INSTRUKCJA - moment bezwładności

LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ
Instrukcja do ćwiczenia
1b
Wyznaczanie momentów bezwładności elementów
maszyn metodą wahadła fizycznego
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie z eksperymentalnymi i analitycznymi metodami wyznaczania masowych momentów bezwładności części maszyn. W ramach realizowanego ćwiczenia stosuje się metodę wahadła fizycznego.
.
Literatura
1. J.Leyko, Mechanika Ogólna, tom II, rozdz. VII.
2. K.Zarankiewicz, Mechanika Teoretyczna, tom III, rozdz. X.
Zagadnienia kontrolne
1. Definicje masowych momentów bezwładności bryły sztywnej i układu punktów materialnych:
a) względem płaszczyzny,
b) względem osi,
c) względem punktu.
2. Zależności pomiędzy momentami bezwładności w prostokątnym układzie współrzędnych (np. momentem biegunowym a momentami względem trzech prostopadłych osi).
3. Moment dewiacyjny dla układu punktów materialnych i bryły sztywnej
4. Twierdzenie Steinera dla osi równoległych i umiejętność jego stosowania przy wyznaczaniu momentu bezwładności
5. Masowe momenty bezwładności względem osi: walca, pręta, prostopadłościanu,
płyty prostokątnej, tarczy kołowej, pierścienia – wzory i umiejętność stosowania
6. Promień bezwładności i masa zredukowana dla momentów bezwładności
7. Główne i główne centralne osie bezwładności
8. Równanie ruchu obrotowego bryły sztywnej
9. Okres wahań wahadła fizycznego i jego pomiar
10. Wielkości, od których zależy okres wahań i częstość kołowa ruchu wahadła fizycznego
11. Opis matematyczny ruchu wahadła fizycznego (dokładny i przybliżony) i warunek
przejścia do przybliżonego równania ruchu
12. Zależność pomiędzy częstością kołową a okresem
13. Analityczne wyznaczenie momentów bezwładności ciała złożonego z prostych
elementów
14. Zasadniczy przebieg ćwiczenia
wer. 2014 MT
1
Uwaga! Instrukcja dotyczy podstaw samego ćwiczenia. Aby opanować materiał
dotyczący powyższych zagadnień należy sięgnąć do podanej literatury.
1. Podstawy teoretyczne dotyczące przeprowadzenia eksperymentu
Wahadłem fizycznym nazywamy dowolne ciało sztywne mogące się obracać wokół osi poziomej, które wykonuje drgania pod wpływem siły grawitacji (rysunek 1).
Rys. 1. Przekrój wahadła fizycznego i punkty zawieszenia A i B
Na rysunku 1 przedstawiono przekrój takiego ciała w płaszczyźnie prostopadłej do
osi obrotu i przechodzącej przez środek masy ciała. Wybrany punkt, w którym oś obrotu przebija wspomnianą płaszczyznę, możemy nazwać punktem zawieszenia wahadła (na rysunku punkt A lub B w zależności od sposobu zawieszenia wahadła).
Mamy wyznaczyć moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej
przez środek masy C i równoległej do osi obrotu przechodzącej przez punkt A.
Okres drgań wahadła fizycznego wynosi odpowiednio:
- gdy oś obrotu przechodzi przez punkt A:
TA = 2π
JA
,
mag
(1a)
- gdy oś obrotu przechodzi przez punkt B:
TB = 2π
JB
,
m(l − a ) g
(1b)
gdzie: JA –moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez
punkt A,
JB –moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez punkt B,
a – odległość punktu A od środka masy C,
l – odległość pomiędzy punktami A i B z rysunku 1 (między osiami obrotu),
m – masa wahadła.
Stąd, momenty bezwładności względem osi przechodzących odpowiednio
przez punkty A i B wynoszą:
wer. 2014 MT
2
JA =
mgaTA
4π 2
2
mg (l − a )TB2
JB =
4π 2
[kg ⋅ m2 ]
(2a)
[kg ⋅ m2 ]
(2b)
Korzystając z twierdzenia Steinera i z zależności (2a i 2b) można określić moment bezwładności badanego elementu względem osi przechodzącej przez środek
masy oraz odległość punktu zawieszenia A od środka masy:
 agTA2

J c = 
− a 2 m
2
 4π

a=
glTB2 − 4π 2l 2
g TA2 + TB2 − 8π 2l
(
)
[kg ⋅ m2 ]
(3)
[m ]
(4)
2. Oszacowanie niepewności pomiarowej
Załóżmy dalej, że niepewności poszczególnych pomiarów są niezależne i losowe.
Aby uprościć obliczenia przyjmijmy, że niepewność oszacowania g (przyspieszenia
ziemskiego) jest pomijalnie mała (bliska zeru) w porównaniu do innych niepewności.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że pomiar a obarczony jest niepewnością:
(5)
∆a ≈ ∆l
Ogólna zależność określająca jak przenoszą się błędy wielkości mierzonych na
wyznaczaną pośrednio wielkość, przy założeniu niezależności błędów wielkości mierzonych, przedstawia się następująco1:
 ∂y 
 ∂y 
∆y =  ∆x  + ... +  ∆z 
 ∂x 
 ∂z 
2
2
(6)
gdzie y(x,..z) jest wielkością wyznaczaną metodą pośrednią na podstawie pomiaru
wartości x,...z.
Ostatecznie można zapisać, że niepewność oszacowania momentu bezładności
elementu względem osi przechodzącej przez środek ciężkości wynosi:
2
2
2
 gT 2
  2agmTA

