STATYSTYCZNY OPIS TURBULENCJI GEOFIZYCZNEJ

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
ISSN 1896-771X
39, s. 103-110, Gliwice 2010
STATYSTYCZNY OPIS
TURBULENCJI GEOFIZYCZNEJ
Andrzej ICHA, Instytut Matematyki, Akademia Pomorska w Słupsku
e-mail: [email protected]
Streszczenie. W pracy przedstawiono statystyczny opis turbulencji geofizycznej
przy wykorzystaniu metod teorii pola. Podano jakościowe określenie tej klasy ruchów płynów i zaprezentowano równania przenoszenia dla termohydrodynamicznych charakterystyk takich przepływów. Na przykładzie dwuwymiarowych przepływów bezwładnościowych otrzymano stosowne równania funkcjonalne dla pola
prędkości cieczy. Wykorzystując teoriopolowy formalizm „podwojenia pól” otrzymano ogólne rozwiązanie rozpatrywanego zagadnienia w postaci pewnej podwójnej
całki kontynualnej.
1. WSTĘP
Przedmiotem zainteresowania hydrodynamiki geofizycznej są występujące w naturze przepływy wirowych, baroklinowych i stratyfikowanych cieczy i gazów. Przy matematycznym opisie takich przepływow koniecznie jest uwzględnienie efektów rotacji i stratyfikacji. W układzie
odniesienia związanym z obracającą się Ziemią z prędkością kątową Ω na element płynu o gęstości ρ poruszający się z prędkością u działa siła Coriolisa 2ρΩ × u, odgrywająca zasadniczą
rolę w opisie m.in. passatów, cyklonów, przepływów geostroficznych itp. Stratyfikacja z kolei
związana jest z wszechobecnością pola grawitacyjnego i ściśliwością płynów. Konsekwencją
występowania stratyfikacji w ośrodku (oceanie) jest zmiana gęstości cieczy wraz z głębokością
i w rezultacie pojawienie się siły wyporu. Efekty stratyfikacji komplikuje dodatkowo baroklinowość przepływów geofizycznych, tzn. zależność gęstości cieczy (wody morskiej) od ciśnienia p,
temperatury T i koncentracji s aktywnych termodynamicznie domieszek, ρ = ρ(p, T, s). [1]
Szczególne bogactwo dynamiki obserwujemy w oceanie, gdzie stale współistnieją ze sobą ruchy drobno, średnio i wielkoskalowe poprzez oddziaływanie prądów morskich, falowania
(powierzchniowego i wewnętrznego), wirów synoptycznych, frontów oceanicznych, konwekcji
termohalinowej itp., na tle permanentnego, turbulentnego ruchu wód. Z uwagi na środowiskową
specyfikę takiej turbulencji określamy ją jako turbulencję geofizyczną i ujmujemy w następującej, jakościowej definicji:
Definicja 1. Turbulencją geofizyczną nazywamy turbulencję występującą w przepływach obserwowanych w naturze: w atmosferze ziemskiej, w oceanie, morzach, rzekach i jeziorach.
104
A. Icha
Obowiązujący paradygmat w badaniach nad turbulencją sytuuje to zagadnienie w obrębie
probabilistycznej analizy funkcjonalnej (teorii rozkładów probabilistycznych na przestrzeniach
funkcyjnych). Oznacza to, że w statystycznej hydromechanice chwilowe charakterystyki przepływu (pola prędkości, ciśnienia, temperatury, koncentracji domieszki itp.) są traktowane jako
pola losowe w sensie przyjętym w teorii prawdopodobieństwa ([2], [3]).
