LISTA ZADAŃ 6 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1

LISTA ZADAŃ 6
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Magdalena Łysakowska
1. Rozwiązać następujące równania o zmiennych rozdzielonych:
dy
b) sinx dx
= ycosx;
dy
= sin x1 ;
a) x2 dx
c)
dy
dx
dy
= 2xy 2 − x2 dx
;
dy
d) (1 + x2 )xy dx
= 1 + y2;
p
√
dy
e) x 1 + y 2 + y 1 + x2 dx
= 0;
dy
f) (1 + x2 ) dx
−
dy
− 2x(1 + ey ) = 0;
g) ey (1 + x2 ) dx
dy
h) x(1 + ey ) − ey dx
= 0;
dy
i) x dx
+ 1 = x3 −
dy
j) sinxcosy − cosxsiny dx
= 0.
dy
;
dx
p
1 − y 2 = 0;
2. Rozwiązać następujące równania jednorodne:
dy
a) x2 dx
= x2 + xy + y 2 ;
dy
b) x2 + y 2 = 2xy dx
;
dy
c) (y − 2x) dx
= 2y + x;
dy
d) (x + y) dx
− 2y = 0;
dy
=y+
e) x dx
g)
dy
dx
=
y
x
p
y 2 − x2 ;
+ tg xy ;
√
dy
= 0;
f) 2 xy − y + x dx
dy
h) x dx
− y = xtg xy .
3. Rozwiązać następujące równania liniowe jednorodne rzędu pierwszego:
a)
dy
dx
=
2x−1
y;
x2
b)
dy
dx
c)
dy
dx
=
1
y;
3x
dy
d) (x + y) dx
= ytgx;
e)
dy
dx
=
1
y;
x2 −4
f)
dy
dx
= − x12 y;
= y(xsinx − cosx).
1
4. Rozwiązać następujące równania liniowe niejednorodne rzędu pierwszego:
2
a)
dy
dx
c)
dy
sinx
dx
e)
dy
dx
dy
b) x dx
− y = 2x3 ;
− xy = xex ;
+
+ ycosx = sin2x;
xy
1+x2
=
dy
d) x dx
− 2y = x3 cosx;
dy
f) x dx
+ y = xsinx.
1
;
x(1+x2 )
5. Rozwiązać następujące równania liniowe jednorodne rzędu drugiego:
a) 2y 00 − 5y 0 − 3y = 0;
b) 4y 00 + 12y 0 + 9y = 0;
c) y 00 − 9y = 0;
d) y 00 − y 0 − 2y = 0;
e) y 00 − 6y 0 + 13y = 0;
f) 9y 00 − 6y 0 + y = 0.
6. Rozwiązać następujące równania liniowe niejednorodne rzędu drugiego:
a) y 00 − 4y 0 + 4y = 8x3 − 36x;
b) y 00 + y 0 − 2y = 4x;
c) y 00 − 2y 0 + 3y = x + 1;
d) y 00 − 3y 0 + 2y = x2 ;
e) y 00 + y = ex ;
f) y 00 + 2y 0 + y = 8ex .
7. W pewnym ruchu stosunek prędkości do przebytej drogi jest stały i
wynosi 2. W chwili t = 0 przebyta droga wynosiła x = 2. Obliczyć
przebytą drogę do chwili t = 5.
8. Wyznaczyć równanie s = f (t) ruchu prostoliniowego, w którym prędkość jest wprost proporcjonalna do czasu. (Przyjąć współczynnik proporcjonalności równy 5.)
9. Wyznaczyć równanie ruchu prostoliniowego x = f (t), w którym droga x
jest wprost proporcjonalna do przyspieszenia, ale ma przeciwny zwrot.
2