Anna Tikhonenko - Przedziałowe rozszerzenie metody TOPSIS
Transkrypt
Anna Tikhonenko - Przedziałowe rozszerzenie metody TOPSIS
Przedziałowe rozszerzenie metody TOPSIS Anna Tikhonenko1 1 Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki Kierunek Informatyka, Rok V {anna.tikhonenko}@gmail.com Streszczenie Metoda obliczajaca ˛ odległość alternatywy od rozwiazania ˛ idealnego (TOPSIS) obecnie jest jedna˛ z najbardziej popularnych metod wielokryterialnego podejmowania decyzji. Poczatkowo ˛ ona została opracowana dla danych przedstawionych w postaci liczb rzeczywistych, natomiast w pewnych przypadkach wyznaczenie dokładnych wartości kryteriów jest trudne i o wiele łatwiejszym jest przedstawienie owej wartości w postaci przedziału. W obecnych publikacjach z tego tematu sposób rozwiazywania ˛ wskazanego problemu sprowadza si˛e do działań nad liczbami rzeczywistymi. Przy takim podejściu wynik może okazać si˛e nieprawidłowy. W danej prezentacji ujawniono wady wskazanej metody i przedstawione nowe podejście opierajace ˛ si˛e na matematyce przedziałowej. 1 Wst˛ep Technika obliczania odległości do idealnego rozwiazania ˛ (TOPSIS) [5] jest jedna˛ z najbardziej znanych klasycznych metod wielokryterialnego podejmowania decyzji (MCDM). Technika ta została opracowana przez Hwanga, Yoona [2] do rozwiazania ˛ problemów MCDM. Podstawowym założeniem metody TOPSIS jest to, że optymalne rozwiazanie ˛ powinno mieć najkrótsza˛ odległość od rozwiazania ˛ idealnego i najwi˛eksza˛ odległość od rozwiaza˛ nia anty-idealnego. W klasycznej metodzie MCDM ranking i wagi kryteriów sa˛ dokładnie znane. Przeglad ˛ tych metod został przedstawiony w [2]. W klasycznej metodzie TOPSIS ranking wydajności i wagi kryteriów także podane sa˛ jako dokładne wartości. Jednak czasami rozwiazanie ˛ zagadnienia dokładnego wyznaczenia wartości kryteriów jest trudne, dlatego w konsekwencji ich wartości sa˛ przedstawione w postaci przedziałów. Jahanshahlo w art. [3, 4], przedstawił rozszerzona˛ metod˛e TOPSIS opracowana˛ w celu rozwiazywania ˛ MCDM problemów z danymi w postaci przedziałów. Główna˛ wada˛ tej metody jest to, że idealne rozwiazania ˛ w niej sa˛ w postaci liczb rzeczywistych. Takie podejście przedstawiono w [12]. Celem niniejszej prezentacji jest ujawnienie tego, że ta metoda może prowadzić do nieprawidłowych wyników, szczególnie w przypadku przecinania si˛e niektórych przedziałów (wartości kryteriów). W danej prezentacji zaproponowano nowe podejście do przedziałowego rozszerzenia metody TOPSIS swobodne od wad wcześniejszych metod. 1 2 Metoda TOPSIS i współczesne podejście do jej rozszerzenia przedziałowego Klasyczna metoda TOPSIS opiera si˛e na założeniu, że najlepsze rozwiazanie ˛ powinno znajdować si˛e najbliżej od rozwiazania ˛ idealnego oraz najdalej od rozwiazaniu ˛ antyidealnego. Zakłada si˛e przy tym, że jeśli każde kryterium lokalne monotonicznie rośnie lub maleje, to łatwo jest określić rozwiazania ˛ idealne. Rozwiazania ˛ idealne składaja˛ si˛e ze wszystkich najlepszych osiagalnych ˛ wartości kryteriów lokalnych, natomiast rozwia˛ zania anty-idealne składaja˛ si˛e ze wszystkich najgorszych osiagalnych ˛ wartości kryteriów