólne lub parametryczno-wektorowe płaszczyzny prostopadłej do prostej pr.AC, w której
zawiera się symetralna odcinka AC i obliczyć odległość punktu D od tej płaszczyzny. (Porównaj przypomnienie 2)
6. Dla opisanych poniżej podprzestrzeni afinicznych A1 i A2 wyznaczyć ich podprzestrzenie kierunkowe, określić
dimA1, dimA2 i zbadać wzajemne położenie podprzestrzeni (równoległość, prostopadłość, część wspólną), gdy:
 x + 3y − z = 1
x− z= 0
a) A1: 
;
A2: 
;
 x + 2z = 0
 y + 2z = 1
b) A1: 2 x − 3 y + 2 z = 1 ;
A2: (1,2,0) + α(1,0,2) + β(1,-3,0), gdzie α, β ∈ R;
c) A1: (0,2,3) + α(1,1,2), gdzie α ∈ R;
A2: 3x − y + z = 6 .
7. Sprawdzić, że punkty A, B, C, D nie są współpłaszczyznowe, tj., że układ punktów (A,B,C,D) jest w położeniu
ogólnym, a następnie obliczyć objętość równoległościanu R zaczepionego w punkcie A i rozpiętego na wektorach:
AB , AC i AD . Zbadać, czy równoległościan R jest prostopadłościanem.
8. Wyznaczyć obrazy punktów A, B, C w przekształceniu f przestrzeni R 3 , gdy dla ( x, y, z ) ∈ R 3 przyjmujemy:
a) f ( x, y, z ) = ( x, y + 2, z − 3) ; b) f ( x, y, z ) = (3x,3 y,− 3z ) ; c) f ( x, y, z ) = (0,2 y, z ) ; d) f ( x, y, z ) = (− x,2 y, z ) .
9. Uzasadnić, w którym przypadku z zadania poprzedniego przekształcenie f jest izometrią przestrzeni R 3 .
10. Dla wybranego z określonych w zadaniu 7. przekształcenia f przestrzeni R 3 zbadać, czy zachowuje ono:
a) współliniowość punktów;
b) równoległość prostych; c) prostopadłość prostych; d) środek odcinka.
Wskazówka: Objętość V równoległościanu rozpiętego na k wektorach v1, v2,...,vk obliczamy jako pierwiastek
z wyznacznika Grama g(v1, v2,...,vk) układu tych wektorów, tzn. V = g (v1 , v 2 ,...v k ) .
1
Przypomnienie: Odległość d(q, H) punktu q ( q1 , q 2 ,  , q n ) od hiperpłaszczyzny H przestrzeni n-wymiarowej
opisanej unormowanym równaniem ogólnym postaci a1 x1 + a 2 x 2 +  + a n x n = b , gdzie a12 + a 22 +  + a n2 = 1 ,
2
można obliczyć ze wzoru d (q, H ) = a1 q1 + a 2 q 2 +  + a n q n − b .