Zestaw zadań nr 1 1. Rozwiązać podane równania rozkładając

Zestaw zadań nr 1
1. Rozwiązać podane równania rozkładając najpierw lewą stronę na czynniki:
a) x3 + x2 − x − 1 = 0, b) x3 − 3x − 2 = 0, c) 3x4 − 10x3 + 10x − 3 = 0, d) x4 − 3x3 + 4x2 − 6x + 4 = 0
e) x6 − 8x3 + 15 = 0.
2. Rozwiązać podane nierówności:
a) (x − 3)(x + 2)(x − 5)2 < 0,
b) − x(x + 1)2 (x − 3)3 ­ 0, c) (1 − x)(x − 2)(x − 6)3 ¬ 0,
d) x5 − 3x4 − 3x3 + 9x2 − 4x + 12 < 0, e) |x3 − x| + 2x > 2,
f ) x2 − 4|x| + 3 ­ 0.
3. Naszkicować wykres funkcji:
a) y =
2x−4
,
x+1
b) y =
3−2x
,
x+1
c) y =
x+1
.
2x+6
4. Rozwiązać podane równania i nierówności:
a)
e)
x+3
− x−3
x+2
x−2
x2 +1
> 2,
2x−1
x2
x2 −4
=
3
− x21−4
x3 +8
2x−1
< 21 .
x2 +1
+ 1, b)
f)
=
2
,
x2 −2x+4
c)
(x−1)
(x−3)(x+2)
­ 0, d)
(x+8)4 (2−x)3
(x+5)(x−1)2
­ 0,
5. Rozwiązać podane równania:
√
√
√
√
a) 3x + 7 = x − 1,
b) x + 3 − x = 1,
c) x − 2 = x,
√
√
√
√
d) x + 3 + x = 9,
e) (x2 − 4) 1 − x = 0,
f ) 3x + 1 − x + 4 = 1,
q
q
√
√
√
g) x2 − 4x − 3 x2 − 4x + 20 = −10, h) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = x − 1,
6. Rozwiązać podane nierówności:
√
√
√
a) 3 5 − x < −2,
b) x + 7 ¬ −7,
c) x + 3 > −23,
√
√
√
< 1,
d) x − 2 > 4 − x,
e) 11 − x > x − 9,
f ) x+20
x
√
√
√
g) 4x − x2 > x − 2, h) (x − 4) x + 1 < 4 − 2x, i) 5x2 + 10x + 1 ­ 7 − 2x − x2 .
7. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
a) f (x) =
q
|x − 3| − 2,
b) f (x) =
3
5
q
1−
x+
√1 ,
1−x
c) f (x) =
5
d) f (x) = (x + 1)−3 + (4 − x)− 2 ,
f ) f (x) = x2 (x2 − 5x)− 3 +
√
7
e) f (x) = x(x − 2) 3 + x3 (3 − x) 4 ,
1
,
x−1
g) f (x) =
q
5
x(x + 6)6 + (x2 + 3)(4 − x2 ) 2 .
8. Rozwiązać podane równania:
2
1
a) (x + 1) 3 − (x + 1) 3 − 2 = 0, b) 6x−2 + x−1 = 2,
q √
√
√
3
d) 2 7x + 2 = 3x + 2,
e) (x2 + x)− 2 = 14 2,
1
g) (x2 + x − 6) 2 = 21 x − 1,
1
h) (x2 + 2x − 15)− 4 =
2
3
f ) (x2 − x + 4)− 2 =
√
3
.
3
Literatura:
1. ”Matematyka. Podstawy z elementami matematyki wyższej”
2. K.T. Jankowscy ” Zbiór zadań z matematyki”
3. M. Gewert, Z. Skoczylas ” Analiza matematyczna 1”
1
1
c) (x − 3) 5 = (4x) 5 ,
2
9
√
6x−3 ,
√
−x +
2
√
,
3
x+5