lokalnych. Załóżmy, że problem MCDM dotyczy zbiorów m alternatyw A1 , A2 , . . . , Am i n kryteriów C1 , C2 , . . . , Cn . Każda alternatywa zostaje oceniana wzgl˛edem n kryteriów. Oceny [ odpo] wiadajace ˛ wskazanym alternatywom i kryteriom tworza˛ macierz decyzyjna˛ D xi j n×m , gdzie xi j jest ocena˛ alternatywy Ai według kryteria C j . Niech W = [w1 , w2 , . . . , wn ] jest wektorem wag kryteriów lokalnych spełniajacym ˛ warunek ∑nj=1 w j = 1. Metoda TOPSIS składa si˛e z nast˛epujacych ˛ kroków: 1. Normalizacja macierzy decyzyjnej: ri j = √ xi j 2 ∑m k=1 xk j , i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. (1) 2. Obliczenie poszczególnych wartości macierzy decyzyjnej przy uwzgl˛ednieniu wag poszczególnych kryteriów: vi j = w j × ri j , i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. (2) 3. Określenie rozwiazań ˛ idealnego i anty-idealnego odpowiednio w sposób nast˛epuja˛ cy: { } {( ) ( )} + + A+ = v+ , v , . . . , v = max v j ∈ K , min v j ∈ K , (3) i i j i i j c b n 1 2 } {( { ) ( )} − − min i vi j j ∈ Kb , max i vi j j ∈ Kc , A− = v− (4) 1 , v2 , . . . , vn = gdzie Kb jest zbiorem kryteriów korzyści, a Kc jest zbiorem kryteriów kosztu. 4. Obliczenie odległości alternatyw od rozwiazań ˛ idealnych: dwie odległości Euklidesowe sa˛ obliczane, odpowiednio, dla każdej alternatywy: √ ( ) 2 ∑nj=1 vi j − v+j , i = 1, . . . , m, √ )2 ( − Si = ∑nj=1 vi j − v−j , i = 1, . . . , m. Si+ = (5) 5. Obliczenie wzgl˛ednej bliskości alternatyw do rozwiazań ˛ idealnych: RCi = Si− , i = 1, 2, . . . , m, 0 ≤ RCi ≤ 1. Si+ + Si− 2 (6) 6. Przeznaczamy pozycj˛e w rankingu uwzgl˛edniajac ˛ bliskość alternatyw do rozwiazań ˛ idealnych: najwi˛eksze RCi wskazuje na to, że alternatywa Ai jest najlepsza˛ wśród przedstawionych. W [3, 4] zostało zaproponowane rozszerzenie klasycznej metody TOPSIS. Podejście to może być w sposób nast˛epujacy. ˛ ] [ przedstawione L U Niech xi j , xi j b˛edzie wartościa˛ przedziałowa˛ j-tego kryteria dla i-tej alternatywy (xiLj i = [w , w , . . . , wn ] b˛edzie wektorem wag xU i j sa˛ dolna˛ i górna˛ granicami, odpowiednio), W [ ] 1 2 n spełniajacym ˛ warunek ∑ j=1 w j = 1. Wtedy D xi j n×m jest macierza˛ decyzyjna˛ wartości przedziałowych. Metoda zaproponowana w [3, 4] składa si˛e z nast˛epujacych ˛ kroków: 1. Normalizacja macierzy decyzyjnej za pomoca˛ nast˛epujacych ˛ wzorów: riLj = ( xiLj ) 1 , j = 1, ..., m; i = 1, ..., n, (7) 2 m 2 ∑ ((xiLj )2 + (xU ij) ) j=1 rU ij =( xU ij ) 1 , j = 1, ..., m; i = 1, ..., n, (8) 2 m 2 ∑ ((xiLj )2 + (xU ij) ) j=1 2. Ze wzgl˛edu na znaczenie wag kryteriów elementy przedziałowej ważonej macierzy decyzyjnej znormalizowanej określa si˛e nast˛epujacymi ˛ wzorami: U vLij = w j × riLj , vU i j = w j × ri j , i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. 