Zadanie 1

opracował: Jacek Izdebski
http://panrysio.pl
Zadanie 1
Dwa nieskończenie długie prostoliniowe przewodniki, w których płyną prądy
o natężeniach odpowiednio 2 A i 3 A, ustawiono równolegle w odległości
50 cm od siebie. W jakiej odległości od przewodnika z większym prądem
znajduje się miejsce, w którym natężenie pola magnetycznego jest równe
zeru, jeżeli wiadomo, że prądy płyną w obydwu przewodnikach w przeciwne
strony?
Rozwiązanie
Zależność pola magnetycznego od odległości od nieskończenie długiego przewodnika wyraża się jako:
µ0 I
B=
2πr
Gdy prądy płyną w przeciwne strony wówczas pola magnetyczne przez nie
generowane mają szansę się znosić. Trzeba zatem znaleźć takie miejsce pomiędzy przewodami aby wartość pola B pochodząca od każdego z nich była
jednakowa.
µ0 I2
µ0 I1
=
2πr1
2πr2
oraz
d = r1 + r2
Przekształcając powyższe
I1
I2
=
r1
r2
r1 = d − r2
Podstawiając uzyskamy
I1
I2
=
d − r2
r2
następnie
d − r2
r2
=
I1
I2
(d − r2 ) I2 = r2 I1
dI2 − r2 I2 = r2 I1
r2 (I2 + I1 ) = dI2
r2 =
dI2
(I2 + I1 )
1
opracował: Jacek Izdebski
http://panrysio.pl
Po podstawieniu danych liczbowych i obliczeniu otrzymujemy
r2 = 0.3 m
Pola znoszą się wzdłuż prostej leżącej między przewodami 30 cm od przewodu
z większym prądem.
2
opracował: Jacek Izdebski
http://panrysio.pl
Zadanie 2
Cząstka o masie m i ładunku ujemnym −q rozpędzana jest różnicą potencjałów U , po czym wpada w jednorodne pole magnetyczne o indukcji B skierowanej prostopadle do prędkości cząstki. Narysuj okrąg zakreślany przez
cząstkę (na rysunku zaznacz zwrot wektora B i kierunek ruchu cząstki po
okręgu) i znajdź okres jego obiegu (tj. czas, jakiego potrzebuje cząstka, aby
zatoczyć jeden pełny okrąg).
Rozwiązanie
B
-q
Siłą dośrodkową w tym ruchu jest siła Lorentza, można to zapisać jako:
m
v2
= qvB
r
v
m = qB
r
mv
r=
qB
Pamiętamy o tym, że cząstka uzyskuje swoją energię kinetyczną dzięki napięciu U , co zapisujemy jako
mv 2
= qU
2
czyli
s
v=
3
2qU
m
opracował: Jacek Izdebski
http://panrysio.pl
podstawiając do wyrażenia na r
s
r=
2qU m
m qB
Daje to ostatecznie
s
2U m
qB 2
r=
Aby obliczyć okres obiegu warto zauważyć, że
2πr
=v
T
T =
2πr
v
podstawiając otrzymamy
s
2U m
T = 2π
qB 2
po przekształceniach daje to
T = 2π
4
s
m
B
m
2qU
opracował: Jacek Izdebski
http://panrysio.pl
Zadanie 3
Pętla kołowa o promieniu r = 50 cm, wykonana z drutu o średnicy d = 2 mm
i oporze właściwym (1/π) · 10−4 Ωm, znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym prostopadle do jej płaszczyzny. Jaki prąd indukuje
się w pętli, jeśli indukcja pola magnetycznego maleje jednostajnie o 6T w
ciągu każdych 2 sekund. Sporządź rysunek i zaznacz na nim wektor indukcji
oraz kierunek prądu indukowanego.
Rozwiązanie
B
I
Gdy strumień pola magnetycznego przez powierzchnię pętli maleje to indukuje się siła elektomotoryczna, która powoduje przepływ prądu. Zgodnie z
prawem Ohma możemy napisać
I=
E
R
gdzie
dΦB
dt
podstawiając powierzchnię pętli otrzymam
E =−
E = −πr2
dB
dt
tutaj nie muszę używać zapisu pochodnej ponieważ gdy B zależy od czasu
liniowo to wyjdzie na to samo gdy napiszę
E = −πr2
5
∆B
∆t
opracował: Jacek Izdebski
http://panrysio.pl
Opór pętli zapiszemy jako
l
s
2πr
R = ρ1 2
πd
4
R=ρ
8r
d2
Podstawiając do prawa Ohma E oraz R obliczamy
R=ρ
I=−
πr∆Bd2
8ρ∆t
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy:
I = 0.074 A
6
opracował: Jacek Izdebski
http://panrysio.pl
Zadanie 4
Prostoliniowy odcinek drutu o długości d umieszczono na poziomym stole
w jednorodnym polu magnetycznym o natężeniu H, skierowanym prostopadle do drutu i jednocześnie równolegle do płaszczyzny stołu. Jaki prąd należy
przepuścić przez drut, aby nie naciskał on na stół? Sporządź rysunek, na którym zaznaczone będzie natężenie pola magnetycznego, drut i kierunek prądu,
jaki należy przez niego przepuszczać.
Rozwiązanie
I
B
Siła elektrodynamiczna działająca na drut musi równoważyć się z siłą ciężkośi
zatem
mg = BId
gdzie B jest wektorem indukcji pola magnetycznego. Pomiędzy wektorem
indukcji pola magnetycznego a wektorem natężenia pola magnetycznego występuje związek:
B
H=
µ0
czyli
mg = Hµ0 Id
Jak łatwo obliczyć:
I=
mg
Hµ0 d
7
opracował: Jacek Izdebski
http://panrysio.pl
Zadanie 5
Przez pewną cewkę o oporze omowym 30Ω, podłączoną do źródła sinusoidalnej SEM (siły elektromotorycznej) o częstotliwości 10/π Hz i wartości
szczytowej napięcia 100 V, przepływa prąd o wartości szczytowej 2 A. Jaka
siła elektromotoryczna indukowałaby się w tej cewce, gdyby przepuszczano przez nią prąd o natężeniu narastającym równomiernie w ciągu każdej
sekundy o 0.5 A?
Rozwiązanie
dI
dt
Szybkość wzrostu prądu jest nam znana, ale nie ma podanej indukcyjności
cewki. Można ją wyznaczyć wykorzystując prawo Ohma dla prądów zmiennych. Zawada opisywanego obwodu to
√
Z = R2 + ω 2 L2
E = −L
zatem z prawa Ohma
Z=
√
U
I
R 2 + ω 2 L2 =
U
I
przekształcając
R2 + ω 2 L2 =
U2
I2
U2
− R2
I2
s
1 U2
− R2
L=
ω I2
ω 2 L2 =
Ostatecznie otrzymamy
1
E =−
ω
s
U2
dI
2
−
R
I2
dt
Po podstawieniu danych otrzymamy1
E = −1 V
W cewce będzie się indukować siła elektromotoryczna 1 V.
Trzeba zwrócić uwagę, że w zadaniu jest podana częstotliwość ν = T1 natomiast we
wzorze występuje częstość kołowa ω = 2π
T . Aby uzyskać częstość kołową trzeba zatem
przemnożyć częstotliwość przez 2π.
1
8