Konspekt

L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
FIZYKA METALI - LABORATORIUM 6
Wyznaczanie modułu sztywności metodą wahadła torsyjnego
1. CEL ĆWICZENIA
Celem laboratorium jest zdobycie umiejętności i wiedzy w zakresie wyznaczania
modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego.
2. WSTĘP
Odkształcenia sprężyste występują w każdym materiale. Odkształcenia te mogą
pojawid się w wyniku działających na ciało sił zewnętrznych bądź zmian jego temperatury [1],
[2].
Odkształcenie materiału prowadzi do przemieszczenia się jego cząstek z
początkowych położeo równowagi w węzłach sieci krystalicznej. Tym przemieszczeniom
przeciwdziałają siły oddziaływania między cząsteczkami w wyniku, czego w odkształcanym
ciele pojawiają się siły sprężyste [1]. Siły te równoważą siły zewnętrzne, które wywołują to
odkształcenie [1].
Odkształcenie możemy nazwad sprężystym, jeżeli znika ono po ustaniu działania
wywołujących je sił zewnętrznych [1], [2], [3]. Po ustaniu działania sił zewnętrznych cząstki
ciała stałego powracają do swoich początkowych położeo równowagi. W przypadku
odkształceo niesprężystych następuje nieodwracalna przebudowa sieci krystalicznej,
w wyniku, czego początkowy kształt ciała nie zostaje zachowany [1]. Odkształcenia
niesprężyste są inaczej nazywane odkształceniami plastycznymi [2]. Odkształcenie sprężyste
może także przekształcid się w plastyczne, gdy ciało jest poddawane długotrwałym działaniu
nawet małych sił zewnętrznych [1].
Działające siły wewnętrzne są powodem powstawania naprężeo σ w materiale, które
wyliczamy następująco:

Fspr
So
)1(
[MPa]
gdzie:
1
L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
Fspr - wartośd siły sprężystej, [N];
So - początkowe pole powierzchni przekroju poprzecznego ciała, *mm2].
Naprężeniem nazywamy siły sprężyste przypadające na jednostkę początkowego pola
powierzchni przekroju porzecznego ciała [2]. W przypadku, gdy siła Fspr jest skierowana
wzdłuż normalnej do powierzchni S, to naprężenie nazywamy normalnym, a w przypadku,
gdy jest ona skierowana stycznie do powierzchni nazywamy je naprężeniem stycznym [1].
Zgodnie z prawem Hooke’a odkształcenia sprężyste są wprost proporcjonalne do
wywołujących je oddziaływao zewnętrznych. Przy dostatecznie małych odkształceniach
praktycznie wszystkie ciała można uważad za sprężyste. Naprężenie maksymalne, przy
którym załamuje się prawo proporcjonalności naprężenia i względnego odkształcenia,
nazywa się granicą sprężystości [1], [2].
Najprostszym odkształceniem jest rozciąganie (ciskanie) podłużne, co jest
równoważne zwiększeniu (zmniejszeniu) długości ciała pod wpływem rozciągającej
(ściskającej) siły zewnętrznej F. Zgodnie z prawem Hooke’a naprężenie normalne w tym
wypadku wynosi [1]:

