Zadanie* (ciągi) Dla jakich wartości x szósty wyraz rozwinięcia

Zadanie* (ciągi)
Dla jakich wartości x szósty wyraz rozwinięcia dwumianu:
p
m
p
5
2log(10−3x ) + 2(x−2)log3
jest równy 21 jeżeli wiadomo, że współczynniki drugiego, trzeciego i czwartego
wyrazu rozwinięcia tworzą odpowiednio pierwszy, trzeci i piąty wyraz ciągu
arytmetycznego.
Rozwiązanie
Wzór dwumianowy Newtona, z którego tu musimy skorzystać ma następującą
postać:
n n
n n−1
n n−k k
n
n n
∀n ∈ N (a+b)n =
a +
a
b+. . .+
a
b +. . .+
abn−1 +
b
0
1
k
n−1
n
Policzmy najpierw współczynniki drugiego (2), trzeciego (3) i czwartego (4)
wyrazu rozwinięcia dwumianu.
m
m!
(m − 1)!m
=
=m
(2)
=
1
(m − 1)!
(m − 1)!
m
m!
(m − 2)!(m − 1)m
(m − 1)m
(3)
=
=
=
2
(m − 2)! · 2!
(m − 2)! · 2
2
m
m!
(m − 3)!(m − 2)(m − 1)m
(m − 2)(m − 1)m
(4)
=
=
=
3
(m − 3)! · 3!
(m − 3)! · 6
6
Wiemy zatem, że następujące współczynniki są pierwszym, trzecim i piątym
wyrazem ciągu arytmetycznego:
m;
(m − 1)m
2
(m − 2)(m − 1)m
6
;
Wykorzystując zależność pomiędzy wyrazami ciągu arytmetycznego możemy
zapisać:
(m − 1)m
2
−m=
(m − 2)(m − 1)m
6
−
(m − 1)m
2
Po pewnych przekształceniach otrzymujemy następujące równanie:
m3 − 9 m2 + 14m = 0
m(m2 − 9m + 14) = 0
Liczymy deltę i pierwiastki równania kwadratowego.
∆ = 81 − 56 = 25
√
∆=5
1
m1 = 2 oraz m2 = 7. Odrzucamy rozwiązanie m = 2 ponieważ musimy policzyć
szósty wyraz rozwinięcia dwumianu, wiemy, że aby miał on co najmniej sześć
wyrazów w rozwinięciu to m ­ 5. Szósty wyraz rozwinięcia ma następującą
postać:
m m−5 5
a
b
5
Z treści zadania wiemy, że ma on być równy 21, czyli
m m−5 5
a
b = 21
5
gdzie
a=
p
2log(10−3x )
b=
p
5
2(x−2)log3
Możemy już podstawić do równania przedstawiającego szósty wyraz rozwinięcia
a i b, czyli
m−5 p
5
(m − 4)(m − 3)(m − 2)(m − 1)m p log(10−3x )
5
2
2(x−2)log3
= 21
120
Wiemy już teraz, że m = 7 stąd mamy równanie z jedną niewiadomą jaką jest
x:
21 ·
p
2log(10−3x )
2 p
5
5
2(x−2)log3
= 21
Dzielimy obustronnie przez 21 otrzymując:
p
2 p
5
5
2log(10−3x )
2(x−2)log3
=1
2log(10−3
x
2log(10−3
)
x
· 2(x−2)log3 = 1
)+(x−2)log3
= 20
log(10 − 3x ) + (x − 2)log3 = 0
log(10 − 3x ) + log3x−2 = 0
log(10 − 3x ) · 3x−2 = 0
(10 − 3x ) · 3x−2 = 1
1
=1
9
Możemy zrobić podstawienie 3x = t gdzie t > 0 otrzymujemy wtedy następujące
równanie kwadratowe:
t2 − 10t + 9 = 0
(10 − 3x ) · 3x ·
2
liczymy teraz deltę i pierwiastki:
∆ = 100 − 36 = 64
√
∆=8
Pierwiastki równania to t1 = 1 oraz t2 = 9 możemy już wyliczyć x, czyli:
3x = 1
3x = 9
x=0
x=2
3