podstawy robotyki i - Politechnika Warszawska

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu
„Podstawy Robotyki”
dr inż. Marek Wojtyra
Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki Stosowanej
Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa
Politechnika Warszawska
1
Założenia wstępne
Pod hasłem podstawy robotyki może kryć się szeroki wachlarz zagadnień związanych
z robotami. Jednakże opracowując przedmiot skupiono się przede wszystkim na problematyce
związanej z mechaniką manipulatorów. Inne zagadnienia, dotyczące m.in. napędów,
sterowania, programowania oraz konstruowania podzespołów robotów, są bowiem omawiane
na innych przedmiotach.
Studenci uczęszczający na przedmiot są zaznajomieni z odpowiednimi działami
matematyki i z podstawami mechaniki. Jednakże wiadomości z mechaniki wymagają
uzupełnienia w zakresie dotyczącym przestrzennego ruchu członu i układu członów, a także
macierzowego zapisu równań mechaniki. Zagadnieniom tym poświęcono pierwszą część
wykładu.
Wykład jest podzielony na trzy części. Pierwsza dotyczy matematycznego opisu ruchu
członów w przestrzeni, druga poświęcona jest kinematyce, a trzecia dynamice manipulatorów.
W zapisie wzorów konsekwentnie stosowana będzie notacja macierzowa, dzięki czemu
wykonywane obliczenia będzie można łatwo oprogramować. W treść wykładu wplecione
będą liczne przykłady obliczeniowe, ilustrujące omawiane zagadnienia (nie są one jednak
sygnalizowane w zamieszczonym poniżej konspekcie).
W trakcie prac nad preskryptem zawartość merytoryczna oraz układ treści mogą
podlegać modyfikacjom.
Konspekt wykładu
1. Ruch członów w przestrzeni
1.1. Algebraiczna reprezentacja wektorów
Geometryczna i algebraiczna reprezentacja wektorów, działania na wektorach
(dodawanie, mnożenie przez skalar, iloczyn skalarny i wektorowy). Pokazanie
analogii pomiędzy działaniami na wektorach w obu reprezentacjach.
1.2. Zapis wektora w różnych układach odniesienia
Wyprowadzenie zależności pomiędzy współrzędnymi wektora zapisanego w różnych
układach odniesienia. Wprowadzenie pojęcia kosinusów kierunkowych i definicja
macierzy kosinusów kierunkowych.
1.3. Macierz kosinusów kierunkowych
1.3.1. Własności macierzy kosinusów kierunkowych
Macierz kosinusów kierunkowych jako złożenie trzech wersorów osi układu
odniesienia. Ortogonalność macierzy kosinusów i jej konsekwencje.
1.3.2. Macierze kosinusów dla elementarnych obrotów
Wyprowadzenie wzorów opisujących macierze kosinusów dla elementarnych
obrotów (obrotów wokół osi układu odniesienia). Wykazanie, że składanie
obrotów elementarnych nie jest operacją przemienną.
1.3.3. Kąty Eulera i inne układy kątów
Kąty Eulera – wyprowadzenie wzorów pozwalających na obliczenie macierzy
kosinusów dla zadanych kątów oraz wzorów odwrotnych. Omówienie
2
osobliwości zapisu orientacji w kątach Eulera. Kąty Bryanta i inne układy kątów.
Obroty względem osi ruchomych i osi stałych.
1.3.4. Parametry Eulera
Obroty wokół dowolnej osi. Parametry Eulera i macierz kosinusów wyrażona
w parametrach Eulera – wyprowadzenie wzorów. Wyprowadzenie wzorów
odwrotnych. Dyskusja braku osobliwości opisu orientacji w parametrach Eulera.
1.4. Prędkość i przyspieszenie kątowe; pochodne macierzy rotacji
1.4.1. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe
Związek pomiędzy pochodną macierzy kosinusów kierunkowych a prędkością
kątową – równania Poissona. Składanie prędkości kątowych. Obliczanie
przyspieszenia kątowego.
1.4.2. Prędkość i przyspieszenie kątowe w funkcji kątów Eulera
Wyprowadzenie zależności pomiędzy wektorem prędkości kątowej
a pochodnymi parametrów Eulera. Wyprowadzenie związków dla przyspieszeń.
1.4.3. Pochodne macierzy elementarnych obrotów
Różniczkowanie macierzy kosinusów dla elementarnych obrotów. Zastępowane
operacji różniczkowania mnożeniem przez stałą macierz i skalarną wartość
prędkości.
1.5. Ruch złożony członu
1.5.1. Położenie i orientacja członu
Obliczanie współrzędnych punktu i orientacji członu. Transformacje
współrzędnych pomiędzy układami odniesienia. Porównanie wzorów
wykorzystujących zapis macierzowy ze wzorami w reprezentacji geometrycznej
wektorów.
1.5.2. Prędkość liniowa punktu i kątowa członu
Obliczanie prędkości liniowej punktu i kątowej członu – wyprowadzenie wzorów
w zapisie macierzowym i porównanie ze wzorami w reprezentacji
geometrycznej.
1.5.3. Przyspieszenie liniowe punktu i kątowe członu
Obliczanie przyspieszenia liniowego punktu i kątowego członu – wyprowadzenie
wzorów w zapisie macierzowym i porównanie ze wzorami w reprezentacji
geometrycznej.
1.5.4. Obliczenia rekurencyjne
Rekurencyjne obliczanie położeń, prędkości i przyspieszeń liniowych punktów
oraz kątowych członów w otwartym łańcuchu kinematycznym.