F
 E
So
)2(
gdzie:
F - wartośd działającej siły zewnętrznej, *N+;
So - początkowe pole powierzchni przekroju poprzecznego ciała, *mm2];
ε - deformacja względna równa Δl/lo;
Δl - zmiana długości pod wpływem działania siły zewnętrznej, *mm+;
lo - początkowa długośd ciała, *mm+;
E - moduł sprężystości podłużnej, *MPa+.
W tym przypadku moduł sprężystości podłużnej jest nazywany modułem Younga.
Interpretacja fizyczna modułu Younga mówi jest on równy takiemu naprężeniu normalnemu
σ, przy którym liniowy wymiar ciała ulega podwojeniu (Δl=lo) [1], [2].
Zależnośd naprężenia normalnego σ od odkształcenia względnego ε dla rozciągania
liniowego przedstawia rysunek 1.
2
L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
Rysunek 1 Przykładowa krzywa rozciągania materiału.
Punkt „a” na powyższym wykresie opowiada granicy sprężystości σs dla materiału
ciągliwego, natomiast dla innych materiałów norma polska PN-71/H-04310 wyróżnia tzw.
umowną granicę sprężystości σ0.05, która wywołuje w próbce wydłużenie trwałe do 0.05 %
[2]. Po przekroczeniu punktu „a” prawo Hooke’a przestaje obowiązywad.
Po przekroczeniu granicy sprężystości σs dalsze zwiększanie naprężenia powoduje
znaczny wzrost względnego wydłużenia ε [1]. Mówi się wtedy o „płynięciu” materiału
i nazywa się ten odcinek krzywej granicą płynięcia, bądź plastyczności σp. Ze względu na
oscylacje przebiegu krzywej wokół wartości naprężenia plastycznego σ p wyróżnia się także
dolną i górną granicę plastyczności [2]. Istnieje jeszcze określona w normie umowna granica
plastyczności σ0.2, która jest takim naprężeniem, przy którym próbka doznaje 0.2 % trwałego
wydłużenia [2]. Po przekroczeniu wartości naprężenia σp, któremu odpowiada punkt „b” na
krzywej rozciągania materiału, względne wydłużenie badanej próbki może dalej wzrastad
wraz ze wzrostem naprężenia, lecz wzrost ten nie jest już liniowy. Największe naprężenie σ m,
odpowiadające punktowi „c” na wykresie, nazywa się wytrzymałością materiału na
rozciąganie Rm [1], [2]. Punkt „d” na rysunku 1 odpowiada zerwaniu ciała σu.
Ścinaniem nazywamy takie odkształcenie ciała, przy którym wszystkie jego płaskie
warstwy, równoległe do pewnej płaszczyzny ścinania, przesuwają się równolegle względem
siebie, nie zmieniając przy tym swoich wymiarów ani nie ulegając skrzywieniu [1].
3
L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
Rysunek 2 Odkształcenie ścinające w materiałach.
Ścinanie zobrazowano na rysunku 2, na którym zachodzi ono pod wpływem siły
stycznej F, przyłożonej do ściany DC, równoległej do płaszczyzny ścinania. Ściana AD, która
jest równoległa do BC, jest zamocowana nieruchomo. Przy małym ścinaniu jest spełniona
następująca zależnośd:
  tg 
CC'
CD
)3(
gdzie:
CC’ - wartośd przesunięcia wskutek działania siły F, *m+;
γ - kąt ścinania (lub ścinanie względne), *rad+.
Zgodnie z prawem Hooke’a ścianie jest proporcjonalne do naprężenia stycznego,
co można wyrazid następującym wzorem [1], [2]:
G
)4(
gdzie:
τ - naprężenie ścinające, *MPa+, τ=F/So;
So - pole ściany BC;
F - siła styczna, *N+;
G - moduł ścinania (sztywności), [MPa].
Moduł ścinania (sztywności) G inaczej nazywany jest modułem Kirchhoffa. Moduł
ten równy jest takiemu naprężeniu stycznemu, jakie pojawiłoby się w próbce przy ścinaniu
względnym równym jedności [1].
4
L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
Inną wielkością charakteryzującą odkształcenia ciał stałych jest liczba Poissona νp.
Liczba Poissona jest wielkością bezwymiarową i określa ona w jaki sposób odkształca się
badany materiał.
Jeżeli w punkcie ciała wykonanego z materiału izotropowego wyróżnimy kierunek k
i w tym punkcie działa tylko naprężenie σm ≠ 0 oraz pozostałe składowe naprężenia są równe
zero to liczbę Poissona można zdefiniowad następująco:
p  
n
k
)5(
gdzie:
ε – odkształcenie;
n – dowolny kierunek prostopadły do kierunku k.
Wielkośd tę można najprościej wyznaczyd poprzez pomiar zmian średnicy i długości
tego samego pręta rozciąganego [1]:
p 
 dd
)6(
l
l
gdzie:
d
d
- względne skrócenie średnicy pręta;
l
l
- względne wydłużenie pręta.
Na rysunkach 3 i 4 przedstawiono jak zmieniają się kształty pręta oraz sześcianu
wykonanych z materiału izotropowego podczas rozciągania w wybranym kierunku.
Rysunek 3 Zmiana kształtu pręta wykonanego z materiału izotropowego w wyniku działania
siły rozciągającej.
5
L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
Rysunek 4 Sześcian o krawędziach długości l wykonany z izotropowego materiału, poddany naprężeniu
w jednym kierunku. Czerwona kostka nie jest poddana naprężeniu, a niebieska jest rozciągnięta pod
wpływem
naprężenia,
w
kierunku,
w
którym
działało
naprężenie
wydłużenie
wyniosło
ΔL',
a w pozostałych kierunkach ΔL.
Wartości modułu Younge’a, modułu Kirchhoffa i liczby Poissona dla materiałów
izotropowych wiąże następujące równanie:
G
E
2  1   p 
)7(
Moduły sprężystości podłużnej E i poprzecznej G oraz liczba Poissona νp stosowane są
do charakterystyki właściwości mechanicznych stopów metali. Moduły sprężystości zależą od
energii wiązania, mianowicie maleją one ze zmniejszeniem się energii wiązania. Podobnie
zachowują się w przypadku zwiększenia temperatury z tym, ze w pobliżu temperatury
topnienia zmniejszają się gwałtownie. Moduły sprężystości mogą byd wykorzystywane do
oceny stopnia anizotropowości badanej próbki, ponieważ dla próbki wykazującej właściwości
anizotropowe moduł sprężystości zależy od kierunku, w jakim je wyznaczamy [2].
Liniowy oscylator harmoniczny jest to inaczej punkt materialny o masie m
wykonujący prostoliniowe drgania harmoniczne pod wpływem działania siły sprężystej F = kx [1]. Równanie F = - kx jest specjalnym przypadkiem prawa Hooke’a, który dotyczy ciał
sprężystych, współczynnik proporcjonalności k w tym równaniu charakteryzuje sprężystośd i
jest inaczej nazywana współczynnikiem sprężystości lub stałą sprężystości [4].
Przykładem liniowego oscylatora harmonicznego jest przedstawione na rysunku 5
wahadło sprężynowe, które składa się z ciała o masie m przyczepionego do sprężyny o stałej
sprężystości k. Rysunek 5 przedstawia 3 różne wychylenia takiego wahadła tj. wychylenie
maksymalne, minimalne oraz położenie w punkcie równowagi.
6
L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
Rysunek 5 Różne wychylenia oscylatora sprężynowego
Równanie ruchu oscylatora sprężynowego jest następujące:
m
d 2x
 kx 
dt 2
d 2x k
 x0
dt 2 m
)8(
Rozwiązanie równania (8) jest następujące:
x  A sin(t   0 )
)9(
Po podstawieniu rozwiązania (9) do równania (8) otrzymamy wzór na częstośd
kołową drgao oscylatora sprężynowego:

