VI. Rachunek całkowy

VI. Rachunek całkowy
1. Całka nieoznaczona
Niech F : I → R i f : I → R będą funkcjami określonymi na pewnym przedziale I ⊂ R.
Definicja 1. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, gdy
F 0 (x) = f (x)
dla
x ∈ I.
Zauważmy, że jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f , to dla dowolnej stałej C ∈ R
(F (x) + C)0 = F 0 (x) + 0 = f (x).
Zatem F + C jest inną funkcją pierwotną tej samej funkcji f na przedziale I. Co więcej, jeśli F1 i
F2 są dwiema różnymi funkcjami pierwotnymi tej samej funkcji f na przedziale I, to
(F2 (x) − F1 (x))0 = F20 (x) − F10 (x) = f (x) − f (x) = 0.
Ale z powyższego i z własności pochodnej wynika, że funkcja F2 −F1 jest stała, tzn. F2 (x)−F1 (x) = C
dla pewnej stałej C ∈ R, czyli
F2 (x) = F1 (x) + C.
Podsumowując, wyrażenie F (x) + C, gdzie F jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji f , a C jest
dowolną stałą rzeczywistą, jest ogólną postacią funkcji pierwotnej funkcji f , czyli funkcji która ma
pochodną równą f (x).
Definicja 2. Wyrażenie F (x) + C nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f , co zapisujemy1
Z
f (x)dx = F (x) + C.
R
Uwaga 7. Symbol f (x)dx nie jest jednoznaczny.R Każda funkcja ma nieskończenie wiele funkcji
pierwotnych różniących się o stałą. Zatem symbol f (x)dx należy rozumieć jako ustaloną funkcję
pierwotną funkcji f z dokładnością do dodanej dowolnej stałej C, zwanej stałą całkowania.
Twierdzenie 1. Każda funkcja ciągła w przedziale I posiada w tym przedziale funkcję pierwotną.
Inaczej mówiąc każda funkcja ciągła posiada całkę nieoznaczoną.
Przykład 1. Funkcja F (x) = 31 x3 , x ∈ R jest funkcją pierwotna funkcji f (x) = x2 , x ∈ R, gdyż
F 0 (x) = 31 · 3x3−1 = x2 dla x ∈ R. Zatem piszemy
Z
x2 dx = 13 x3 + C.
Przykład 2. Funkcją pierwotną funkcji f (x) =
F1 (x) = ln x, gdyż dla x ∈ (0, +∞)
1
x,
F10 (x) =
1
x > 0 na przedziale I1 = (0, +∞) jest funkcja
1
.
x
R
Symbol wprowadził matematyk i filozof niemiecki Gottfried Leibniz (1646–1716). Jest to stylizowana litera S
od łacińskiego słowa summa, czyli suma.
VI. Rachunek całkowy
Rozważmy funkcję F2 (x) = ln(−x), x < 0. Ponieważ dla x ∈ (−∞, 0)
F20 (x) =
1
1
· (−1) = ,
−x
x
więc funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I2 = (−∞, 0) jest funkcja F2 (x) = ln(−x) = ln |x|.
Oba te fakty zapisuje się tradycyjnie jednym wzorem całkowym (choć nieprecyzyjnie, gdyż w różnych
przedziałach mogą występować różne stałe całkowania C)
Z
1
dx = ln |x| + C.
