Mathcad - Zapas wzmocnienia 1.m

Zadanie
Wyznacz wartość wzmocnienia K układu regulacji z następującą transmitancja układu
otwartego
G( s )
K
s .( 2 .s
1 ) .( s
1)
która to wartość sprowadzi układ: a) na granicę stabilności
b) zapewni 3dB zapas stabilności
Rozwiązanie
Składowe rzeczywiste i urojone transmitancji widmowej określają wyrażenia
P( ω )
Q( ω )
ad a)
Re( G( j .ω ) )
Im( G( j .ω ) )
complex
simplify
complex
simplify
K
3.
4 .ω
1
K.
ω. 1
2
. 1
ω
1
2 .ω
4 .ω
2
2
2
. 1
ω
2
Pulsacja graniczna - przecięcia fazy może być wyznaczona z przyrównania Q(ω) = 0.
Zatem
1
2 .ω
2
1
ωπ
czyli
0
2
Składowa rzeczywista, a zatem i moduł transmitancji widmowej przyjmie wartość
P ωπ
2.
K
3
Składowa ta ma mieć wartość P(ωπ) = 1 i stąd można wyznacz wartość graniczną
wzmocnienia.
Kg
ad b)
3
2
Dla zapewnienia 3 dB zapasu stabilnosci wzmocnienie w układzie wyznaczymy z zależności
20 log G ω π
3
zatem
1
G ωπ
Wzmocnienie zapewniające 3dB zapas wynosi
2
i stąd
1
2
2.
K
3
1
K
2.
K = 1.061
2
3
Łatwo spostrzec,że wartośc K można wyznaczyć z prostej zależności
K
Kg
2
Char. amplitudowo-fazowa.
1
1
Q ω ,K g
0.5
0
Q( ω , K )
OI
m
0
0.5
1
3
2.5
2
1.5
1
0.5
P ω , K g , P( ω , K ) , O R
m
0
0.5
1