1. Zagadnienia teoretyczne. - TECH.EDU.GORZOW.PL :: Strona

Zajęcia nr 7 (TM5). – Procent składany.
Robert Malenkowski
1. Zagadnienia teoretyczne.
1.1.
Opis oprocentowania składanego.
Oprocentowanie składane to takie w którym odsetki od wpłaconej do banku
kwoty (kapitał) są dopisywane do kapitału po każdym okresie oprocentowania.
Opis ten może dotyczyć również innych przykładów nie tylko zakresu
matematyki finansowej.
Do obliczenia kapitału, gdy odsetki są kapitalizowane możemy zastosować
wzór:
p 

K n  K  1 

 100 
n
gdzie:
K n - kapitał po n okresach kapitalizacji (czyli po n – krotnym doliczeniu odsetek)
K - kapitał początkowy
n - liczba okresów kapitalizacji
p - oprocentowanie w okresie kapitalizacji
Zagadnienie to nie jest trudne, a zrozumieniu powinno pomóc przeanalizowanie
poniższych przykładów.
Przykład. W banku A kapitalizacja odsetek następuje co kwartał i lokaty
oprocentowane są w wysokości 20% w stosunku rocznym, zaś w banku B
kapitalizacja odsetek następuje dopiero po roku, ale lokata jest oprocentowana
w wysokości 21% w stosunku rocznym. Wybierz bank w którym korzystniej
można ulokować kapitał na jeden rok. Odpowiedź uzasadnij rachunkiem.
Zajęcia nr 7 (TM5). – Procent składany.
Robert Malenkowski
BANK A
K – kapitał wpłacany do banku
n=4 – ilość okresów kapitalizacji
kapitalizacja kwartalna,
czyli w ciągu roku
doliczmy odsetki 4 razy
p
20%
 5% - oprocentowanie w okresie kapitalizacji
4
oprocentowanie roczne dzielimy
na 4 bo w roku są 4 kwartały
Podstawiając do wzoru mamy:
4
Pamiętaj aby stosować „duże”
przybliżenia, ponieważ „duży”
kapitał skutecznie obniża
dokładność obliczeń
5 

4
K 4  K  1 
  K  1,05  K  1,21551
100


Zapis K  1,21551 oznacza, że wpłacając nr 10 000zł po roku otrzymamy:
4
5 

4
K 4  10000  1 
  10000  1,05  10000  1,21551  12155,10 zł.
100


BANK B
K – kapitał wpłacany do banku
n=1 – ilość okresów kapitalizacji
kapitalizacja roczna,
czyli w ciągu roku
doliczmy 1 raz
p  21% - oprocentowanie w okresie kapitalizacji
oprocentowanie roczne to 21%
czyli niczego tu nie zmieniamy
Podstawiając do wzoru mamy:
Zajęcia nr 7 (TM5). – Procent składany.
Robert Malenkowski
1
21 

K1  K  1 
  K  1,21
 100 
Zapis K  1,21 oznacza, że wpłacając nr 10 000zł po roku otrzymamy:
1
21 

K1  10000  1 
  10000  1,21  12100,00 zł.
 100 
Porównując ofert banków zapisujemy ułamek:
4
5 

K  1 

4
 100   K 1,05  1,00455  1
1
K 1,21
21 

K  1 

 100 
Ponieważ wartość tego ułamka jest większa od jeden, licznik jest większy od
mianownika co pozwala wnioskować, że oferta Banku A jest korzystniejsza.
Przykład. W pierwszym roku produkcji pewnego towaru sprzedano go 10000
sztuk. Przez kolejne cztery lata sprzedaż wzrastała o 8% rocznie. Ile sztuk
towaru sprzedano w piątym roku?
Do rozwiązania tego zadania można wykorzystać „wzór na procent składany”.
p=8% - tyle procent rocznie rośnie sprzedaż
po każdym roku
dodajemy 8%
produkcji
K  10000
wyjściowa sprzedaż –
sprzedaż w pierwszym roku
4 razy bo – w drugim roku
dodajemy 8%, w trzecim
drugi raz 8% itd.
n  4 odsetki doliczamy 4 razy
4
8 

4
K 4  10000  1 
  10000  1,08  13604
100


Odp. W piątym roku sprzedano około 13604 szt. towaru.
Zajęcia nr 7 (TM5). – Procent składany.
Robert Malenkowski
2. Zadania do samodzielnego rozwiązania:
1. Oprocentowanie rocznej lokaty w pewnym banku jest równe 8%. Chcąc mieć
po roku wraz z odsetkami na koncie 6480 zł należy wpłacić na lokatę kwotę:
a. 5000 zł
b. 5500 zł
c. 5750 zł
d. 6000 zł
2. W partii 1500 płaszczy 3% stanowią płaszcze z usterkami. Oblicz ile, co
najmniej, płaszczy z usterkami należy usunąć, aby w pozostałych było mniej
niż 1% płaszczy z wadami
a. 15
b. 31
c. 29
d. 22
3. Monika wpłaciła do banku 14000 zł. Kapitalizacja odsetek następuje co
kwartał z 4% oprocentowaniem w skali roku. Jaka będzie kwota odsetek na
koncie Moniki po dwóch latach?
a. 1624,29 zł
b. 1159,99 zł
c. 1142,40 zł
d. 1124,30 zł
4. Michał podjął pracę wakacyjną na następujących warunkach: 300 zł za
pierwszy tydzień i podwyżka 5% po każdym tygodniu. Ile zarobi w ostatnim
tygodniu jeżeli pracował cały miesiąc (4 tygodnie)?
a. 364,65 zł
b. 347,23 zł
c. 310,30 zł
d. 321,25 zł
5. Pani Patrycja wzięła kredyt w wysokości 16000 zł i spłaciła go w
miesięcznych ratach malejących. Na ile rat została rozłożona spłata tego
kredytu, jeżeli wiemy, że oprocentowanie w skali roku jest równe 10,5 %, a
ostatnia rata wynosi 538 zł?
a. 25
b. 30
c. 36
d. za mało danych, aby obliczyć