x
Całki nieoznaczone niektórych funkcji
R
0dx = C
R
tg xdx = − ln | cos x| + C
R
1dx = x + C
R
ctg xdx = ln | sin x| + C
R
xdx = 12 x2 + C
R
dx
sin2 x
= − ctg x + C
R
dx
x
R
dx
cos2 x
= tg x + C
R
dx
a2 +x2
dx
x2
= ln |x| + C
= − x1 + C
R dx
√
√ =2 x+C
x
R α
1
x dx = α+1
xα+1 + C, α 6= −1
R x
e dx = ex + C
R x
a dx = ln1a · ax + C, a > 0, a 6= 1
R
sin xdx = − cos x + C
R
cos xdx = sin x + C
R
R
R
R
R
arctg xa + C
dx
1
ln x−a
= 2a
x+a + C
x2 −a2
√
√
√
a + x2 dx = x2 a + x2 + a2 ln |x + x2 + a| + C
√
√
a − x2 dx = x2 a − x2 + a2 arcsin √xa + C
√
√ dx
= ln |x + a + x2 | + C
a+x2
=
1
a
R
√ dx
a−x2
R
ln xdx = x ln x − x + C
= arcsin √xa + C
Przy całkowaniu wielu funkcji korzystamy z następujących twierdzeń
Twierdzenie 2. Jeżeli funkcje f i g posiadają funkcje pierwotne, to funkcje f + g i f − g oraz λ · f ,
gdzie λ ∈ R, posiadają funkcje pierwotne i
Z
Z
Z
f (x) + g(x) dx = f (x)dx + g(x)dx,
Z
Z
Z
f (x) − g(x) dx = f (x)dx − g(x)dx,
Z
Z
λf (x)dx = λ f (x)dx.
Przykład 3.
Z
Z
Z
Z
Z
2
2
4
2
4
2
(x − 1) dx = (x − 2x + 1)dx = x dx − 2 x dx + 1dx = 15 x5 − 23 x3 + x + C.
Twierdzenie 3 (o całkowaniu przez części). Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w przedziale I,
to
Z
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx.
51
VI. Rachunek całkowy
Przykład 4.
Z
x
xe dx =
g 0 (x) = ex
f (x) = x,
f 0 (x)
= 1,
g(x) =
x
Z
= xe −
ex dx = xex − ex + C.
ex
Twierdzenie 4 (o całkowaniu przez podstawienie). Niech I oraz J będą przedziałami. Jeżeli:
1) funkcja ω : J → I jest różniczkowalna w przedziale J,
2) funkcja F : I → R jest funkcją pierwotną funkcji f : I → R, tzn.2
Z
f (t)dt = F (t) + C,
to funkcja F ◦ ω jest funkcją pierwotną funkcji f ◦ ω · ω 0 , tzn.
Z
f ω(x) ω 0 (x)dx = F (ω(x)) + C.
Przykład 5.
Z
Z
Z
ln x
1
1
ln x · x dx = t = ln x, dt = dx = tdt = 12 t2 + C = 12 (ln x)2 + C.
x dx =
x
Własność 4. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I. Wówczas
Z
f (ax + b)dx = a1 F (ax + b) + C.
W szczególności:
Z
Przykład 6.
Z
f (ax)dx = a1 F (ax) + C
Z
f (x + b)dx = F (x + b) + C.
oraz
Z
sin 2xdx = − 12 cos 2x + C
oraz
sin(x − 3)dx = − cos(x − 3) + C.
Własność 5. Jeśli f jest funkcją różnoczkowalną w przedziale I, to
1) przy założeniu, że f (x) 6= 0 dla x ∈ I
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + C,
f (x)
Z
2) przy założeniu, że f (x) > 0 dla x ∈ I
Z
p
f 0 (x)
p
dx = 2 f (x) + C.
f (x)
Przykład 7.
Z
2x
dx = ln |x2 + 1| + C = ln(x2 + 1) + C
2
x +1
Z
oraz
√
p
2x
dx = 2 x2 + 1 + C.
x2 + 1
R
R
Wzór na całkowanie przez podstawienie podaje się też w wygodnej postaci f ω(x) ω 0 (x)dx = f (t)dt, gdzie
po prawej stronie wprowadzono nową zmienną całkowania t = ω(x). Po obliczeniu całki po prawej stronie należy
podstawić za t funkcję ω(x).
2
52
VI. Rachunek całkowy
Twierdzenie 5. Całkę z funkcji wymiernej R wyznacza się rozbijając R na sumę ułamków prostych
i wielomianu. Sprowadza sie w ten sposób obliczenie całki z funkcji wymiernej do obliczenia sumy
całek z wielomianu i ułamków prostych czyli funkcji wymiernych postaci
A
(x + a)n
oraz
(x2
Ax + B
,
+ px + q)m
gdzie p2 − 4q < 0. Korzystamy przy tym również ze wzoru rekurencyjnego
Z
Z
1
x
2n − 3
dx
dx
=
+
.
