WEKTORY LOSOWE Rozk lad dyskretny wektora losowego (X, Y

WEKTORY LOSOWE
Rozklad dyskretny wektora losowego (X, Y ) jest wyznaczony przez tablicȩ
Y \X
y1
y2
...
x1
x2
x3
p(x1 , y1 ) p(x2 , y1 ) p(x3 , y1 )
p(x1 , y2 ) p(x2 , y2 ) p(x3 , y2 )
...
...
...
...
...
...
...
gdzie p(xi , yj ) = P(X = xi , Y = yj ). Liczby p(xi , yj ) spelniaja̧ nastȩpuja̧ce warunki:
p(xi , yj ) ≥ 0 oraz
X
p(xi , yj ) = 1.
i,j
Rozklady brzegowe zmiennych X oraz Y to zbiory liczb P(X = xi ) oraz P(Y = yj )
takie, że:
X
P(X = xi ) =
p(xi , yj ),
j
X
P(Y = yj ) =
p(xi , yj ).
i
Rozklad cia̧gly wektora losowego (X, Y ) jest wyznaczony przez gȩstość prawdopodobieństwa f (x, y) ≥ 0, podana̧ warunkiem
Z Z
f (x, y)dxdy = 1.
R
R
Dla A ∈ B(R2 ) prawdopodobieństwo dane jest wzorem
Z
P ((X, Y ) ∈ A) = f (x, y)dxdy.
A
Dystrybuanta wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem
Zx Zy
F (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) =
f (u, v)dvdu,
−∞ −∞
zatem
f (x, y) =
∂F (x, y)
.
∂x∂y
Rozklady brzegowe zmiennych X oraz Y ::
Z∞
fX (x) =
f (x, y)dy,
−∞
Z∞
fY (y) =
f (x, y)dx.
−∞
X, Y - niezależne ⇔ FX,Y (x, y) = FX (x)FY (y) ⇔ fX,Y (x, y) = fX (x)fY (y).
1
Wartość oczekiwana Z = g(X, Y ) dana jest wzorem
Z Z
EZ = E(g(X, Y )) =
g(x, y)f (x, y)dxdy.
R
R
Kowariancja zmiennych X i Y dana jest wzorem
Cov(X, Y ) = E[(X − EX)(Y − EY )] = E(XY ) − EXEY.
Sta̧d
Cov(X, X) = E(X − EX)2 = V ar(X).
Wspólczynnik korelacji zmiennych X, Y dany jest wzorem
Cov(X, Y )
corr(X, Y ) = p
V ar(X)V ar(Y )
,
jeżeli D2 X > 0, D2 Y > 0, oraz corr(X, Y ) = 0 w przeciwnym przypadku.
2