ℝ3: proste i płaszczyzny

ℝ3 : proste i płaszczyzny
1. Wyznaczyć równanie parametryczne i ogólne płaszczyzny:
a) przechodzącej przez punkty 𝑃 = (1,0, −1), 𝑄 = (4,2,4) i 𝑅 = (2,1,3);
b) będącej symetralną odcinka o końcach 𝐴 = (2,1,4) i 𝐵 = (8,3,10);
c) zawierającej oś 𝑂𝑌 i przechodzącej przez punkt 𝑃 = (7,2,8).
2. Wyznaczyć równanie parametryczne prostej:
a) przechodzącej przez punkty 𝐴(1, −1,5) i 𝐵 = (−2,1,1).
b) będącej częścią wspólną płaszczyzn 𝜋1 : 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 4 = 0 i 𝜋2 : 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0;
c) prostopadłej do osi 𝑂𝑋 i przechodzącej przez punkt 𝑃 = (3,4,5).
3. Znaleźć punkt wspólny:
a) płaszczyzn 𝜋1 : 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0, 𝜋2 : 2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 1 i 𝜋3 : 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 10.
b) prostych 𝑙1 : 𝑥 = 1 + 𝑡, 𝑦 = 7 − 𝑡, 𝑧 = 2 + 3𝑡 i 𝑙2 : 𝑥 = 4 + 𝑠, 𝑦 = 3 − 2𝑠, 𝑧 = 9 + 𝑠.
4. Wyznaczyć punkty przecięcia prostej 𝑙:
𝑥−1
2
=
𝑦+3
−1
=
𝑧−4
5
z płaszczyznami układu
współrzędnych.
5. Wyznaczyć rzut punktu 𝑃 = (8, −4,9) na płaszczyznę 𝜋: 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 + 5 = 0.
6. Wyznaczyć rzut punktu 𝑃 = (4,8,5) na prostą 𝑙: 𝑥 = 3 + 𝑡, 𝑦 = −1 + 4𝑡, 𝑧 = 3𝑡, 𝑡 ∈ ℝ.
7. Obliczyć odległość punktu 𝑆 = (3,5, −8):
a) od płaszczyzny 𝜋: 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 + 5 = 0;
b) od prostej 𝑙: 𝑥 = 8 + 4𝑡, 𝑦 = 4 − 3𝑡, 𝑧 = −5 + 𝑡, 𝑡 ∈ ℝ.
8. Obliczyć odległość między prostymi skośnymi 𝑙1 : 𝑥 = 1 + 2𝑡, 𝑦 = 3𝑡, 𝑧 = 3 + 4𝑡, 𝑡 ∈ ℝ
i 𝑙2 : 𝑥 = 3 + 2𝑠, 𝑦 = 1, 𝑧 = 2 + 𝑠, 𝑠 ∈ ℝ.
9. Obliczyć wysokość czworościanu 𝐴𝐵𝐶𝐷, gdzie 𝐴 = (1,0,2), 𝐵 = (2,3,4), 𝐶 = (3, −1,1)
oraz 𝐷 = (4,1,4), opuszczoną z wierzchołka 𝐷.
10. Sprawdzić, czy punkty 𝑃 = (2,3,4) i 𝑄 = (3, −1,2) leżą po tej samej stronie płaszczyzny
𝜋: 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 4 = 0.
11. Dane są trzy wierzchołki czworościanu foremnego 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝐴 = (0,1,2), 𝐵 = (1,2,0) oraz
𝐶 = (2.0,1). Wyznaczyć współrzędne czwartego wierzchołka.