W konsekwencji, matematyczny opis turbulencji geofizycznej wymaga skonstruowania statystycznej mechaniki w przestrzeniach funkcyjnych, w której rolę równań kanonicznych odgrywałyby równania Naviera-Stokesa w przybliżeniu Boussinesq’a. Jednym z podstawowych
narzędzi służących realizacji tego zamierzenia jest funkcjonał charakterystyczny miary probabilistycznej skoncentrowanej na zbiorze rozwiązań równań geofizycznej hydrodynamiki. Celem
niniejszej pracy jest zaprezentowanie stosownego formalizmu funkcjonalnego do opisu quasi-dwuwymiarowych przepływów turbulentnych w celu uzyskania odpowiednich równań funkcjonalno-różniczkowych. Wykorzystując metodę „podwojenia pól” otrzymano formalne rozwiązanie rozpatrywanego zagadnienia w postaci pewnej podwójnej całki kontynualnej.
2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
W celu uzyskania równań hydrodynamiki geofizycznej, rozpatrywany ośrodek (wodę morską, atmosferę) traktuje się jako mieszaninę dwuskładnikową (woda morska = czysta woda +
+ sól, atmosfera ziemska = gaz + para wodna), do której stosuje się zasady zachowania obowiązujące w mechanice płynów [5]. W opisie Eulera zagadnienie graniczne dla równań Naviera-Stokesa opisujących przepływ ściśliwej, lepkiej cieczy o współczynniku lepkości ν w obszarze
XT = X × [0, T ], (X ⊂ Rn lub X = Rn , n = 2, 3) i znajdującej się w znanym, zadanym polu
sił zewnętrznych F (x), polega na znalezieniu w tym obszarze pola [u(x, t), p(x, t)] będącego
rozwiązaniem następującego problemu granicznego [1]:
dρ
+ ρD = 0; D = div u,
dt
du
1
+ 2Ω × u = − ∇p + νΔu + F ,
dt
ρ
(1)
gdzie wprowadziliśmy oznaczenie d/dt = ∂/∂t + u · ∇.
Spośród oddziaływań zewnętrznych F(x) ważną rolę w zagadnieniach geofizycznych odgrywa siła ciężkości, scharakteryzowana sumarycznym, tzn. uwzględniającym efekt przyspieszenia
dośrodkowego, przyspieszeniem grawitacyjnym g. Centralny charakter tej siły oraz kulistość
Ziemi sugerują rozpatrywanie układu równań (1) w sferycznym układzie współrzędnych (λ, ϕ, z).
W problemach dynamicznych, w których sferyczność kuli ziemskiej nie odgrywa znaczącej roli
wygodnie jest wprowadzić, w otoczeniu wybranego punktu, lokalny, kartezjański układ współrzędnych (zob. np. [4]).
W takim układzie odniesienia wektor Ω ma współrzędne (0, Ω cos ϕ, Ω sin ϕ). W rezultacie składowe przyspieszenia Coriolisa 2Ω × u wynoszą (−2Ωv sin ϕ + 2Ωw cos φ, 2Ωu sin φ,
−2Ωu cos ϕ). W celu uproszczenia równań stosuje się również tzw. przybliżenie tradycyjne,
zgodnie z którym przy rozpatrywaniu quasi-dwuwymiarowych przepływów w 0 oraz składowa pionowa przyspieszenia Coriolisa az = −2Ωu cos ϕ 0. Wprowadzając oznaczenie f =
= 2Ω sin ϕ (parametr Coriolisa), otrzymujemy ac = (− f v, f u) [6].
Statystyczny opis turbulencji geofizycznej
105
W ogólnym przypadku równanie stanu – wiążące gęstość cieczy z innymi parametrami termodynamicznymi – nie jest znane. Rozważymy często wykorzystywaną w problemach geofizycznych quasistatyczną stratyfikację ośrodka, zadaną rozkładami parametrów termodynamicznych w postaci T = T 0 (z) i s = s0 (z). Stąd funkcje p = p0 (z) i ρ = ρ0 (z) określone są na podstawie
(empirycznego) równania stanu ρ0 = ρ(T 0 , p0 , s0 ) i równania hydrostatyki ∇p0 = ρ0 g.