k
m
)11(
Znając częstośd kołową drgao można zapisad wyrażenie na okres drgao, ponieważ:
T
2

 2
m
k
)11(
Wahadło matematyczne jest to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i
nierozciągliwej nici widoczny na rysunku 6, który wykonuje wahania w płaszczyźnie pionowej
pod działaniem siły ciężkości równej:
F  mg sin 
)12(
7
L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
Rysunek 6. Wahadło matematyczne
Jak wynika z rysunku 6 Sinθ ~θ i jest równy w przybliżeniu x/l, więc można zapisad:
F 
mg
x
l
)13(
Częstośd kołowa drgao wahadła matematycznego jest równa;

k

m
mg
l
m

g
l
)14(
Okres drgao wahadła matematycznego wynosi:
T
2

 2
l
g
)15(
Przedstawione na rysunku 7 wahadło fizyczne jest bryłą sztywną wykonującą
wahania pod wpływem własnej siły ciężkości mg względem nieruchomej osi poziomej O,
która nie przebiega przez środek ciężkości ciała i oś ta nazywana jest osią drgao wahadła.
Środek ciężkości wahadła pokrywa się z jego środkiem masy S. Punkt O przecięcia się osi
wahao wahadła z pionową płaszczyzną przechodzącą przez środek ciężkości wahadła i
prostopadłą do osi wahao nazywamy punktem zawieszenia wahadła [1].
8
L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
Rysunek 7. Wahadło fizyczne
Równanie ruchu wahadła przy braku tarcia w zawieszeniu jest następujące:
d 2
J 2  mgd sin 
dt
)16(
gdzie:
α – kąt wychylenia wahadła z położenia równowagi,
d = OS – odległośd ośrodka masy wahadła od osi obrotu,
J – moment bezwładności względem tej osi,
m - masa wahadła,
g – przyśpieszenie ziemskie.
Dla małych wychyleo sinα ~ α i równanie (16) przyjmuje postad:
d 2 mgd