(1 + x2 )n
2n − 2 (1 + x2 )n−1 2n − 2
(1 + x2 )n−1
Przykład 8.
Z
Z
dx
=
(x − 1)x
1
1
− dx =
x−1 x
Z
dx
−
x−1
Z
x − 1
dx
+ C.
= ln |x − 1| − ln |x| + C = ln x
x 2. Całka oznaczona
Niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną na przedziale domkniętym ha, bi, przy czym
a < b. Podzielmy przedział ha, bi na n przedziałów dowolnie wybranymi punktami x1 , x2 , . . . , xn−1
zakładając, że
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b.
Podział ten oznaczamy symbolem Pn . Długość przedziału hxi−1 , xi i oznaczamy ∆xi = xi − xi−1 ,
i = 1, 2, . . . , n. Długość najdłuższego z odcinków podziału Pn oznaczamy przez δn i nazywamy
średnicą podziału Pn .
Z każdego przedziału hxi−1 , xi i wybieramy dowolny punkt ti ∈ hxi−1 , xi i, a następnie tworzymy
następującą sumę zwaną sumą całkową Riemanna
Sn = f (t1 )∆x1 + f (t2 )∆x2 + . . . + f (tn )∆xn .
Łatwo zauważyć, że jeżeli m 6 f (x) 6 M dla x ∈ ha, bi, to
m(b − a) 6 Sn 6 M (b − a).
Możemy tworzyć różne podziały danego przedziału ha, bi. Ciąg takich podziałów (Pn ) nazywamy
ciągiem normalnym podziałów przedziału ha, bi, gdy lim δn = 0.
n→∞
Definicja 3. Jeżeli ciąg sum całkowych (Sn ) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej przy każdym
(wyznaczającym ją) ciągu normalnym podziałów (Pn ) przedziału ha, bi, to granicę tę nazywamy całką
oznaczoną Riemanna funkcji f w przedziale ha, bi i oznaczamy symbolem
Z b
f (x)dx.
a
Funkcję, która posiada całkę oznaczoną nazywamy funkcją całkowalną w przedziale ha, bi. Dodatkowo, jeśli a > b przyjmujemy
Z b
Z a
f (x)dx = −
f (x)dx,
a
b
jeśli a = b, to przyjmujemy
Z
a
f (x)dx = 0.
a
Twierdzenie 6. Każda funkcja ciągła w przedziale ha, bi jest w tym przedziale całkowalna.
Twierdzenie 7. Każda funkcja ograniczona w przedziale ha, bi i mająca w nim tylko skończoną liczbę
punktów nieciągłości jest całkowalna.
53
VI. Rachunek całkowy
Twierdzenie 8. Każda funkcja monotoniczna i ograniczona jest całkowalna.
Twierdzenie 9. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w przedziale ha, bi oraz λ ∈ R, to funkcje f + g,
f − g, λf , f · g są całkowalne w przedziale ha, bi. Ponadto
b
Z
f (x) + g(x) dx =
a
Z
b
g(x)dx,
a
b
Z
Z
a
b
g(x)dx,
a
a
b
Z
b
Z
f (x)dx −
f (x) − g(x) dx =
a
b
Z
f (x)dx +
b
Z
λf (x) dx = λ
a
f (x)dx.
a
Twierdzenie 10. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale ha, bi oraz c ∈ ha, bi, to
b
Z
Z
f (x)dx =
a
c
b
Z
f (x)dx +
a
f (x)dx.
c
Twierdzenie 11. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w przedziale ha, bi i f (x) 6 g(x) dla każdego
x ∈ ha, bi, to
Z b
Z b
f (x)dx 6
g(x)dx.
a
a
Twierdzenie 12 (Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego). Niech f : ha, bi → R i niech
F : ha, bi → R będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym ha, bi. Jeśli F jest funkcją pierwotną
funkcji f w przedziale otwartym (a, b), to
b
Z
f (x)dx = F (b) − F (a).
a
Uwaga 8. Powyższe twierdzenie daje zwiazek między całką oznaczoną a całką nieoznaczoną (funkcją
b
pierwotną). Często prawą stronę powyższego wzoru zapisujemy w postaci F (x) a albo w postaci
b
x=b
F (x) albo też F (x)
. Zatem powyższy wzór można napisać jako
a
x=a
b
Z
a
b
f (x)dx = F (x) a .