Rozważmy odchylenia pól termodynamicznych od ich rozkładów równowagowych, ρ =
ρ − ρ0 , p = p − p0 (ρ ρ0 , p p0 ). Wtedy:
−
∇p ρ
∇p
+g−
− g.
ρ
ρ0
ρ0
(2)
Uwzględnienie powyższej zależności w układzie równań (1) wraz z warunkiem solenoidalności pola prędkości (D = 0) nosi nazwę przybliżenia Boussinesq’a. [1] W dalszym ciągu
rozważymy klasę dwuwymiarowych nielepkich przepływów bezwładnościowych, dla których
można założyć, że wyrażenie (2) jest równe zeru (stan quasi-równowagi). Gęstości pozostałych
(regularnych) sił zewnętrznych oznaczymy przez η̂.
W rezultacie układ równań (1) przyjmie postać:
∂u
∂u
∂u
+ u + v − f v = η̂x ,
∂t
∂x
∂y
∂v
∂v
∂v
+ u + v + f u = η̂y .
∂t
∂x
∂y
(3)
3. FORMALIM FUNKCJONALNY
3.1. Funkcjonały charakterystyczne
Probabilistyczne podejście do problemu turbulencji oznacza, że statystyczny opis ruchu turbulentnego (przy ustalonej geometrii jego granic), sprowadza się do określenia miary probabilistycznej na przestrzeni fazowej przepływu, tzn. przestrzeni, której elementami są indywidualne
realizacje charakteryzujących ten przepływ losowych pól termohydrodynamicznych. Poglądowo, każda konkretna realizacja takiego pola jest rozpatrywana jako „przedstawiciel” wybrany
ze „statystycznego zespołu wszystkich możliwych pól” scharakteryzowanego miarą probabilistyczną zadaną na zbiorze funkcji zależnych od współrzędnych przestrzennych i czasu, spełniających określone zależności kinematyczne i dynamiczne, wynikające z równań geofizycznej
hydrodynamiki.
Rozkłady prawdopodobieństwa określone na przestrzeni fazowej przepływu turbulentnego
są jednoznacznie wyznaczone przez swoje funkcjonały charakterystyczne. Dlatego zagadnienienie turbulencji jest formułowane w języku funkcjonałów, których znalezienie stanowiłoby
rozwiązanie problemu turbulencji.
Funkcjonalne ujęcie zagadnienia turbulencji zapoczątkowała praca Hopfa [7], w której pokazano, że przestrzenny funkcjonał charakterystyczny pola prędkości cieczy (opisujący statystyczne własności przepływu w ustalonej chwili czasu), spełnia pewne liniowe, zamknięte równanie
funkcjonalno-różniczkowe o pochodnych wariacyjnych.
Sformułowanie problemu turbulencji w języku funkcjonałów charakterystycznych pól hydrodynamicznych w naturalny sposób sytuuje to zagadnienie w ramach teorii pola. Jak wiadomo,
funkcjonał charakterystyczny nie jest obiektem specyficznym tylko dla hydrodynamiki. W fizyce
106
A. Icha
statystycznej odpowiada mu tzw. funkcjonał tworzący mający sens sumy statystycznej w polu zewnętrznym, a w teorii kwantowej odpowiedni funkcjonał pokrywa się z kwantowomechaniczną
amplitudą przejścia próżnia-próżnia w obecności źródeł zewnętrznych. Te analogie pozwalają na
szerokie wykorzystanie do opisu turbulencji aparatu matematycznego rozwiniętego w klasycznej
i kwantowej teorii pola oraz w statystyce kwantowej [8], [9].
Definicja 2. Przestrzenno-czasowym funkcjonałem charakterystycznym losowego pola Υ nazywamy wyrażenie
ˆ
Φ[η] = exp(iηΥ ) =
exp(iηΥ ) dμ,
(4)
gdzie η jest dowolną funkcją o nośniku zwartym w obszarze określoności losowego pola Υ .