 
  agTA
∆J c =  A2 − a m∆a  + 
∆
T
+
− a 2 ∆m

A
2
2
  4π
 4π
  4π

 
2
[kg ⋅ m2 ]
(7)
1
Aby poszerzyć wiedze z tego zakresu sięgnij po książkę: John R. Taylor; Wstęp do analizy błędu pomiarowego;
PWN Warszawa 1999 i późniejsze wydania (rozdział 3).
wer. 2014 MT
3
Podobnie niepewność towarzyszącą pomiarowi metodą pośrednią momentu bezwładności elementu względem osi przechodzącej przez punkt A i punkt B można
oszacować jako:
2
2
2
 gaTA 2
  2mgaTA

  mgTA


∆J A = 
∆
m
+
∆
T
+
∆
a


A
2
2
2
  4π
 4π

4
π





2
[kg ⋅ m2 ]
(8)
2
2
2
2
 g (l − a )TB 2
  2mg (l − a )TB
  mgTB 2 
  mgTB


∆J B = 
∆m  + 
∆TB  + 
∆a  + 
∆l 
2
2
2
2
4
π
4
π
4
π
4
π





 

2
[kg ⋅ m2 ]
gdzie: ∆TA , ∆TB , ∆l są niepewnościami pomiarowymi wielkości mierzonych bezpośrednio: okresów wahań wahadła podwieszonego na osiach przechodzących przez
punkty A i B oraz odległości pomiędzy A i B.
3. Przebieg ćwiczenia
Opis kolejnych kroków, które należy wykonać znajduje się w arkuszu sprawozdania.
Poniżej zwrócono uwagę na pewne istotne zagadnienia.
1. Ćwiczenie można wykonać w różnych wariantach dokręcając do zasadniczej
części wahadła dodatkowe walce (wariant ćwiczenia zadaje prowadzący).
Poniżej przedstawiono tabelę dotyczącą możliwych wariantów ćwiczenia. Dla
ułatwienia weryfikacji wyników przestrzegaj ściśle tego co podano w tabeli
i zamieszczono na szkicu obok.
Dodatkowy
element I
Wariant
1
2
3
4
5
Dodatkowy element I
bez
o większej masie
o mniejszej masie
o większej masie
oba elementy połączone ze sobą
Podwieszenie A
Dodatkowy element II
bez
bez
bez
o mniejszej masie
bez
Podwieszenie B
Dodatkowy
element II
2. Narysuj badane wahadło fizyczne zgodnie z zasadami rysunku technicznego
i zwymiaruj je. Zrób to tak, aby móc później na podstawie rysunku obliczyć
analitycznie moment bezwładności badanego wahadła.
3. Określ masę całego wahadła (razem z dodatkowymi elementami jeśli występują) i w późniejszych obliczeniach przyjmij jednorodność materiału wszystkich
elementów wahadła fizycznego. Gęstość materiału, z którego wykonane jest
wahadło należy określić na podstawie objętości bryły wahadła i zmierzonej
wer. 2014 MT
4
4.
5.
6.
7.
8.
9.
masy. Możesz sprawdzić swój wynik odnosząc się do przybliżonej wartości
tablicowej gęstości mosiądzu.
Określ odległość pomiędzy osiami podwieszeń (czy też punktami A i B z rysunku 1) z dokładnością do ±0,5 mm.
Przy doświadczalnym wyznaczaniu momentu bezwładności należy zmierzyć
czas 10 wahnięć (10 okresów ruchu) elementu.
Każdy pomiar należy powtórzyć 20 razy dla dwóch różnych podwieszeń elementu A i B.
Przy wyznaczaniu analitycznym momentów bezwładności wykorzystaj wcześniej obliczoną gęstość oraz przyjmij, że pręt łączący dwie tuleje wahadła ma
przekrój kołowy. Przyjmij średnicę zastępczą przy takim uproszczeniu. We
wnioskach wyjaśnij dlaczego przyjąłeś taką a nie inna wartość.
Obliczenia przeprowadź w sposób weryfikowalny tzn. wyjaśnij poszczególne
kroki (nazwij konkretnie to co w danym momencie obliczasz), przedstaw wzór,
podstawienie i wynik.
We wnioskach, oprócz wspomnianych wyżej zagadnień, należy ustosunkować
się do otrzymanych wyników, a w szczególności do przyczyn ewentualnie występujących różnic pomiędzy wartościami uzyskanymi z obliczeń analitycznych oraz z eksperymentu, uwzględniając przy tym oszacowanie niepewności
pomiarowej. Dodatkowo możesz wykonać symulacje i odpowiedzieć na pytanie: czy np. wybór innej charakterystycznej średnicy przekroju kołowego zmieni istotnie wynik? We wnioskach zamieścić swoje spostrzeżenia. Zastanów
się także nad najbardziej istotnymi źródłami niepewności pomiarowej w przyjętej metodzie.
wer. 2014 MT
5