Ruch falowy.

Ruch falowy
14.
14-1
Ruch falowy
Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkształcenia) w
ośrodku sprężystym.
Wielkość zaburzenia ψ jest, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją
czasu
ψ = ψ (t )
Zaburzenie rozchodzi się w przestrzeni z określoną prędkością
nazywaną prędkością fali. Zatem wielkość zaburzenia jest również
funkcją położenia
ψ = ψ ( r!, t ) .
!
!
Dla danego miejsca r0 funkcja ψ ( r0 , t ) przedstawia zależność
zaburzenia od czasu lub inaczej drgania ośrodka w tym miejscu. Dla
!
danej chwili t0 funkcja ψ ( r , t0 ) przedstawia przestrzenny rozkład
zaburzenia – migawkowe zdjęcie stanu ośrodka.
Weźmy pod uwagę falę, która w jednowymiarowym ośrodku rozchodzi
się wzdłuż osi Ox z prędkością v
ψ = ψ ( x, t ) .
Zmieniamy układ na poruszający się z tą samą prędkością co
zaburzenie. W nowym układzie zaburzenie jest stacjonarne, nie zależy
od czasu:
ψ = ψ (x ' ) .
Ruch falowy
14-2
Transformacja Galileusza daje związek między współrzędnymi w obu
układach
x' = x − v ⋅ t .
Wracając do układu wyjściowego (w którym zaburzenie rozchodzi się)
otrzymujemy
ψ =ψ ( x − v ⋅ t) .
Jest to w dalszym ciągu funkcja położenia i czasu, tyle, że nie dowolna,
ale zależna od ich specjalnej kombinacji.
Funkcję ψ = ψ ( x − v ⋅ t ) nazywa się (jednowymiarową) funkcją falową.
W przypadku wielowymiarowym funkcja falowa ma postać
! !
ψ = ψ (r − v ⋅ t )
Otrzymamy teraz równanie różniczkowe ruchu falowego.
∂ψ ∂ψ ∂x' ∂ψ
=
⋅
=
∂x ∂x ' ∂x ∂x'
∂x '
=1
∂x
∂ψ ∂ψ ∂x'
∂ψ
=
⋅
= −v
∂t
∂x ' ∂t
∂x '
∂x '
= −v
∂t
∂x' 
∂x 
 pochodne
 wewnętrzne
∂x' 

∂t 
∂ψ
∂ψ
(a dla ruchu w przeciwnym kierunku wystarczy
= −v
∂t
∂x
zmienić znak v).
Czyli
Powtórne różniczkowanie daje
2
∂ 2ψ
2 ∂ ψ
=v
∂t 2
∂x 2
albo po przekształceniu otrzymujemy ostatecznie równanie różniczkowe
ruchu falowego.
∂ 2ψ
1 ∂ 2ψ
= ⋅
∂x 2 v 2 ∂t 2
Ruch falowy
14-3
Ze względu na sposób jego otrzymania, każda funkcja typu
ψ = ψ ( x ± v ⋅ t ) spełnia to równanie.
Można się przekonać, że rozwiązania różniczkowego równania ruchu
falowego spełniają zasadę superpozycji, tzn., jeżeli ψ 1 = ψ 1 ( x ± v ⋅ t )
i ψ 2 = ψ 2 ( x ± v ⋅ t ) są funkcjami falowymi spełniającymi równanie ruchu
falowego
∂ 2ψ 1 1 ∂ 2ψ 1
= 2⋅ 2
∂x 2
v ∂t
i
∂ 2ψ 2 1 ∂ 2ψ 2
= 2⋅ 2 ,
∂x 2
v ∂t
to ich suma ψ = ψ 1 + ψ 2 też jest rozwiązaniem tego równania
∂ 2 (ψ 1 + ψ 2 ) 1 ∂ 2 (ψ 1 + ψ 2 )
.
= 2⋅
∂x 2
∂t 2
v
Wynika to wprost z faktu, że operacja różniczkowania jest rozdzielna
względem dodawania funkcji.
Zasadę superpozycji można rozszerzyć na dowolną liczbę funkcji
falowych. Jeżeli ψ 1 = ψ 1 ( x − v ⋅ t ) , ψ 2 = ψ 2 ( x − v ⋅ t ) , ...
ψ n = ψ n ( x − v ⋅ t ) są funkcjami falowymi, to ich dowolna kombinacja
liniowa
n
ψ ( x − v ⋅ t ) = ∑ ciψ i ( x − v ⋅ t )
i =1
ci – dowolne stałe
jest też funkcją falową, czyli spełnia odpowiednie równanie różniczkowe.
Ruch falowy
14-4
Fale harmoniczne
Jeżeli funkcja falowa ma postać
ψ ( x, t ) = A ⋅ sin[k ( x ± v ⋅ t )]
lub
ψ ( x, t ) = A ⋅ cos[k ( x ± v ⋅ t )]
to nazywamy ją harmoniczną.
Dla ustalonego miejsca, np. x = 0
ψ (0, t ) = A ⋅ sin[k ( ± v ⋅ t )] = ± A ⋅ sin(k ⋅ v ⋅ t )
staje się ona funkcją opisującą drgania harmoniczne o częstości kołowej
ω = k ⋅v
k=
ω 2π
=
v vT
gdzie: T jest okresem tych drgań.
Dla ustalonej chwili, np. t = 0
ψ ( x,0) = A ⋅ sin(k ⋅ x ) = A ⋅ sin(
2π
x)
v ⋅T
otrzymujemy funkcję przestrzenną okresową o okresie równym v⋅T.