Znajomość funkcjonału charakterystycznego pola η pozwala uzyskać, drogą różniczkowania funkcjonalnego, momenty statystyczne pola dowolnych rzędów. Na przykład, moment statystyczny N-tego rzędu wyraża się wzorem
N
δ
Φ[η]
Υ (1) . . . Υ (N) = (−i)N
,
δη(1) . . . δη(N) η=0
gdzie dla zwięzłości zapisu wprowadziliśmy oznaczenia 1 = (x1 , t1 ), . . . , N = (xN , tN ).
Różniczkując funkcjonalnie logarytm funkcjonału Φ, tzn. wielkość Φ [η] = ln Φ[η], otrzymamy inne ważne charakterystyki statystyczne pola, zwane półniezmiennikami
δ N ln Φ[η] N
Υ (1) . . . Υ (N)c = (−i)
.
δη(1) . . . δη(N) η=0
Nietrudno zauważyć, że wielkości te są ze sobą powiązane. Na przykład, dla momentów
statystycznych drugiego rzędu, mamy zależność
B (x1 , t1 ), (x2 , t2 ) = B(12) = Υ (1)Υ (2)c = Υ (1)Υ (2) − Υ (1)Υ (2).
(5)
Bardzo ważną rolę w zastosowaniach odgrywają gaussowskie pola losowe. Uwzględniając fakt, że dla zmiennych losowych o rozkładzie normalnym wszystkie półniezmienniki rzędu
N 0 są tożsamościowo równe zeru, możemy napisać wyrażenie dla funkcjonału charakterystycznego gaussowskiego pola losowego w jawnej postaci
1
0
Φ [η] = exp − η(1)B(12)η(2) ,
(6)
2
gdzie uwzględniliśmy wyrażenie (5) i zastosowaliśmy uogólnioną umowę sumacyjną Einsteina [10].
Wykorzystując reguły różniczkowania funkcjonałów znajdziemy następujące równania funkcjonalno-różniczkowe dla funkcjonału (4) przy założeniu, że pole prędkości cieczy spełnia układ
równań (3)
∂ δΦ
δ ∂ δΦ
δ ∂ δΦ
δΦ
−i
−i
−f
− η̂xΦ = 0,
∂t δη1
δη1 ∂x δη1
δη2 ∂y δη1
δη2
(7)
δ ∂ δΦ
δ ∂ δΦ
δΦ
∂ δΦ
−i
−i
+f
− η̂yΦ = 0,
∂t δη2
δη1 ∂x δη2
δη2 ∂y δη2
δη1
Statystyczny opis turbulencji geofizycznej
107
3.2. Formalizm „podwojenia pól”
W dalszym ciągu założymy, że przepływ cieczy opisywamy układem równań (3), znajduje
się również pod wpływem losowych sił zewnętrznych o gęstości ζ. Wprowadzimy oznaczenie
φ = (u, v) oraz zapiszemy równania (3) w postaci
L[φ] + η̂ + ζ = 0,
(8)
gdzie L jest operatorem (nieliniowym) określonym przez lewą stronę układu (3).
Pełny statystyczny opis losowego pola φ otrzymamy określając jego funkcjonał charakterystyczny (4), przy czym indywidualne realizacje tego pola spełniają równanie (8). Zauważmy, że
funkcjonał Φ zależy również od zewnętrznego pola η̂, tak więc Φ = Φ[η, η̂]. Znaczenie fizyczne posiadają pochodne funkcjonalne względem tego pola. Rozważając na przykład pochodną
mieszaną postaci
2
δΦ(2)
−1 δ Φ[η, η̂] = G(21),
i
=
δη̂(1)δη(2) η=0
δη̂(1)
otrzymujemy funkcję Greena G(21) układu opisującą uśrednioną liniową odpowiedź pola φ(2)
na jednostkowe oddziaływanie zewnętrzne η̂(1) [10].