 0
J
dt 2
)17(
Rozwiązanie równania (17) jest następujące:
   0 sin(t   0 )
)18(
Po podstawieniu rozwiązania (17) do równania (18) otrzymamy wzór na częstośd
kołową drgao wahadła fizycznego:

mgd
J
)19(
Znając częstośd kołową drgao można zapisad wyrażenie na okres drgao, ponieważ:
9
L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
T
2

 2
J
mgd
)21(
Na rysunku 8 przedstawiono wahadło torsyjne jest to krążek lub inny element
zawieszony (element pomaraoczowy) na sztywno zamocowanym drucie (element zielony).
sztywne
zamocowanie
O
R
Θm
Q
P
Rysunek 8. Wahadło torsyjne
W położeniu równowagi zaznaczono linię radialną przechodzącą przez punkt P. Jeżeli
krążek obrócimy w płaszczyźnie poziomej do położenia Q, to drut zostanie skręcony. Wtedy
na krążek działa moment siły skręconego drutu i stara się przywrócid krążek do położenia P.
Moment ten jest momentem siły τ przywracającej równowagę. Jest on proporcjonalny do
wielkości skręcenia, czyli do kątowego przemieszczenia θ (prawo Hooke’a) [4]:
   D
)21(
Stała D zależy od właściwości materiału, z jakiego jest wykonany skręcany drut,
wielkośd tą nazywamy stałą skręcenia lub momentem kierującym.
Moment siły τ jest równy iloczynowi momentu bezwładności J oraz przyśpieszenia
kątowego α:
d
d 2
  J  J
J 2
dt
dt
)22(
10
L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
Porównując wzory (21) i (22) równanie ruchu dla wahadła torsyjnego można zapisad
następująco:
d 2 D
  0
J
dt 2
)23(
Rozwiązanie równania (23) jest następujące:
   0 sin(t   0 )
)24(
Po podstawieniu rozwiązania (24) do równania (23) otrzymamy wzór na częstośd
kołową drgao wahadła torsyjnego:

D
J
)25(
Znając częstośd kołową drgao można zapisad wyrażenie na okres drgao, ponieważ:
T
2

 2
J
D
)26(
Moment kierujący drgao D zależy od modułu sztywności D, promienia r i długości L
pręta skręcanego następująco:
D
Gr 4
)27(
2L
11
L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
1. INSTRUKACJA WYKONANIA LABORATORIUM NR L2
1.2 Przebieg doświadczenia
1.3 WYKONANIE SPRAWOZDANIA
Sprawozdanie wykonujemy w formie papierowej pojedynczo. W sprawozdaniu należy
zamieścid:

tabelkę tytułową z tematem laboratorium i numerem itp.,

cel dwiczenia,

wstęp teoretyczny,

przebieg dwiczenia,

odczytane dane w formie tabeli,

niezbędne obliczenia i wykresy,

wnioski.
Termin oddania sprawozdania mija po 2 tygodniach (14 dni) od daty laboratorium.
Osoby oddające sprawozdania po tym terminie muszą liczyd się z konsekwencją obniżenia
oceny. Sprawozdania wykonane nieprawidłowo będą zwracane do poprawy. Do zaliczenia
dwiczenia wymagana jest obecnośd na nim, prawidłowo wykonane sprawozdanie oraz
pozytywna ocena z kolokwium.
Spis literatury
[1]. B. M. Jaworski, A. A. Dietłaf, Fizyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 2004;
[2]. J. Pakulski, N. Olszowska-Sobieraj, A. Rabczak, L. Staszczak, A. Stoszko, J. Styrkosz,
Dwiczenia Laboratoryjne z metaloznawstwa stopów odlewniczych, Skrypt Uczelniany nr.
786, Kraków 1980.
[3]. A. Kosowski, Metaloznawstwo i obróbka cieplna stopów odlewniczych, Wydawnictwo
Naukowe Akapit, Kraków 2003.
[4]. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka, PWN, Warszawa 2001.
12
L6 – Wyznaczanie modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego
Konspekt opracowały:
Dr inż. Ewa Olejnik
Mgr inż. Gabriela Sikora
e-mail: [email protected]
13