Ćwiczenie 1. Wahadła fizyczne

Ćwiczenie 1. Wahadła fizyczne
Małgorzata Nowina-Konopka, Andrzej Zięba
Cel ćwiczenia
Zapoznanie się z ruchem drgającym wahadła fizycznego. Wyznaczenie momentu
bezwładności brył sztywnych przez pomiar okresu drgań.
Wprowadzenie
Wahadłem matematycznym nazywamy punktową masę zawieszoną na nieważkiej
nici (rys. 1.2 w rozdziale 1). Jego przybliżoną realizację stanowić może kula zawieszona na realnych niciach (układ taki badamy w ćwiczeniu 2). Wahadłem fizycznym
nazywamy natomiast bryłę sztywną mogącą obracać się wokół osi obrotu O nie przechodzącej przez środek ciężkości S (rys.1).
Wahadło odchylone od pionu o kąt θ,
a następnie puszczone swobodnie, będzie
wykonywać drgania zwane ruchem wahadłowym. W ruchu tym mamy do czynienia
z obrotem bryły sztywnej wokół osi O, opisuje go zatem druga zasada dynamiki dla
ruchu obrotowego. Zasady dynamiki dla ruchu postępowego, ma = F , i obrotowego,
I = M , są matematycznie identyczne, tyle że zamiast masy m mamy moment bezwładności I, odpowiednikiem przyspieszenia liniowego a jest przyspieszenie kątowe
= d2 θ/dt2 i odpowiednikiem siły F jest
moment siły M .
Rys.1. Wahadło fizyczne
Dla wahadła fizycznego moment siły powstaje pod wpływem siły ciężkości. Dla wychylenia θ jest równy M = mga sin θ, gdzie
a oznacza odległość środka ciężkości S od osi obrotu O. Zatem równanie ruchu wahadła można zapisać jako
d2 θ
I0 2 = −mga sin θ.
(1.1)
dt
Znak minus po prawej stronie uwzględnia fakt, że moment siły jest skierowany przeciwnie do kierunku wychylenia.
Jeżeli ograniczyć ruch do małych kątów wychylenia (kilka stopni), to sinus kąta
można zastąpić samym kątem w mierze łukowej, czyli sin θ ≈ θ. Przy tym założeniu
równanie (1.1) przyjmuje postać
d2 θ
+ ω02 θ = 0,
dt2
1-1
(1.2)
gdzie ω02 =
mga
. Rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest funkcja
I0
θ = θm cos(ω0 t + α).
(1.3)
Wzór (1.3) wskazuje, że wahadło porusza się ruchem harmonicznym prostym. Amplituda θm i faza α zależą od warunków początkowych. Okres drgań T , związany
bezpośrednio z częstością ω0 wynosi
s
I0
T = 2π
.
(1.4)
mga
W ćwiczeniu mierzymy okres wahadła T i odległość a, co umożliwia wyznaczenie
dla badanego ciała momentu bezwładności I0 . Występujący w wyrażeniach (1.1)–
(1.4) moment I0 jest momentem bezwładności względem osi obrotu przechodzącej
przez punkt zawieszenia O. Dla wyznaczenia momentu bezwładności IS względem
równoległej osi przechodzącej przez środek ciężkości możemy posłużyć się związkiem
między I0 i IS znanym jako twierdzenie Steinera
I0 = IS + ma2 .
(1.5)
Bryłę sztywną można traktować jako ciągły zbiór punktów materialnych o różnych
odległościach od osi obrotu. Z definicji moment bezwładności punktu materialnego
jest iloczynem masy i kwadratu odległości od osi obrotu. Momenty bezwładności brył
sztywnych, tak I0 jak i IS , wyraża się jako całkę oznaczoną
Z
r2 dm,
(1.6)
m
gdzie r jest odległością elementu masy dm od osi obrotu. Całkę 1.6 można analitycznie obliczyć dla brył jednorodnych o prostych kształtach (rys. 2). Przykłady takich
obliczeń podane są w podręcznikach.
Aparatura
Zestaw ćwiczeniowy stanowią pręt oraz pierścień metalowy, które zawiesza się na
odpowiednim statywie, a następnie wprowadza w ruch drgający. Potrzebne przyrządy pomiarowe to waga szalkowa lub elektroniczna, suwmiarka, przymiar milimetrowy
oraz sekundomierz.
1-2
Rys.2. Wymiary pręta i pierścienia, które należy zmierzyć w celu wyznaczenia momentu bezwładności
Wykonanie ćwiczenia
A. Wyznaczanie momentu bezwładności bryły sztywnej.
1. Zważyć pręt i pierścień.
2. Wykonać niezbędne pomiary długości (rys.2) za pomocą suwmiarki.
3. Wprawić pręt (pierścień) w ruch drgający o amplitudzie nie przekraczającej
kilku stopni i zmierzyć sekundomierzem czas kilkudziesięciu wahnięć. Pomiar
okresu powtórzyć 10 razy.
Uwaga. Ruch pręta (pierścienia) ma się odbywać w jednej płaszczyźnie.
Opracowanie wyników
1. Wyznaczyć moment bezwładności pręta i pierścienia względem osi obrotu O.
2. Obliczyć momenty bezwładności względem środka ciężkości IS , wykorzystując
twierdzenie Steinera.
3. Z prawa przenoszenia błędów obliczyć błędy wyznaczonych momentów.
4. Obliczyć wartości momentów bezwładności IS na podstawie zmierzonych wartości masy i wymiarów geometrycznych i porównać z wartościami uzyskanymi
z pomiaru okresu drgań.
B. Badanie funkcji rozkładu błędu pomiaru czasu.
Opis wykonania i opracowania wyników w ćwiczeniu 2.
1-3