3. Rozwiazania ˛ idealne oraz anty-idealne obliczane sa˛ nast˛epujaco: ˛ { + + } {( ) ( )} + + U A = v1 , v2 , . . . , vn = max i vi j j ∈ Kb , min i vLij j ∈ Kc , } {( ) ( )} { − − min i vLij j ∈ Kb , max i vU . A − = v− i j j ∈ Kc 1 , v2 , . . . , vn = (9) (10) 4. Odległość poszczególnych alternatyw od rozwiazań ˛ idealnych jest obliczana przy pomocy wzoru na n-wymiarowa˛ odległość euklidesowa: ˛ }1 { )2 2 )2 ( ( + Si+ = ∑ vLij − v+j + ∑ vU , i = 1, . . . , m. (11) i j −vj j∈Kb j∈Kc Odległość od anty-idealnych rozwiazań ˛ jest obliczana podobnie: }1 { )2 2 ( )2 ( − + ∑ vLij − v−j , i = 1, . . . , m. Si− = ∑ vU i j −vj j∈Kb (12) j∈Kc ˛ idealnych: 5. Obliczenie wzgl˛ednej bliskości alternatyw do rozwiazań RCi = Si− , i = 1, 2, . . . , m, 0 ≤ RCi ≤ 1. Si+ + Si− (13) Przypisujemy alternatywie pozycj˛e w rankingu uwzgl˛edniajac ˛ jej bliskość do rozwiazań ˛ idealnych: najwi˛eksze RCi wskazuje na to, że alternatywa Ai jest najlepsza˛ wśród przedstawionych. 3 3 Bezpośrednie przedziałowe rozszerzenie metody TOPSIS 3.1 Sformułowanie problemu Jest jasne, że we wzorach (9)[i (10) maksymalne i minimalne wartości sa˛ poszukiwa] L U ne wśród granic przedziałów vi j , vi j . Wynika to z założenia, że granice przedziałów reprezentuja˛ ich wartości. Natomiast takie podejście wydaje si˛e uzasadnione jedynie w przypadku, gdy przedziały te nie przecinaja˛ si˛e. W przypadku, gdy przedziały przecinaja˛ si˛e, wskazane podejście może doprowadzić do bł˛ednych wyników. Na przykład, rozważmy dwa przedziały [x1 1 ] = [5, 7] i [x2 1 ] = [0, 10] reprezentujace ˛ oceny alternatyw A1 i A2 według kryteria korzyści C1 . − Wówczas za pomoca˛ wzorów (9) i (10) otrzymujemy v+ ˛ do1 = 10 i v1 = 0; używajac wolnej metody porównania przedziałów (patrz niżej) otrzymujemy, że [x1 1 ] > [x2 1 ] i dla − rozwiazań ˛ idealnego oraz anty-idealnego mamy: [v] + 1 = [5, 7] i [v] 1 = [0, 10] odpowied+ + nio. Łatwo zauważyć, że v1 = 10 nie zawiera si˛e w [v] 1 . Wówczas bardziej właściwa˛ metoda˛ określenia rozwiazań ˛ idealnych jest przedstawienie ich w postaci przedziałów używajac ˛ wzorów [ ] [ +L +U ] ]} {[ +U +U . . , v+L A+ ={( v+L n [, vn 1 ,v [1 , v]2 , v2 ), . ( ]= )} , (14) L U L U = maxi vi j , vi j j ∈ Kb , mini vi j , vi j j ∈ Kc [ ] [ −L −U ] ]} {[ −U −U , ] v2 , v2 ), .(. . , v−L A− ={( v−L n [, vn 1 , [v1 ]= )} . L U L U = mini vi j , vi j j ∈ Kb , maxi vi j , vi j j ∈ Kc (15) Ponieważ w ramach opisanej metodologii nie dokonujemy redukowania typów (przedstawienia przedziałów przez liczby rzeczywiste), przedstawione podejście otrzymało nazw˛e Bezpośredniego Przedziałowego Rozszerzenia metody TOPSIS. Ponieważ w (14) i (15) maja˛ zostać określone maksymalna i minimalna przedziałowe wartości, zasadniczym problemem przedstawionego wyżej podejścia jest porównanie przedziałów. 3.2 Porównanie przedziałów Do porównania przedziałów zazwyczaj używa si˛e wskaźników ilościowych (patrz [6] i [7]). Wang w art. [8] zaproponował prosta˛ metod˛e heurystyczna˛ wyznaczajac ˛ a˛ stopień możliwości tego, że przedział jest wi˛ e kszy lub mniejszy od drugiego przedziału. [ ] [ ] Dla przedziałów B = bL , bU , A = aL , aU prawdopodobieństwo tego, że B ≥ A i A ≥ B, zostało zdefiniowane w [8, 9] i oblicza si˛e nast˛epujaco: ˛ { } { } max 0, bU − aL − max 0, bL − aU P (B ≥ A) = , (16) aU − aL + bU − bL { } { } max 0, aU − bL − max 0, aL − bU . (17) P (A ≥ B) = aU − aL + bU − bL Wzory te zostały wprowadzone przez Facchinetti w art. [1] i przez Xu i Da [10]. Xu i Chen [11] pokazali, że wzory zaproponowane w [1, 8] i [10] sa˛ równoważne. 