Intuicja matematyczna na co dzień

Agnieszka Chojka-Szumilas
Intuicja matematyczna
na co dzień
Chciałabym przedstawić pomysł na zaj˛ecia, które bardzo spodobały si˛e moim
uczniom. Lekcj˛e przeprowadziłam w formie wykładu, ale z czynnym udziałem klasy. Każdy z uczniów przygotował czyste kartki i długopis. Przy
omawianiu poszczególnych przykładów
ich treść wyświetlałam za pomoca˛ rzutnika na tablicy.
a 1 kg to 2% z 50 kg. Należało wywnioskować, że meduza waży teraz tylko
50 kg.
Prognoza pogody
Po przeczytaniu kolejnego zadania uczniowie mieli udzielić na swoich kartkach
odpowiedzi TAK lub NIE.
Telewizyjny synoptyk oznajmił, że jest
50% szans na deszcz w sobot˛e i 50%
w niedziel˛e, mamy wi˛ec stuprocentowa˛
pewność, że w weekend przyda si˛e parasol. Czy miał racj˛e?
Tym razem uczniowie byli prawie zgodni, sami wyjaśnili, że przecież może
w ogóle nie padać. My, nauczyciele,
moglibyśmy jeszcze uzupełnić, że jest
25% szans na nieużywanie w weekend
parasola, bo 0,5 · 0,5 = 0,25.
Meduza
Zaproponowałam uczniom, aby zaraz po
zapoznaniu si˛e z treścia˛ zadania każdy –
bez wykonywania obliczeń – napisał na
swojej kartce najbardziej swoim zdaniem
wiarygodny wynik.
Woda stanowi 99% masy meduzy. Morze
wyrzuciło na brzeg 100-kilogramowa˛
meduz˛e. Po pewnym czasie cz˛eść wody
odparowała i teraz woda stanowi już
tylko 98% masy meduzy. Ile obecnie waży
meduza?
Po podniesieniu kartek do góry okazało si˛e, że u wielu uczniów widniało
98 kg. A przecież meduza zawierała 1%
„niewody”, co w zadaniu stanowi 1 kg.
Po odparowaniu „niewoda” to już 2%,
Feministka?
Ewa ma trzydzieści trzy lata, jest niezam˛eżna i pewna siebie. Skończyła z wyróżnieniem nauki polityczne. Była gł˛eboko zaangażowana w sprawy społeczne,
w szczególności w zagadnienia dyskryminacji i w ruch antynuklearny. Które
z poniższych stwierdzeń jest bardziej
prawdopodobne?
(A) Ewa pracuje w banku.
(B) Ewa pracuje w banku i jest aktywistka˛ ruchu feministycznego.
Na wi˛ekszości kartek podniesionych do
góry znajdowała si˛e litera B.
– To jest przecież bardziej logiczne –
powiedziała jedna z uczennic poproszona
o wyjaśnienie.
CIEKAWA MATEMATYKA
CYAN BLACK
ML14 str. 17
17
Właściwa odpowiedź – bardziej prawdopodobne jest stwierdzenie A – jest
tylko na pozór zaskakujaca.
˛ Pojedyncze
stwierdzenie jest zawsze bardziej prawdopodobne niż koniunkcja dwóch stwierdzeń, np. szansa, że w rzucie moneta˛
wypadnie orzeł, jest równa 12 , a szansa,
że rzucajac
˛ moneta˛ i kostka,˛ otrzymamy
1
orła i szóstk˛e, jest równa 12 · 16 = 12
.
Ponieważ moi uczniowie nie znaja˛ jeszcze poj˛ecia prawdopodobieństwa zdarzeń niezależnych, zobrazowaliśmy sytuacj˛e jako wybór elementu ze zbioru
kobiet feministek i kobiet pracownic banków. Cz˛eść wspólna (opcja B) tych zbiorów liczy mniej elementów niż zbiór pracownic banków (opcja A). Nawet gdyby
było pewne, że Ewa jest feministka,
˛ zdarzenia A i B byłyby tylko równie prawdopodobne.
U lekarza
Widzimy, że po zbadaniu 10 000 osób
uzyskamy 296 wyników pozytywnych,
ale tylko u 98 osób wynik testu b˛edzie
właściwy.
Najlepsza drużyna
Trener reprezentacji Polski w piłce nożnej ma do dyspozycji 22 zawodników, w tym 3 bramkarzy, 7 obrońców,
7 pomocników i 5 napastników. Według
trenera najlepsze ustawienie zawodników to odpowiednio 1 – 4 – 4 – 2.
Ostatnio reprezentacja nie gra najlepiej.