Przykład 9.
1√
Z
Z
xdx =
0
1
1
x 2 dx =
0
2
3x
3 1
2
0
=
2
3
− 0 = 32 .
Przykład 10.
Z
0
π
π
sin xdx = − cos x 0 = − cos π − (− cos 0) = −(−1) + 1 = 2.
Przykład 11. Dla dowolnego b > 1
Z
1
b
b
dx = ln x 1 = ln b − ln 1 = ln b − 0 = ln b.
x
Stąd też inna definicja liczby e jako jedynej liczby rzeczywistej b o tej własności, że
Rb
dx
1 x
= 1.
54
VI. Rachunek całkowy
3. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Riemanna
Niech f i g będą funkcjami całkowalnymi w przedziale domkniętym ha, bi. Całka oznaczona ma
prostą interpretację geometryczną w prostokątnym układzie współrzędnych.
Twierdzenie 13. Jeżeli f (x) 6 g(x) dla każdego x ∈ ha, bi, to pole P obszaru płaskiego określonego
układem nierówności
(
a 6 x 6 b,
f (x) 6 y 6 g(x)
równa się całce oznaczonej
Z
b
g(x) − f (x) dx.
P =
a
Przykład 12. Pole obszaru opisanego układem nierówności
(
−1 6 x 6 1,
x2 − 1 6 y 6 1 − x2
jest równe
Z
1
2
2
1 − x − (x − 1) dx =
P =
−1
Z
1
−1
1
(2 − 2x2 )dx = 2x − 32 x3 −1 = (2 − 23 ) − (−2 + 32 ) = 2 23 .
Przykład 13. Obliczymy pole koła o promieniu r > 0 i środku w punkcie S = (0, 0). Jest to figura
opisana w prostokątnym układzie współrzędnych nierównościami
(
−r 6 x 6 r,
√
√
− r 2 − x2 6 y 6 r 2 − x2 .
Zatem pole koła jest równe
Z r p
Z
p
P =
r2 − x2 − (− r2 − x2 ) dx =
−r
r
2
−r
2
p
p
r
r2 − x2 dx = x r2 − x2 + r2 arcsin xr −r =
2
= (0 + r arcsin 1) − (0 + r arcsin(−1)) = r2 π2 − r2 (− π2 ) = πr2 ,
π
2
gdyż wartość arcsin 1 =
oraz arcsin(−1) = − π2 .
Przykład 14. Pole obszaru opisanego nierównościami
(
0 6 x 6 1,
√
x2 6 y 6 x
jest równe
Z
P =
0
1
3
1
√
( x − x2 )dx = 32 x 2 − 13 x3 0 = ( 23 − 13 ) − (0 − 0) = 13 .
Przykład 15. Pole obszaru opisanego nierównościami
(
−1 6 x 6 1,
1
0 6 y 6 1+x
2
jest równe
Z
1
P =
−1
1
1
arctg x −1 = arctg 1 − arctg(−1) =
( 1+x
2 − 0)dx =
π
4
− (− π4 ) = π2 .
55
VI. Rachunek całkowy
4. Inne zastosowanie całki oznaczonej
Twierdzenie 14. Jeżeli funkcja f ma ciągłą pochodną f 0 w przedziale ha, bi, to długość łuku krzywej
na płaszczyźnie opisanej równaniem y = f (x) dla x ∈ ha, bi, wyraża się wzorem
Z bq
2
L=
1 + f 0 (x) dx.
a
Przykład 16. Obliczymy długość tak zwanej krzywej łańcuchowej, tzn. krzywej, której kształt
przyjmują na przykład druty telegraficzne roziągnięte miedzy słupami lub mosty ugięte pod własnym
ciężarem. Krzywa ta ma równanie
y = 21 (ex + e−x ),
x ∈ h−a, ai,
gdzie a > 0. Niech f (x) = 12 (ex + e−x ), x ∈ h−a, ai. Wtedy f 0 (x) = 21 (ex − e−x ), a więc długość
krzywej łańcuchowej wynosi
Z aq
Z aq
Z aq
2
2
1 x
1 2x
1
1 −2x
0
−x
L=
1 + f (x) dx =
1 + 2 (e − e ) dx =
dx =
4e + 2 + 4e
−a
−a
−a
Z aq
Z a
a
−x
1 x
1 −x 2
1 x
=
dx = 12 ex − e−x −a = 21 ea − e−a
e
+
e
dx
=
2
2
2 e +e
−a
−a
− 12 e−a − ea = ea − e−a .
