Zasada Fermata

Zasada Fermata
Mariusz Adamski, Sebastian Michalik
Wydział Podstawowych Problemów Techniki
Politechniki Wrocławskiej
1.
Definicja.
Zasada Fermata orzeka, że:
Promień świetlny poruszający się z punktu P do
punktu Q podąża zawsze drogą, na której przebycie
potrzeba lokalnie ekstremalnego czasu.
Sformułował ją w roku 1650 francuski matematyk
Pierre de Fermat. Zasada ta jest przypadkiem
szczególnym zasady Maupertuis najmniejszego działania.
Dla stałej częstości fali faza
Z
Z
n̂dr̄
ϕ = k̄dr̄ = ω
,
u
gdzie k̄ – wektor falowy, ω – częstość fali, n̂ –
wersor w kierunku rozprzestrzeniania się czoła
fali, u – prędkość fazowa. Iloczyn n̂dr̄ równy jest
przemieszczeniu powierzchni stałej fazy w kierunku
normalnym do tej powierzchni, więc (n̂dr̄)/u jest
czasem dt, w którym to przemieszczenie zachodzi.
Zgodnie z zasadą Maupertuis, którą faza powinna
spełniać tak samo, jak działanie, czas ten powinien
być ekstremalny.
2.
Prawo odbicia.
Na początku zauważmy, że w jednorodnym,
translacyjnie niezmienniczym ośrodku, w którym
prędkość światła jest stała, drogą najkrótszego
czasu jest prosta. Będziemy zakładać, że droga od
punktu P do zwierciadła, normalna oraz droga od
zwierciadła do punktu Q są współpłaszczyznowe.
Mamy:
p
l1 = a2 + x2 ,
p
l2 = b2 + (d − x)2 .
Zatem czas potrzebny na przebycie drogi
p
1 p 2
l 1 + l2
=
a + x2 + b2 + (d − x)2 (1)
t=
c
c
Warunkiem koniecznym ekstremum czasu jest
zerowanie się pierwszej wariacji:
!
1
xδx
−(d − x)δx
√
p
δt =
+
=
2
2
2
2
c
a +x
b + (d − x)
d−x
δx
δx x
−
=
(sin α − sin β)
=
c l1
l2
c
Zatem dostajemy:
sin α = sin β,
ale ponieważ oba kąty są ostre, musi być:
α = β,
co jest znanym prawem odbicia.
Pokażemy jeszcze, że droga odpowiadająca
warunkowi α = β jest najmniejsza z możliwych.
W tym celu policzymy drugą wariację wyrażenia (1):
√
δx a2 + x2 − x √axδx
2 +x2
δx
2
δ t =
+
2
2
c
a +x
p
!
−δx b2 + (d − x)2 − (b − x) √−(d−x)δx
b2 +(d−x)2
−
=
2
2
b + (d − x)
!
2
2
2
δx
a
b
=
32 +
32 > 0
c
a2 + x2
b2 + (d − x)2
Zatem rzeczywiście mamy do czynienia z minimum
czasu.
Zauważmy następnie, że gdyby punkt O leżał
w odległości δy od płaszczyzny rysunku, pod
pierwiastkami w wyrażeniu (1) należałoby dodać
czynniki δy 2 , co zwiększyłoby czas potrzebny
na przebycie drogi. Założenie, że P O, OQ oraz
normalna do powierzchni zwierciadła są współpłaszczyznowe było zatem słuszne.
3.
Prawo załamania Snella.
Załóżmy, że w ośrodku 1 światło porusza się
z prędkością nc1 , a w ośrodku 2 z prędkością nc2 .
Oczywiście, tak jak poprzednio
p
l1 = a2 + x2 ,
p
l2 = b2 + (d − x)2 ,
zatem czas potrzebny na przebycie drogi
p
1 p 2
n1 a + x2 + n2 b2 + (d − x)2 .
t=
c
(2)
Podobnie jak poprzednio, policzymy pierwszą
wariację t:
!
xδx
−(d − x)δx
1
√
p
n1
+ n2
δt =
=
2
2
2
2
c
a +x
b + (d − x)
x
d−x
δx
n1 − n2
=
c
l1
l2
W pobliżu toru o ekstremalnym czasie, δt powinno
znikać, zatem:
x
d−x
n1 = n2
l1
l2
n1 sin α = n2 sin β,
co reprezentuje znane prawo załamania Snella.
Literatura
[1] Fizyka tom II - D. Halliday, R. Resnick
[2] Fizyka teoretyczna - A. S. Kompaniejec