Wprowadzając formalnie funkcjonał gęstości prawdopodobieństwa P[φ, η̂] realizacji stanu φ, przy występowaniu pola zewnętrznego η̂, możemy wyrażenie dla funkcjonału charakterystycznego (4) zapisać następująco
ˆ
Φ[η, η̂] = exp(iηφ) = D[φ]P[φ, η̂] exp(iηφ),
(9)
gdzie przez D[φ], oznaczyliśmy element objętości (miarę) w nieskończenie wymiarowej przestrzeni funkcyjnej.
Funkcjonał P[φ, η] można wyrazić poprzez średnią wartość δ-funkcjonału
P[φ, η̂] = δ{φ − φ̃[η̂, ζ]} ,
(10)
gdzie φ̃[η̂, ζ] jest realizacją pola φ będącą rozwiązaniem równania (8) a uśrednianie jest wykonywane po rozkładzie prawdopodobieństwa losowej siły zewnętrznej.
Uogólniając znaną własność dystrybucji δ Diraca [11]
δ(x − xn )
, f (xn ) = 0,
δ f (x) =
| f (xn )|
n
uzyskujemy
δL[φ] δ{L[φ] + η̂ + ζ}.
δ{φ − φ̃[η̂, ζ]} = (11)
δφ gdzie |δL[φ]/δφ| jest wyznacznikiem funkcyjnym. Przedstawiając δ-funkcjonał w postaci funkcyjnej całki Fouriera, otrzymamy
ˆ
δ{L[φ] + η̂ + ζ} = D[φ̂] exp i φ̂{L[φ] + η̂ + ζ} .
(12)
Wykorzystując zależności (11) i (12) w wyrażeniu (10), uzyskujemy
ˆ
δL[φ] exp i φ̂{L[φ] + η̂} exp i φ̂ζ.
P[φ, η] = D[φ̂]
δφ
(13)
108
A. Icha
W powyższym wyrażeniu, średnia wartość funkcji wykładniczej exp i φ̂ζ jest funkcjonałem
charakterystycznym losowego pola sił zewnętrznych, o którym założymy, że charakteryzuje się
rozkładem normalnym. Zatem pole sił zewnętrznych jest opisywane wzorem (6). Uwzględniając (13) w wyrażeniu (9) uzyskujemy przedstawienie funkcjonału charakterystycznego Φ[η, η̂]
w postaci podwójnej całki kontynualnej (Feynmana)
¨
δL[φ] ,
Φ[η, η̂] =
D[φ]D[φ̂] exp iS[φ, φ̂] + iηφ + i η̂φ̂ (14)
δφ gdzie
i
(15)
S[φ, φ̂] = φ̂L[φ] + φ̂(1)B(12)φ̂(2).
2
Bez zmniejszenia ogólności rozważań można przyjąć, że wyznacznik funkcyjny |δL[φ]/δφ|
jest równy jedności (zob. dyskusję tego problemu np. w pracy [12]). Rezultat (14) - (15) interpretujemy następująco.
Funkcjonał charakterystyczny (9), zapisany w postaci (14) pokrywa się z funkcjonałem tworzącym teorii dwóch pól (φ, φ̂), określonej działaniem S[φ, φ̂] i tym samym statystyczny problem
dla równań geofizycznej hydrodynamiki, przy występowaniu losowych sił zewnętrznych o rozkładzie normalnym, jest równoważny zagadnieniu pewnej teorii pola.
Sformułowanie statystycznej dynamiki klasycznej zmiennej losowej φ opisywanej nieliniowymi równaniami poprzez wprowadzenie drugiego, pomocniczego pola φ̂ nie komutującego
z nim, stanowi istotę tzw. formalizmu MSR (Martina-Sigga-Rose) [13]. Wykorzystując względną łatwość w operowaniu obiektami typu całki kontynualnej, a w szczególności, własność niezmienniczości miary całkowej względem grupy translacji (zamiana zmiennej całkowania typu
przesunięcia funkcyjnego φ̂ → φ̂ + ψ̂ [11]), można znacznie prościej otrzymać równania funkcjonalne (uogólnione równania Hopfa), a więc np. układ równań (7).