1.6. Transformacje jednorodne
1.6.1. Zapis wzorów we współrzędnych jednorodnych
Jednorodny zapis wzorów. Budowa macierzy transformacji i interpretacja jej
elementów. Wyznaczanie macierzy odwrotnej. Zalety i wady zapisu
jednorodnego.
3
1.6.2. Parametry Denavita-Hartenberga
Parametry Denavita-Hartenberga – definicja, reguła wprowadzania lokalnych
układów odniesienia. Macierz transformacji jednorodnych wyrażona
w parametrach D-H. Różniczkowanie macierzy transformacji, wyznaczanie
prędkości i przyspieszeń.
2. Kinematyka manipulatorów
2.1. Pojęcia podstawowe
Człon para kinematyczna, łańcuch kinematyczny (otwarty i zamknięty), stopnie
swobody, manipulator, przestrzeń robocza, manipulator redundantny. Struktura –
manipulatory szeregowe i równoległe. Współrzędne wewnętrzne (konfiguracyjne),
zewnętrzne (kartezjańskie) i napędowe.
2.2. Zadania kinematyki
2.2.1. Uwagi wstępne
Definicja prostego i odwrotnego zadania kinematyki, omówienie ich
praktycznego znaczenia. Zalety i wady analitycznego i numerycznego
rozwiązywania zadań kinematyki.
2.2.2. Zadanie proste kinematyki dla manipulatora szeregowego
Algorytm rozwiązywania zadania prostego dla manipulatorów szeregowych.
Jednoznaczność rozwiązania. Niemacierzowy zapis wzorów.
2.2.3. Zadanie odwrotne kinematyki dla manipulatora szeregowego
Sformułowanie zadania odwrotnego, wybór zadawanych parametrów
kinematycznych i dodatkowych warunków (dla robotów redundantnych).
Dyskusja braku rozwiązań lub występowania rozwiązań wielokrotnych. Wybór
konfiguracji manipulatora. Brak gwarancji istnienia rozwiązania analitycznego.
Dobór metody rozwiązywania zadania (analitycznej lub numerycznej).
2.2.4. Zadania kinematyki dla manipulatorów równoległych
Typowe łańcuchy napędowe manipulatorów równoległych. Zadanie odwrotne
kinematyki – dyskusja istnienia rozwiązania analitycznego i występowania
wielokrotnych rozwiązań. Zadanie proste kinematyki – częsty brak rozwiązań
analitycznych, wielość rozwiązań, nieistnienie rozwiązań.
2.2.5. Rozwiązywanie zadań kinematyki metodami numerycznymi
Przypomnienie wiadomości o metodach numerycznego rozwiązywania układów
nieliniowych równań algebraicznych. Omówienie zagadnienia zbieżności
obliczeń do poszukiwanego rozwiązania (konfiguracji manipulatora) i doboru
przybliżenia startowego. Zalety i wady stosowania metod numerycznych.
2.3. Zadania kinematyki o prędkości i przyspieszeniu
2.3.1. Jakobian manipulatora
Wykazanie istnienia liniowej zależności pomiędzy prędkością liniową i kątową
końcówki manipulatora a prędkościami złączowymi. Definicja jakobianu
manipulatora. Analiza jakobianu i informacji o właściwościach manipulatora
zawartych w jakobianie. Konfiguracje osobliwe i ich geometryczna interpretacja.
4
Wzory na kolumny jakobianu odpowiadające typowym parom kinematycznym
w manipulatorze szeregowym. Jakobian manipulatora równoległego i wzór na
wiersze jakobianu odpowiadające typowym łańcuchom napędowym.
2.3.2. Zadanie kinematyki o prędkości
Sformułowanie zadania prostego i odwrotnego o prędkości. Wykorzystanie
jakobianu manipulatora w rozwiązywaniu zadań o prędkości. Dyskusja istnienia
rozwiązania. Możliwość gwałtownego wzrostu prędkości w okolicach
konfiguracji osobliwej.
2.3.3. Zadanie kinematyki o przyspieszeniu
Sformułowanie zadania prostego i odwrotnego o przyspieszeniu.
Wyprowadzenie niezbędnych wzorów. Dyskusja istnienia rozwiązania.
2.4. Planowanie trajektorii
Ruch liniowy i quasiliniowy. Planowanie ruchu końcówki manipulatora wzdłuż
zadanej trajektorii. Kształtowanie profilu prędkości.
3. Dynamika manipulatorów
3.1. Uwagi wstępne
Sformułowanie zadania prostego i odwrotnego dynamiki. Omówienie kolejności
prezentowania zagadnień.
3.2. Równowaga statyczna członu sztywnego i manipulatora
3.2.1. Równowaga statyczna członu. Oddziaływania w parach kinematycznych
Wypadkowa siła i moment. Warunki równowagi statycznej członu. Obliczanie
reakcji i sił napędowych działających w parach kinematycznych.
3.2.2. Równowaga statyczna manipulatora
Warunki równowagi manipulatora. Zasada mocy chwilowych i jej związek
z jakobianem manipulatora. Siły reakcji w pobliżu konfiguracji osobliwej.
3.3. Dynamika członu sztywnego
3.3.1. Rozkład masy członu
Momenty statyczne i środek masy. Macierz bezwładności. Uogólnienie
twierdzenia Steinera.
3.3.2. Pęd i energia kinetyczna członu
Pęd, kręt i energia kinetyczna członu. Twierdzenie Koeniga.
3.3.3. Równania ruchu członu
Równania Newtona-Eulera – wyprowadzenie i omówienie. Zapis równania
Eulera w ruchomym układzie odniesienia.
3.4. Zadania dynamiki
Zadanie proste i odwrotne dynamiki dla manipulatorów, sformułowanie, metody
rozwiązywania.
5