4 Pewna grupa metod używanych do porównania przedziałów opiera si˛e na tzw. podejściu probabilistycznym (patrz art. [6]). Wyniki uzyskane przy użyciu (16) i (17) sa˛ na ogół podobne do wyników uzyskanych z wykorzystaniem probabilistycznego podejścia do porównania przedziałów. Główna˛ wada˛ opisanej wyżej metody jest to, że zapewnia ona wynik wiarygodny tylko jeśli przedziały te maja˛ wspólny obszar (przypadki przecinania si˛e przedziałów i zawierania si˛e jednego przedziału w drugim sa˛ rozpatrywane oddzielnie w [6]). Jeśli nie wyst˛epuje przeci˛ecie przedziałów, to prawdopodobieństwo tego, że przedział jest wi˛ekszy lub mniejszy od drugiego jest równe 1 lub 0 bez wzgl˛edu na odległość pomi˛edzy przedziałami. Na przykład, niech A = [1, 2], B = [3, 4] i C = [100, 200]. Wtedy używajac ˛ podejścia opisanego powyżej otrzymujemy: P (C > A) = P (B > A) = 1, P (A > B) = 0. Tak wi˛ec można powiedzieć, że w przypadku, gdy przedziały pokrywaja˛ si˛e, te metody określaja˛ prawdopodobieństwo tego, że przedział jest wi˛ekszy lub mniejszy od drugiego przedziału i prawdopodobieństwo to może być traktowane jako stopień nierówności przedziałów lub w pewnym sensie odległość pomi˛edzy przedziałami. Z drugiej strony, metoda ta nie może określić nierówności, gdy przedziały nie maja˛ obszaru wspólnego. Oczywiście, odległość Hamminga ) 1 ( L a − bL + aU − bU 2 (18) )2 ( )2 ) 21 1 (( L a − bL + aU − bU 2 (19) dH = lub odległość Euklidesowa dE = moga˛ być używane do obliczania odległości pomi˛edzy przedziałami, natomiast otrzymane wyniki nie wskazuja˛ wi˛ekszego (lub też mniejszego) przedziału. W zwiazku ˛ z tym metody te nie moga˛ być stosowane do porównania przedziałów, zwłaszcza wtedy, gdy jeden z przedziałów zawiera si˛e w drugim. Dlatego proponowano zastosowanie metody bezpośredniego odejmowania przedziałów. Metoda ta pozwala obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jeden z przedziałów jest wi˛ekszy od drugiego, gdy maja˛ one obszar [ Lwspólny ] [ L i Ugdy ] nie przecinaja˛ si˛e. U A wi˛ec dla przedziałów [ L U ] AL= aL , a U i B U= b U, b Lwynikiem odejmowania jest przedział C = A − B = c , c ; c = a − b , c = a − b . Łatwo zauważyć, że w przypadku, gdy przedziały A i B maja˛ obszar wspólny, zawsze otrzymujemy ujemna˛ lewa˛ granic˛e przedziału C i dodatnia˛ jego prawa˛ granic˛e. Dlatego, aby zmierzyć odległość pomi˛edzy przedziałami, która ma także wskazać, który z przedziałów jest wi˛ekszy lub mniejszy, posługujemy si˛e nast˛epujacym ˛ wzorem: ∆A−B = ) ( )) 1 (( L a − bU + aU − bL . 2 (20) Można udowodnić, że dla przedziałów ze wspólnym środkiem wartość ∆A−B jest zawsze równa 0. Istotnie, wyrażenie (20) może być zapisane w nast˛epujacy ˛ sposób: ( ) ) 1( U ) 1( L U L ∆A−B = a +a − b +b . (21) 2 2 5 Łatwo zauważyć, że wyrażenie (21) stanowi odległość mi˛edzy środkami przedziałów przy porównaniu A i B. Wniosek Wanga w art.