Rzeczywiście, różniczkując funkcjonalnie wyrażenie (14) względem zmiennej ψ̂ otrzymujemy [10]
¨
δΦ[η, η̂]
δS[φ, φ̂]
=i
D[φ]D[φ̂]
+ η̂ exp iS[φ, φ̂] + iηφ + i η̂φ̂ =
δψ̂
δφ̂
¨
δS[φ, φ̂]
D[φ]D[φ̂] exp iS[φ, φ̂] + iηφ + i η̂φ̂ =
+ η̂ φ=δ/iδη
=i
(16)
δφ̂
φ̂=δ/iδη̂
δS[φ, φ̂]
=i
+ η̂ φ=δ/iδη Φ[η, η̂] = 0.
φ̂=δ/iδη̂
δφ̂
Dla równań (7) działanie S przyjmuje postać:
ˆ ∂u
∂v 1 ∂u2 1 2 ∂v 1 2 ∂u 1 ∂v2 1
2
2
S(u, v) =
v +u + v
+ u
+ v
+ u
+ f (u − v ) dxdydt.
∂t
∂t 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 2
Wyliczymy pochodne funkcjonalne δS/δu, δS/δv. Otrzymujemy:
∂u
∂u
δS ∂u
=
+u +v − fv
δv
∂t
∂x
∂y
δS ∂v
∂v
∂v
=
+ u + v + f u,
δu ∂t
∂x
∂y
Statystyczny opis turbulencji geofizycznej
109
czyli lewą stronę układu (3). Wyliczając te pochodne w punktach v = δ/iδη2 i u = δ/iδη1 uzyskujemy, zgodnie z zależnością (16), układ równań funkcjonalnych (7).
5. UWAGI KOŃCOWE
Naszkicowany w pracy formalizm zastosowany do pewnego problemu dynamicznego z zakresu geofizycznej hydrodynamiki, otwiera możliwości wykorzystania w zagadnieniach turbulencji m.in. techniki diagramów i metody grupy renormalizacji. [12] Reprezentacja funkcjonału
charakterystycznego (9) w postaci (14) stanowi podstawę konstrukcji szeregu teorii zaburzeń
dla różnych wielkości fizycznych (momentów korelacyjnych, półniezmienników, funkcji Greena
itp.), a procedury renormalizacji umożliwiają jego przebudowę i zsumowanie pewnego nieskończonego podciągu tego szeregu, co pozwala głębiej zrozumieć zagadnienie silnych nieliniowych
współoddziaływań w wielomodowych układach dynamicznych [10].
Zauważmy jeszcze, że w podejściu MSR fizyczną interpretację nadaje się polom φ oraz η̂,
podczas gdy obiekty φ̂ i η mają charakter pomocniczy. W zasadzie wszystkie rezultaty otrzymane
w ramach konwencjonalnej teorii turbulencji mozna uzyskać metodami teoriopolowymi. Można
również otrzymać więcej. Np. w pracy [14] uzyskano następujące wyrażenie dla tensora lepkości
turbulentnej w przedziale bezwładnościowym (w reprezentacji falowej):
1/3
3
d−1
1/3 −4/3
νi j (k) = cδi j B0 k
; c=
,
8(4π)d/2 Γ(d/2) d + 2
gdzie d = 2, 3; współczynnik B0 zależy od wyboru zależności dla korelatora losowych sił zewnętrznych, a Γ(·) jest funkcją gamma Eulera. W szczególności, dla d = 3 otrzymujemy wartość c = 0, 156. W ramach półempirycznych modeli turbulencji, najczęściej wykorzystywanych
przy analizie przepływów geofizycznych i przepływów o znaczeniu technicznym, współczynniki
liczbowe muszą być określane drogą eksperymentów laboratoryjnych i (lub) symulacji komputerowych.
