rozwiązania

ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI
Wydział IŚ, kierunek: IŚ
Lista VIII
Zasada zachowania pędu
ROZWIĄZANIA ZADAŃ
1. Rozważamy tylko jedną składową przestrzenną. Zapisując zasadę zachowania pędu (m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 )
oraz zasadę zachowania energii (m1 v12 /2 + m2 v22 /2 = m1 u21 /2m2 u22 /2), gdzie: v1 — prędkość pierwszego ciała przed
zderzeniem, v2 — prędkość drugiego ciała przed zderzeniem, u1 — prędkość pierwszego ciała po zderzeniu, u2 —
prędkość drugiego ciała po zderzeniu; otrzymujemy układ równań, którego rozwiązaniem są u1 = (2m2 v2 + m1 v1 −
m2 v1 )/(m1 + m2 ) ≈ −13,08 m/s, u2 = (2m1 v1 + m2 v2 − m1 v2 )/(m1 + m2 ) ≈ 8,92 m/s.
2. Zderzenie jest idealnie niesprężyste, więc ciała po zderzeniu poruszają się razem. Zasada zachowania pędu w tym
wypadku przybierze postać m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )u, gdzie: v1 — prędkość pierwszego ciała przed zderzeniem,
v2 — prędkość drugiego ciała przed zderzeniem, u — prędkość obu ciał po zderzeniu. u = (m1 v1 + m2 v2 )/(m1 + m2 ) ≈
0,46 m/s. Energia kinetyczna przed zderzeniem ma wartość Ek1 +Ek2 = m1 v12 /2+m2 v22 /2 = 37,3 J. Energia kinetyczna
po zderzeniu Ek = (m1 + m2 )u2 /2 ≈ 0,07 J. Stracone zostało około 99,8% energii.
4
0
3. (a) Z zasady zachowania pędu mv0 = (M + m)v1 , skąd v1 = Mmv
+m = 3 m/s. (b) Siła tarcia F = µmg ≈ 240 N;
taka sama siła (przeciwnie skierowana) działa na wózek. Czas t1 działania siły tarcia wyznaczamy (w nieruchomym
układzie odniesienia) z zależności na prędkość człowieka vc (t1 ) = v0 + ac t1 = v1 , gdzie ac = −F/m lub, prościej,
v0
z zależności na prędkość wózka vw (t1 ) = aw t1 = v1 , gdzie aw = F/M . Stąd t1 = (MM
+m)µg ≈ 0,7 s. (c) Zmiana pędu
1
c
2
2
∆pw = −∆pc = F t1 = MmM
+m v0 = 160 kg m/s. (d) Zmiana energii kinetycznej człowieka ∆Ek = 2 m(v1 − v0 ) =
(2m+M )mM v 2
− 2(M +m)2 0 ≈ −430 J. Zmiana energii kinetycznej wózka ∆Ekw = 12 M v12 =
∆Ekc + ∆Ekc = W (praca siły tarcia).
d
(1)
m e
CC u−v
-v
m
@
b
@
C
−v C
m
d
(2)
M
CC
r
m
r
m
m
CC b
m
Zadanie 3
Zadanie 6
m2 M v02
2(M +m)2
≈ 110 J. Można sprawdzić, że
mt
y
6
(1)
M
0
y
h
6d
-
0
6
L
?- x
(2)
M
mt
-
x
Zadanie 8
4. Zapisując zasadę zachowania pędu dla układu mamy m~v = m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 . Układ początkowo spoczywał,
a ~v1 oraz ~v2 są dane. Zatem (0, 0, 0) = m1 (v1 , 0, 0) + m2 (0, v2 , 0) + m3 (v3x , v3y , v3z ). Dla każdej składowej mamy
niezależne równania, które dają następujące wartości składowych wektora ~v3 : v3x = −v1 m1 /m3 ≈ −8,66 · 106 m/s,
v3y = −v2 m2 /m3 ≈ −5,71 · 106 m/s, v3z = 0 m/s. Energia kinetyczna wynosi Ek = m1 v12 + m2 v22 + m3 v32 = m1 v12 +
2
2
m2 v22 + m3 (v3x
+ v3y
) ≈ 2.375 · 10−12 J ≈ 1,482 · 107 eV.