Iloczyn v⋅T nazywa się długością fali λ a T okresem fali. Zachodzi
między nimi związek:
λ = v ⋅T
Użyta wcześniej wielkość k
k=
2π
λ
nazywa się liczbą falową (ma wymiar m-1).
W tym wypadku ω nazywamy częstością kołową fali i możemy dopisać
kolejny związek
ω = k ⋅v
Ruch falowy
14-5
Prędkość fazowa fali
Podobnie jak dla drgań harmonicznych, argument harmonicznej funkcji
falowej
ψ ( x, t ) = A ⋅ sin[k ( x − v ⋅ t )] = A ⋅ sin(kx − ωt )
nazywa się fazą fali
ϕ = kx − ωt .
W ogólnym przypadku możemy mieć do czynienia z różną od zera fazą
początkową
ϕ = kx − ωt + ϕ 0 .
Pochodna fazy względem czasu daje, z dokładnością do znaku,
częstość kołową fali
∂ϕ
= −ω ,
∂t
a względem położenia – liczbę falową
∂ϕ
2π
.
=k =
λ
∂x
Ich stosunek
∂ϕ
∂x ω 2π λ
λ
− ∂t = − = =
= =v
∂ϕ
∂t k
T 2π T
∂x
jest prędkością fali. Prędkość fali, którą wprowadziliśmy na samym
początku, była prędkością z jaką przemieszczała się określona faza fali
(w układzie poruszającym się z prędkością v faza w danym punkcie jest
stała). Dlatego prędkość tę nazywamy prędkością fazową fali.
vf =
ω
k
vf =
λ
.
T
lub
Ruch falowy
14-6
Fale przestrzenne
!
k - wektor falowy
!
ψ ( r! , t ) = A ⋅ sin( k ⋅ r! − ω ⋅ t )
Kierunek wektora falowego pokrywa się z kierunkiem rozchodzenia się
fali, a jego długość wynosi
! 2π
.
| k |=
λ
Punkty w przestrzeni, w których faza fali ma określoną wartość
! !
k ⋅ r − ω ⋅ t = const
!
tworzą powierzchnie falowe (albo fazowe). Wektor k jest w każdym
punkcie powierzchni falowej prostopadły do niej.
Ze względu na kształt powierzchni falowych mówimy o falach płaskich,
kulistych, walcowych, itp.
Ruch falowy
14-7
Odbicie i załamanie fal
Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków
v1 > v2
∆1 v1t
=
d
d
∆
vt
sin α 2 = 2 = 2
d
d
sin α1 v1
=
sin α 2 v2
sin α1 =
Przy przejściu do innego ośrodka zmienia się prędkość fali i jej długość,
nie zmienia się natomiast częstotliwość fali.
Odbicie fali od granicy ośrodka
α1 = α '1
Ruch falowy
14-8
Odbicie i załamanie na granicy dwóch ośrodków
α1 = α '1
sin α1 v1
= = n12
sin α 2 v2
Prawo odbicia
!
!
Wektor k1 fali padającej, wektor k1 ' fali odbitej i normalna do
powierzchni granicznej w miejscu odbicia leżą w jednej płaszczyźnie, i
kąt padania jest równy kątowi odbicia
α1 = α '1 .
Prawo załamania (Snelius’a)
!
!
Wektor k1 fali padającej, wektor k2 fali załamanej i normalna do
powierzchni granicznej w miejscu załamania leżą w jednej płaszczyźnie,
i
sin α1
= n12 .
sin α 2
Jeżeli v2 > v1 , to jest taki graniczny kąt padania α1 = α gr ( sin α gr = n12 ),
że kąt załamania jest prosty α 2 =
π
2
i zaburzenie rozchodzi się wzdłuż
granicy między ośrodkami. Dla kątów padania α1 > α gr fala nie przenika
do drugiego ośrodka, ale ulega całkowitemu wewnętrznemu odbiciu na
granicy.
Ruch falowy
14-9
Prawa odbicia i załamania fal można wyprowadzić z bardzo ważnej
zasady dotyczącej ruchu falowego – zasady Fermata.
Zaburzenie (fala) rozchodzi się w ośrodku po takiej drodze,
że czas przejścia między dwoma punktami jest ekstremalny
– zwykle minimalny.
!
Linię, która jest w każdym punkcie styczna do wektora falowego k (albo
prostopadła do powierzchni falowej) nazywamy promieniem fali. Można
powiedzieć, że zaburzenie, rozchodzące się w ośrodku w postaci fali,
przemieszcza się wzdłuż promieni tej fali.
W ośrodkach jednorodnych, gdzie v = const, promienie fali są liniami
prostymi. Na granicy takich ośrodków promienie załamują się –
zmieniają kierunek.
!
W ośrodkach niejednorodnych prędkość fali nie jest stała v = v (r ) a
promienie przestają być liniami prostymi.
W prawie wszystkich ośrodkach prędkość fali zależy od jej długości
(częstotliwości) v = v (k ) , a w ośrodkach anizotropowych (np. w kryształach) występuje też zależność prędkości od kierunku rozchodzenia się
!
v = v (k ) lub od kierunku polaryzacji fali (dla fal poprzecznych).
W pierwszym przypadku mówimy o dyspersji fal – fale o różnych długościach (częstotliwościach) biegną z różnymi prędkościami.
W ośrodkach anizotropowych występuje dodatkowe zjawiska:
dwójłomności, polaryzacji.