Podejście teoriopolowe wypracowane poza tradycyjnym obszarem zastosowań hydrodynamiki nie jest ujęciem alternatywnym w badaniach nad turbulencją. Wskazuje raczej, że zagadnienie turbulencji już dawno wyszło poza granice mechaniki płynów i jej zastosowań. Te interakcje
są obopólne. Fundamentalne dla fizyki statystycznej, fizyki wysokich energii, teorii pola itd.
koncepcje: samopodobieństwa, skalowania, uniwersalności; obiekty fraktalne, multifraktalne,
dziwne (chaotyczne) atraktory itp. najwcześniej pojawiły się w nauce w kontekscie badań nad
przepływami turbulentnymi.
STATISTICAL DESCRIPTION
OF GEOPHYSICAL TURBULENCE
Summary. In this paper the statistical description of geophysical turbulence based
on field theory methods is presented. The qualitative definition of this class of fluid
flows is given and the transport equations for thermohydrodynamic characteristics
of such flows are received. On example of two-dimensional inertial flows the appropriate functional equations for fluid velocity fields are obtained. Using the field-theoretic formalism of Martin, Sigga, Rose the general solution of analysed problem is
obtained in path-integral representation.
110
A. Icha
LITERATURA
i gidrodinamiki. Le[1] Monin A. S.: Teoretiqeskie osnovy geofiziqesko
ningrad: Gidrometeoizdat, 1983.
[2] Monin A. S., Yaglom A. M.: Statistical fluid mechanics. Vol. II. Cambridge Massachussets:
MIT Press, 1975.
[3] Icha A.: Problemy teorii turbulencji. Rozprawy i Monografie, 10. Sopot: IO PAN, 1999.
[4] Cushman-Roisin B., Beckers J.-M.: Introduction to geophysical fluid dynamics. Physical
and numerical aspects. New York: Academic Press, 2010.
[5] Landau L. D., Lifszyc I. M.: Hydrodynamika. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1994 (tłum. z jęz. ros.).
[6] Kamenkovich V. M.: Fundamentals of ocean dynamics. Amsterdam: Elsevier Sci. Publ.
Comp. 1977.
[7] Hopf E.: Statistical hydromechanics and functional calculus. J. Rat. Mech. Anal., 1, 1952,
87-123.
[8] Gledzer E. B., Monin A. S.: Metod diagramm v teorii vozmuweni
i. Usp.
Mat. Nauk, 29, 1974, 111-159.
[9] L’vov V. S., Procaccia I.: Exact resummation in the theory of hydrodynamic turbulence: 0.
Line resummed diagrammatic perturbation approach. [In:] David F., Ginsparg D. P. (eds.).
Lecture Notes of the Les Houches 1994 Summer School „Fluctuating Geometries in Statistical Mechanics and Field Theory”. Amsterdam: Elsevier, 1027-1075, 1995.
[10] Teodoroviq E. V.: Primenenie metodov teorii pola i renormgruppy dla
opisani razvito
i turbulentnosti. Usp. Meh., 13, 1990, 81-121.
[11] Rzewuski J.: Field theory. Vol. 2. London: Iliffe Books Ltd., Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.
[12] Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Vasiliev A. N.: The field theoretic renormalization group
in fully developed turbulence. Amsterdam: Gordon and Breach Sci. Publ., 1999.
[13] Martin P. C., Sigga E. D., Rose H. A.: Statistical dynamics of classical systems. Phys.
Rev. A, 8, 1973, 423-437.
[14] Teodoroviq E. V.: Vyqislenie turbulentno
i vzkosti na osnove metoda
renormgruppy. DAN SSSR, 299, 4, 1988, 836-839.