5. Zakładając, że samochód traci cały pęd w zderzeniu, czyli ∆p = p to średnia siła hF i = ∆p/∆t = mv/∆t ≈ 67 kN.
6. W układzie odniesienia związanym z brzegiem prędkość żeglarza wynosi u − v, a prędkość tratwy −v. Z zasady
zachowania pędu 0 = mb (u − v) − mv mamy v = mb u/(mb + m) = 0,1 m/s i u − v = 1 − 0,1 = 0,9 [m/s]. Odległość,
jaką przebędzie żeglarz w układzie spoczywającym, jest równa lb = (u − v)t, gdzie t = l/u = 5 s i lb = 4,5 m.
Przesunięcie tratwy wynosi vt = l − lb = 0,5 m.
7. Przy zaniedbaniu ruchu obrotowego kul mamy energię wprowadzoną do układu równą energii kinetycznej pierwszej kuli
E0 = mV 2 /2. W pewnej chwili wszystkie szesnaście kul posiada tą samą wartość prędkości v. Energia zgromadzona
wtedy w układzie wynosi E1 = 16(mv 2 /2). Przez przyrównanie E1 = E0 mamy mV 2 /2 = 16mv 2 /2 ⇒ V 2 = 16v 2 ⇒
(v/V )2 = 1/16 ⇒ v/V = 1/4.
8. W kierunku OX nie działają żadne siły zewnętrzne, więc współrzędna x środka masy nie ulega zmianie. Jej wartość
przed rozpoczęciem ruchu wynosi xc = ( 23 M L+mL)/(m+M ), a po przesunięciu mas xc = [M ( 32 L+d)+md]/(m+M ),
gdzie wielkość 23 L jest początkową współrzędną x środka masy trójkąta prostokątnego. Z porównania 23 M L + mL =
mL
= 1,2 m.
M ( 23 L + d) + md, otrzymamy przemieszczenie bloku d = m+M
9. Ponieważ zakładamy, że woda się nie odbija od demonstranta zatem ∆p = p. Średnia siła hF i = ∆p/∆t = mv/∆t =
V %v/∆t = 150 N, gdzie V to objętość wody, a % jej gęstość.
10. Z zasady zachowania pędu możemy wyznaczyć prędkość V jaką będzie posiadał klocek po przejściu przez niego
pocisku. mv1 = mv2 + M V ⇒ V = m(v1 − v2 )/M . Wykorzystując zasadę zachowania energii mechanicznej możemy
przyrównać energię kinetyczną klocka M V 2 /2 do energii potencjalnej w najwyższym położeniu M gh. Zatem M gh =
M V 2 /2 ⇒ h = V 2 /(2g) = m2 (v1 − v2 )2 /(2gM 2 ) = 72 mm.
11. Odległość między atomem
tlenu i każdym z atomów wodoru d = 0,1 nm = 10−10 m. Współrzędna x środka ma2mH d cos 53◦ +mO ·0
≈ 0,22nm·u·0,60
= 0,0067 nm, gdzie 1 u — jednostka masy atomowej. Druga współrzędna
sy xc =
2mH +mO
u+16 u
mH y1 −mH y1 +mO ·0
yc =
=
0
(co
wynika
również
z symetrii cząsteczki).
2mH +mO
t
6 1
d 1H
16
}
8 O 53◦
w ◦ ?
S53 6 x
S= 1
d S 1H
St
y
Zadanie 11
~v
6
A
m
q
−dm q q
~v +~
u
?
Zadanie 12
12. Siła ciągu rakiety F = −u dm/dt = u% = 0,05 · 1600 = 80 [N]; % = −dm/dt to tzw. wydatek masy, czyli tempo
wyrzucania spalin. Na rakietę działa też siła ciężkości −mg, więc początkowe przyspieszenie a0 = (F − m0 g)/m0 =
F/m0 − g ≈ 30 m/s2 . Jeżeli pominiemy siły zewnętrzne (ciężkości i oporu powietrza), to z zasady zachowania pędu
mamy d(mv) − (v − u)dm = 0, skąd m dv = −u dm = u% dt. Po podstawieniu m = m0 − %t otrzymujemy dv =
u%/(m0 − %t) dt, a po scałkowaniu v(t) = −u ln(1 − %t/m0 ). Prędkość maksymalną rakieta uzyska po spaleniu całego
paliwa, tj. dla %t = 1,8 kg (t = 36 s). Wówczas v = −u ln(1 − 0,9) ≈ 3700 m/s. Gdyby uwzględnić siłę ciężkości,
otrzymalibyśmy wynik v(t) = −u ln(1 − %t/m0 ) − gt.