[8] o tym, że wi˛ekszość metod porównania przedziałów całkowicie opiera si˛e na środkach przedziałów, nie jest zaskakujacy. ˛ Wynikiem odejmowania przedziałów o wspólnych środkach jest przedział o środku 0. W ramach analizy przedziałowej przedziały takie sa˛ traktowane jako przedziały zerowe. Ściśle mówiac, ˛ jeśli a jest wartościa˛ rzeczywista,˛ to 0 możemy zdefiniować jako a − a. Podobnie, jeśli [A jest przedziałem, ] to zero przedziałowe możemy zdefiniować jako przedział A − A = aL − aU , aU − aL , którego środkiem jest 0. Wówczas wartość ∆A−B równa˛ 0 dla A i B majacych ˛ wspólny środek może być traktowana jako określenie wartości zera przedziałowego. W tablicy 1 zostały zaprezentowane wartości P (A ≥ B), P (B ≥ A) (patrz wyrażenia (16), (17)), odległość Hamminga dH oraz odległość Euklidesowa dE (patrz wyrażenia (18), (19)) pomi˛edzy Ai i B , i ∆A−B dla przedziałów A1 = [4, 7], A2 = [5, 8], A3 = [8, 11], A4 = [13, 16], A5 = [18, 21], A6 = [21, 24], A7 = [22, 25] i B = [7, 22] pokazanych na Rys.1. Numery w pierwszym wierszu tabeli sa˛ odnoszone do numerów przedziałów Ai , i = {1, 2, . . . , 7}. Rys. 1: Porównywane przedziały Tab. 1: Wyniki odejmowania przedziałów Metoda 1 2 3 4 5 6 7 P(A ≥ B) 0 0.06 0.22 0.5 0.78 1 1 P(A ≤ B) 1 0.94 0.78 0.5 0.22 0 0 dE 10.82 10 7.81 6 7.81 10 10.82 dH 9 8 6 6 6 8 9 ∆A−B -9 -8 -5 0 5 8 9 Zauważmy, że wartości ∆Ai −B sa˛ ujemne, gdy Ai ≤ B, i sa˛ dodatnie dla Ai ≥ B. Wyniki oszacowań tych pokrywaja˛ si˛e (przynajmniej jakościowo) z P(Ai ≥ B) i P(Ai ≤ B). A wi˛ec można powiedzieć, że znak wielkości ∆Ai −B wskazuje, który z przedziałów jest wi˛ekszy (lub mniejszy) i wartości abs (∆Ai −B ) moga˛ być traktowane jako odległości pomi˛edzy przedziałami, ponieważ wartości te sa˛ bliskie wartościom dH i dE w obu przypadkach: gdy przedziały maja˛ wspólny obszar i gdy si˛e nie przecinaja.˛ 6 3.3 Porównanie metod przedziałowego rozszerzenia metody TOPSIS Po obliczaniu ∆A−B z (14) i (15) łatwo możemy uzyskać idealne rozwiazania ˛ przedziałowe: {[ ] [ +L +U ] [ ]} +U +U A+ = v+L , v2 , v2 , . . . , v+L , n , vn 1 , v1 {[ ] [ ] [ ]} −U −U −U A− = v−L , v−L , . . . , v−L . n , vn 1 , v1 2 , v2 Ponieważ ∆A−B jest odległościa˛ mi˛edzy punktami środkowymi przedziałów A i B, wartościSi+ i Si− sa˛ obliczane nast˛epujaco: ˛ Si+ Si− 1 = 2 (( ) ( )) 1 +L +U L U ∑ v j + v j − vi j + vi j + 2 j∈Kb 1 = 2 (( )) 1 ) ( −L −U L U + ∑ vi j + vi j − v j + v j 2 j∈Kb ∑ (( )) ) ( +L L U +U vi j + vi j − v j + v j . (22) ∑ (( ) ( )) −L −U L U vj +vj − vi j + vi j . (23) j∈Kc j∈Kc Wreszcie za pomoca˛ wyrażenia (13) otrzymujemy wzgl˛edna˛ bliskość RCi dla idealnej alternatywy. Rozważmy przykład. Rozpatrzmy trzy alternatywy Ai , i = {1, 2, 3} i cztery kryteria lokalne C j , j = {1, 2, 3, 4} w postaci przedziałów przedstawionych w Tablicy 2, gdzie C1 i C2 sa˛ kryteriami korzyści, a C3 i C4 sa˛ kryteriami kosztu. W celu podkreślenia zalet opisywanej metody wybraliśmy przykład, w którym wiele przedziałów reprezentujacych ˛ oceny przecinaja˛ si˛e. A1 A2 A3 Tab. 2: Macierz decyzyjna C1 C2 C3 C4 [6, 22] [10, 15] [16, 21] [18, 20] [15, 18] [8, 11] [20, 30] [19, 28] [9, 13] 12, 17] [42, 48] [40, 49] Przy pomocy znanej metody rozszerzenia przedziałowego metody TOPSIS [3, 4] (wyrażenia (7)–(17)) otrzymujemy R1 = 0.5311, R2 = 0.6378, R3 = 0.3290 a wi˛ec R2 > R1 > R3 ; gdy natomiast zastosujemy metody zaproponowanej (wzór (7), (8), (22), (23) i (13)) mamy R1 = 0.7688, R2 = 0.7528, R3 = 0.0717, a zatem R1 > R2 > R3 . Zwróćmy uwag˛e na znaczna˛ różnic˛e rankingów finałowych uzyskanych za pomoca˛ dwóch sposobów. Można wytłumaczyć to tym faktem, że metoda zaproponowana w [3, 4] ma pewne ograniczenia zwiazane ˛ z przedstawieniem przedziałów w postaci wartości rzeczywistych przy obliczeniu rozwiazań ˛ idealnych i skorzystaniu z odległości Euklidesowej, gdy przedziały przecinaja˛ si˛e. 4 Podsumowanie W artykule zaproponowano nowe podejście do rozwiazania ˛ MCDM problem przy zastosowaniu przedziałowego rozszerzenia metody TOPSIS. Podejście otrzymało nazw˛e „bezpośredniego rozszerzenia przedziałowego metody TOPSIS” i jest swobodne od ograniczeń, z którymi zwiazane ˛ były dotychczas znane podejścia. Pokazano, że przedstawienie 7 przedziałów w postaci wartości rzeczywistych przy obliczeniu rozwiazań ˛ idealnych może doprowadzić do wyników nieprawidłowych, również jak i obliczenia przy pomocy odległości Euklidesowej w przypadku, gdy przedziały przecinaja˛ si˛e. Na podstawie przykładu numerycznego zostało ujawnione, że zaproponowana metoda „bezpośredniego rozszerzenia przedziałowego metody TOPSIS” może zapewnić bardziej dokładne rankingowanie alternatyw, które znaczaco ˛ różni si˛e od wyników uzyskanych przy użyciu znanych metod. Literatura [1] Facchinetti G., Ricci, R.G., Muzzioli, S.: Note on ranking fuzzy triangular numbers. International Journal of Intelligent Systems, 13, 613-622 (1998). [2] Hwang, C.L., Yoon, K.: Multiple Attribute Decision Making Methods and Applications, Springer, Berlin Heidelberg, (1981). [3] Jahanshahlo, G.R., Hosseinzade, L.F., Izadikhah, M.: An algorithmic method to extend TOPSIS for decision making problems with interval data. Applied Mathematics and Computation, 175, 13751384 (2006). [4] Jahanshahlo, G.R., Hosseinzade, L.F., Izadikhah, M.: Extension of the TOPSIS method for decision making problems with fuzzy data. Applied Mathematics and Computation, 181, 15441551 (2006). [5] Lai, Y.J., Liu, T.Y., Hwang, C.L.: TOPSIS for MCDM. European Journal of Operational Research, 76, 486500 (1994) . [6] Sevastjanov P.: Numerical methods for interval and fuzzy number comparison based on the probabilistic approach and DempsterShafer theory. Information Sciences, 177, 4645 - 4661 (2007). [7] Wang, X., Kerre, E.E.: Reasonable properties for the ordering of fuzzy quantities (I) (II). Fuzzy Sets and Systems, 112, 387-405 (2001). [8] Wang, Y.M., Yang,J.B., Xu, D.L.: A preference aggregation method through the estimation of utility intervals. Computers and Operations Research, 32, 2027-2049 (2005). [9] Wang, Y.M., Yang,J.B., Xu, D.L.: A two-stage logarithmic goal programming method for generating weights from interval comparison matrices. Fuzzy Sets and Systems, 152, 475498 (2005). [10] Xu, Z., Da ,Q.: The uncertain OWA operator. International Journal of Intelligent Systems, 17, 569- 575 (2002). [11] Xu, Z., Chen, J.: Some models for deriving the priority weights from interval fuzzy preference relations. European Journal of Operational Research, 184,266-280 (2008). [12] Yue, Z.: An extended TOPSIS for determining weights of decision makers with interval numbers. Knowledge-Based Systems, 24, 146-153 (2011) . 8