Twierdzenie 15. Niech f będzie funkcją posiadającą ciągłą pochodną w przedziale ha, bi i taką, że
f (x) > 0 dla wszystkich x ∈ ha, bi. Jeżeli F jest figurą płaską określoną nierównościami
(
a 6 x 6 b,
0 6 y 6 f (x),
to obracając figurę F dookoła osi x otrzymujemy figurę G, której:
1) objętość V wyraża się wzorem
Z
b
2
f (x) dx,
V =π
a
2) pole powierzchni bocznej S wyraża się wzorem
Z
S = 2π
b
f (x)
q
2
1 + f 0 (x) dx.
a
Przykład 17. Obliczymy objętość figury powstałej przez obrót krzywej y =
Z
V =π
0
b
√
( x)2 dx = π
Z
b
xdx = π
0
1
2x
2 b
0
=
√
x dla x ∈ h0, bi.
πb2
2 .
56
VI. Rachunek całkowy
5. Całka niewłaściwa
Niech f : ha, b) → R będzie funkcją całkowalną w każdym przedziale domkniętym ha, βi, gdzie
a < β < b; istnieje więc całka
β
Z
f (x)dx
I(β) =
(1)
β < b.
dla każdego
a
Punkt b nazywać będziemy punktem osobliwym funkcji f , jeżeli albo b = +∞, a więc przedział
ha, b) jest nieskończony, albo b jest liczba skończoną, lecz funkcja f nie jest ograniczona w otoczeniu
punktu b.
Jeżeli b jest punktem osobliwym funkcji f i całka (1) dąży do określonej granicy, gdy β → b, to
granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f na przedziale ha, b) i oznaczamy przez
Z
b
f (x)dx.
a
Mamy więc
b
Z
Z
β
f (x)dx.
f (x)dx = lim
β→b a
a
Całka niewłaściwa nie istnieje, jeśli nie istnieje ta granica.
Analogicznie określamy całkę niewłaściwą funkcji f określonej w przedziale (a, bi, gdy a jest
punktem osobliwym, tj. albo a = −∞, albo funkcja f nie jest ograniczona w otoczeniu punktu a.
Zakładając, że funkcja jest całkowalna w każdym przedziale hα, bi, gdzie a < α < b, przyjmujemy
b
Z
Z
f (x)dx = lim
α→a α
a
Przykład 18. Funkcja f (x) =
+∞
Z
1
1
x2
1
0
f (x)dx.
ma w przedziale h1, +∞) całkę niewłaściwą równą 1, gdyż
β
Z
dx
= lim
β→+∞
x2
1
1
dx
=
lim
−
+
1
= 1.
β→+∞
x2
β
Przykład 19. Całka niewłaściwa funkcji f (x) =
Z
b
dx
= lim
α→0
x
Z
1
α
1
x
w przedziale (0, 1i nie istnieje, bo
dx
= lim (ln 1 − ln α) = +∞.
α→0
x
Jeżeli funkcja f ma w przedziale (a, b) więcej punktów osobliwych (lecz skończoną ilość), dzielimy
przedział całkowania na części mające po jednym punkcie osobliwym na początku lub na końcu przedziału, obliczamy całki niewłaściwe w tych przedziałach i sumę otrzymanych całek (jeśli wszystkie
istnieją) nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale (a, b).
Przykład 20.
Z
+∞
−∞
dx
=
1 + x2
Z
0
dx
+
1 + x2
Z
+∞
dx
= lim
1 + x2 α→−∞
Z
0
dx
+ lim
2
β→+∞
−∞
0
α 1+x
π π
= lim (− arctg α) + lim (arctg β) = + = π.
α→−∞
β→+∞
2
2
Z
0
β
dx
=
1 + x2
57