Wahadło fizyczne

Wahadło fizyczne
Wahadło fizyczne – dowolna bryła sztywna mogąca obracać się do okoła osi NIE przechodzącej przez środek
ciężkości tej bryły.
Doświadczenie:
Wykorzystujemy układ 4 brył (które można przesuwać po ramionach na których są umieszczone) Przy danych
ustawieniach mierzymy okres wahań. Zmieniamy rozkład masy (zmieniając położenie ruchomych brył) i pomiar
powtarzamy. Obserwujemy różne wyniki pomiaru okresu.
Wniosek:
Okres wahań zależy od rozmieszczenia mas względem osi obrotu. Od rozmieszczenia mas zależy moment
bezwładności. Okres wahań jest wprost proporcjonalny do momentu bezwładności. Widać także wpływ
położenia środka masy względem osi obrotu na okres wahnięć.
Oś obrotu
X – wychylenie z położenia równowagi dla
małych kątów (<10o) = długości łuku,
r – odległość środka masy od osi obrotu.
M Fs = F s ⋅ r ⎫
⎪
Fs ⎬ M Fs = G ⋅ r ⋅ sin β
sin β =
G ⎪⎭
M Fs = m ⋅ g ⋅ r ⋅ sin β ⎫
⎪
x
⎬ M Fs = m ⋅ g ⋅ x
sin β =
⎪⎭
r
β
r
r
Ponieważ moment siły jest wprost proporcjonalny do
wychylenia, ruch wahadła jest ruchem harmonicznym.
O2
x
Fr
Fs
O1
β G
a
M
∧ε =
⇒ M =ε ⋅J ⇒
r
J
a
m⋅ g ⋅x⋅r
⇒ m ⋅ g ⋅ x = ⋅ J ⇒ a(x ) =
r
J
a = ε ⋅r ⇒ ε =
Z takim przyspieszeniem a(x) – porusza się środek masy wahadła
fizycznego.
Szukamy jaka musiała by być długość wahadła matematycznego
aby kulka poruszała się z takim samym przyspieszeniem:
Zakładamy wahadło matematyczne to r = l . Wobec tego:
x⎫
l ⎪F = m ⋅ g ⋅ x ⇒ m ⋅ a = m ⋅ g ⋅ x
F⎬
l
l
sin β = ⎪
G⎭
x
⎫
a= g⋅
⎪ x m⋅ g ⋅ x⋅r
l
g⋅ =
m⋅ g ⋅ x⋅r⎬ l
J
⎪
a( x ) =
J
⎭
Wahadło matematyczne o takiej długości
J
l=
będzie się wahać z takim samym okresem jak
m⋅r
wahadło fizyczne.
sin β =
Wniosek:
Długość zredukowana l wahadła fizycznego (do
matematycznego)
to
taka
długość
wahadła
matematycznego, które będzie drgało tak samo jak
wahadło fizyczne o momencie bezwładności J, masie m i
odległości osi obrotu od środka ciężkości r rozpatrywanej
bryły sztywnej.
l ⎫
⎪
J
g ⎪T = 2 ⋅ π ⋅
⎬
m⋅ g ⋅r
J
⎪
l=
⎪
m⋅r ⎭
T = 2 ⋅π ⋅
Wzór na okres drgań wahadła fizycznego.