13. (A) M = 1200 kg masa rakiety, m1 = 700 kg masa pierwszego stopnia, m2 = M − m1 = 500 kg masa drugiego stopnia;
v = 200 m/s prędkość rakiety przed rozdzieleniem, v1 = 150 m/s prędkość pierwszego stopnia po rozdzieleniu, v2 = ?
prędkość drugiego stopnia po rozdzieleniu. Z zasady zachowania pędu M v = m1 v1 + m2 v2 ⇒ v2 = (M v − m1 v1 )/m2 =
270 m/s. (B) m = 400 g masa wyrzuconego paliwa M = 1600 g masa rakiety, h = 1000 m wysokość. Zasada zachowania
pędu daje 0 = M v + mu,
v = prędkość
√rakiety. Zasada zachowania energii daje
√ gdzie u prędkość wyrzuconego paliwa, √
M gh = M v 2 /2 ⇒ v = 2gh. Zatem u = −(M/m)v = −(M/m) 2gh = 400 2 ≈ 566 [m/s].
14. Zapisując zasadę zachowania momentu pędu otrzymujemy mv = (m/2)(−v) + (m/2)u, gdzie m — masa pocisku,
v prędkość przed rozpadem, u — prędkość drugiej części po rozpadzie. Przekształcając otrzymujemy u = 3v. Iloraz
energii kinetycznych obu części pocisku E−v /Eu = 1/9.
15. Przyjmując oznaczenia m = 0,6 kg masa piłki, M = 70 kg Twoja masa, v = 15 m/s prędkość piłki możemy zapisać
zasadę zachowania pędu. (A) mv = (m + M )V , gdzie V szukana prędkość po złapaniu piłki, skąd V = mv/(m + M ) ≈
0,13 m/s. (B) mv = mu + M U , gdzie u = −8 m/s prędkość piłki po odbiciu, U szukana Twoja prędkość po odbiciu
się piłki, skąd U = m(v − u)/M ≈ 0,20 m/s.
16. Przyjmując oznaczenia m — masa kulki karabinowej, M — masa klocka, v — prędkość kulki, V — prędkość klocka
z kulką, s — droga, µ — współczynnik tarcia możemy zapisać zasadę zachowania pędu mv = (M + m)V , skąd
v = V (M + m)/m. Aby wyznaczyć V skorzystamy z zasady zachowania energii, i wiedzy, że energia kinetyczna klocka
2
(Ek ) została zamieniona na pracę siły tarcia (W ) na odcinku s. Ek = (M
√ + m)V /2, W = sT =√sµN = sµg(M + m),
2
2
Ek = W ⇒ (M + m)V /2 = sµg(M + m) ⇒ V /2 = sµg ⇒ V = 2sµg. Ostatecznie v = 2sµg(M + m)/m ≈
255 m/s.
17. Przyjmując oznaczenia m — masa ciała A, M — masa innego ciała, v — prędkość ciała A przed zderzeniem, u —
prędkość innego ciała po zderzeniu. Zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii dają nam następujące dwa
równania mv = m(v/4) + M u oraz mv 2 /2 = m(v/4)2 /2 + M u2 /2 z dwoma niewiadomymi (u i M ). Przekształcając
pierwsze równanie otrzymujemy u = (m/M )(3/4)v, po podstawieniu wyniku do pierwszego mv 2 /2 = mv 2 /32 +
M (m/M )2 (3/4)2 v 2 /2 ⇒ m/2 = m/32 + (m2 /M )9/32 ⇒ 16m = m + 9m2 /M ⇒ 15m = 9m2 /M ⇒ M = (3/5)m.
18. Z zasady zachowania pędu m1 v1 + m2 v2 = 0, skąd v2 = −(m1 /m2 )v1 = 0,6 m/s.
Wrocław, 22 listopada 2007
W. Salejda, M.H. Tyc & K. Tarnowski