Komentatorzy sportowi radza˛ w tej sytuacji rozegrać tyle meczów, ile potrzeba,
aby przetestować wszystkich możliwych
graczy na ich pozycjach i wybrać optymalny skład. Czy trener powinien posłuchać doradców?
– To już na pewno jest podst˛ep! – skwitował natychmiast jeden z uczniów.
Firma farmaceutyczna X opracowała test
na obecność we krwi groźnego wirusa
i promuje na rynku swój produkt nast˛epujacymi
˛
informacjami: „Wiadomo, że
około 1% populacji to nosiciele wirusa,
a test daje wynik pozytywny aż u 98%
badanych nosicieli wirusa i tylko u 2%
badanych osób zdrowych wynik jest
pozytywny, czyli nieprawidłowy”. Czy
wykonałbyś test firmy X?
Tym razem odpowiedzi TAK i NIE było
mniej wi˛ecej tyle samo. Przypuśćmy dla
ułatwienia rachunków, że populacja liczy
10 000 osób. Przedstawmy nasze informacje:
10 000 osób
100 nosicieli
9900 zdrowych
98 testów
198 testów
pozytywnych
pozytywnych
18
Poprosiłam o podanie liczby meczy
potrzebnych do przetestowania drużyny.
Licytacja skończyła si˛e na wyniku „około
5 tysi˛ecy”. Tymczasem, aby skompletować skład złożony z 11 piłkarzy, trener
musi wybrać:
• bramkarza na 3 sposoby,
• czterech obrońców na 7 · 6 · 5 · 4,
czyli 840 sposobów (liczac
˛ np. od
pozycji lewego obrońcy),
CIEKAWA MATEMATYKA
CYAN BLACK
ML14 str. 18
• czterech rozgrywajacych
˛
na 840 sposobów (analogicznie jak w przypadku
obrońców),
• dwóch napastników na 5 · 4, a wi˛ec na
20 sposobów (liczac
˛ od lewej strony).
Ponieważ każdy wybór obsady jednej
pozycji może wystapić
˛ z każdym wyborem obsady innej pozycji, możliwych
różnych ustawień jedenastu piłkarzy na
boisku b˛edzie:
3 · 840 · 840 · 20 = 42 336 000.
Gdyby piłkarze grali codziennie jeden
mecz, to znalezienie optymalnego składu
zaj˛ełoby około 115 989 lat.
– No, nieźle... – podsumowali uczniowie.
Klakson
Kobiety
M˛eżczyźni
Zdało
870
96,67%
30
30%
Nie zdało
30
3,33%
70
70%
Ogółem
Zderzak
Klakson
Zdało
800
80%
900
90%
Nie zdało
200
20%
100
10%
Widzimy zatem, że zarówno dla kobiet,
jak i dla m˛eżczyzn oddzielnie firma Zderzak lepiej kształci kierowców. Jeśli jednak dokonamy analizy całości zdajacych
˛
bez podziału na płeć, firma Klakson jest
(o wiele) lepsza! Podany przykład ilustruje tzw. paradoks Simpsona.
Paradoks Simpsona
W pewnym mieście funkcjonuja˛ dwie
szkoły nauki jazdy: Zderzak i Klakson.
Pierwsza firma reklamuje si˛e informacja:
˛ „U nas wi˛ekszy niż u konkurencji
procent zdanych egzaminów – zarówno
wśród kobiet, jak i wśród m˛eżczyzn!”.
Druga firma ogłasza: „Z nami wi˛eksza
szansa na zdanie egzaminu!”. Ile firm
kłamie?
Pierwsza uwaga uczniów brzmiała:
– Tu już nie ma mocnych, jeśli jedna
mówi prawd˛e, to druga musi kłamać.
Ale przy tym jeden z uczniów zauważył, że to chyba troch˛e zależy od konkretnych danych. Rzeczywiście, obie firmy
moga˛ mówić prawd˛e. Rozważmy nast˛epujace
˛ dane z obydwu szkół, przyjmujac,
˛
że obie szkoły ukończyło po 1000 kursantów.
Zderzak
Kobiety
M˛eżczyźni
Zdało
590
98,33%
210
52,5%
Nie zdało
10
1,67%
190
47,5%
Na zakończenie zaj˛eć poprosiłam uczniów o podanie innego przykładu z życia,
w którym taki paradoks statystyczny
może mieć miejsce. Jednym z pomysłów
było ilościowe i procentowe przedstawienie wyników sprzedaży dwóch produktów w dwóch supermarketach.
Bibliografia
1. J. A. Paulos, Analfabetyzm matematyczny
i jego skutki, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 1999.
2. Ramka „Paradoks Simpsona”, „Focus”
nr 2/2003, s. 51.
CIEKAWA MATEMATYKA
CYAN BLACK
ML14 str. 19
19