POZIOM PODSTAWOWY - 2011 Zadania zamknięte Zadanie 1 (1

POZIOM PODSTAWOWY - 2011
Zadania zamknięte
Zadanie 1 (1 pkt)
√
√
Liczba | 3 − 2| + | 3 − 1| jest równa
√
√
A. 2 3
B. 1
C. 3 + 1
D. −3
Zadanie 2 (1 pkt)
Wskazać rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności |x + 1| ­ 2.
A.
B.
−3
1
x
1
x
C.
x
D.
x
1
−3
Zadanie 3 (1 pkt)
Po dwukrotnej obniżce, najpierw o 15%, a następnie o 20%, cena telewizora wynosi 850 zł.
Jaka była cena wyjściowa?
A. 1100 zł
B. 1250 zł
C. 1300 zł
D. 1150 zł
Zadanie 4 (1 pkt)
Liczba x = 56−3 · 142 · ( 12 )−7 . Wtedy
A. x =
B. x = 7
1
7
C. x = 2
D. x =
7
2
Zadanie 5 (1 pkt)
Kwadrat liczby
A. 3 +
√
√
2+√3
1+ 3
jest równy
√
B. 4 − 2 3
3
C.
1
(1
2
+
√
3)
Zadanie 6 (1 pkt)
Liczba log3 6 −
A. log3 2
1
log2 3
równa jest
B. 1
C. − log2 3
D. −1
D.
7
4
Zadanie 7 (1 pkt)
Dla jakiego m liczba −3 jest miejscem zerowym funkcji f (x) = (m + 1)x + 6?
A. m = −2
B. m = 1
C. m = 2
D. m = −1
Zadanie 8 (1 pkt)
Liczby x1 i x2 (x1 ¬ x2 ) są pierwiastkami równania x2 − 7x + 6 = 0. Obliczyć z =
√
√
A. z = 2
B. z = 3
C. z = 13
D. z = 30
√
3
3x1 + 4x2 .
Zadanie 9 (1 pkt)
Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x3 − ax + 5 przez dwumian (x + 1) równa jest 2.
Współczynnik a równy jest
A. 2
B. −2
C. 3
D. 1
Zadanie 10 (1 pkt)
√
Zbiorem rozwiązań nierówności (x + 4)(x + 15) ­ 0 jest zbiór
√
√
√
A. [−4, − 15] B. [− 15, −4]
C. (−∞, − 15] ∪ [−4, ∞)
√
D. (−∞, −4] ∪ [− 15, ∞)
Zadanie 11 (1 pkt)
W ciągu geometrycznym (an ) dane są: a1 = 2, a10 = 54. Wtedy
A. a4 = 4
B. a4 = 8
C. a4 = 6
D. a4 = 16
Zadanie 12 (1 pkt)
W ciągu arytmetycznym a7 = 7. Wtedy suma S13 = a1 + a2 + . . . + a13 jest równa
A. 13
B. 21
C. 91
D. 101
Zadanie 13 (1 pkt)
Pin do bankomatu jest ciągiem czterocyfrowym. Ile jest różnych pinów, których wszystkie cyfry
są podzielne przez 3?
A. 34
B. 44
C. 43
D. 33
Zadanie 14 (1 pkt)
Trójkąt prostokątny jest połową prostokąta, w którym jeden z boków jest dwa razy krótszy niż drugi.
Niech α będzie mniejszym z kątów ostrych tego trójkąta. Wówczas
√
√
√
√
A. cos α = 2 5 5
B. tg α = 55
C. sin α = 2 5 5
D. ctg α = 5
W zadaniach 7,8 i 9 wykorzystać przedstawione poniżej wykresy funkcji f i g.
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
1
−4 −3 −2 −1
2
3
4
x
−4 −3 −2 −1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
y = f (x)
y = g(x)
2
3
x
4
Zadanie 15 (1 pkt)
Zbiorem wartości funkcji f jest
A. [−2, 2]
B. (−2, 2)
C. (−2, 2]
D. [−4, 4]
Zadanie 16 (1 pkt)
Wykorzystując wykres funkcji g, wskazać nierówność fałszywą
A. g(−2) < g(2)
B. g(−1) < g(1)
C. g(0) > g(4)
D. g(−4) < g(0)
Zadanie 17 (1 pkt)
Funkcje f i g związane są zależnością
A. g(x) = −f (x) + 2
B. g(x) = f (−x) + 2
C. g(x) = f (x + 2)
D. g(x) = f (−x + 2)
Zadanie 18 (1 pkt)
Jaka jest długość odcinka x na rysunku obok
12
9
6
A. x = 3
B. x = 4
C. x = 2, 4
x
D. x = 2
Zadanie 19 (1 pkt)
Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek),
przy czym kąt wpisany ABC ma miarę 65◦ .
Wówczas miara zaznaczonego kąta środkowego ASC jest równa
A
C
S
A. 130◦
B. 230◦
C. 100◦
D. 270◦
B
Zadanie 20 (1 pkt)
Proste o równaniach 2x + 3y + 1 = 0 i 3x + y + 2 = 0
A.
B.
C.
D.
są równoległe i różne.
są prostopadłe.
przecinają się pod kątem innym niż prosty.
pokrywają się.
Zadanie 22 (1 pkt)
Punkty A(−1, 3) i C(1, −3) są wierzchołkami jednej z przekątnych kwadratu. Wówczas pozostałymi
wierzchołkami są
A. B(1, 3) i D(−1, −3)
C. A(3, 1) i C(−3, −1)
B. B(−3, 1) i D(−1, −3)
D. A(−1, −3) i C(1, 3)
Zadanie 22 (2 pkt)
Środek okręgu o promieniu 1 stycznego do osi Oy leży w I ćwiartce układu współrzędnych na prostej
y = 2x. Równanie tego okręgu ma postać
A. (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1
C. (x − 1)2 + (y − 1)2 = 2
B. (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1
D. (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4
Zadanie 23 (2 pkt)
Wysokość stożka S1 jest trzy razy większa niż wysokość stożka S2 , a promień podstawy stożka S1 jest
połową promienia podstawy stożka S2 . Niech V1 , V2 oznaczają objętości tych brył. Wówczas
A. 4V2 = 3V1
B. 3V2 = 4V1
C. V2 = V1
D. 2V2 = V1
Zadania otwarte
Zadanie 1 (2 pkt)
Rozwiązać nierówność |x2 − 2| < 2.
Zadanie 2 (2 pkt)
Rozwiązać równanie x3 − 3x = 15 − 5x2 .
Zadanie 3 (2 pkt)
Dwa kwadraty o tym samym boku są położone tak, jak na poniższym rysunku. Pole części wspólnej
zbiorów przedstawionych na rysunku jest trzy razy mniejsze od pola sumy tych zbiorów. Wykazać,
że punkt P dzieli bok kwadratu na dwie równe części.
P
Zadanie 4 (2 pkt)
Rozkład ocen ze sprawdzianu w klasie IIIa jest opisany tabelką
ocena
1 2 3 4 5
liczba osób 1 2 8 9 6
Jaś otrzymał ocenę 4. Czy wypadł powyżej średniej w swojej klasie? W pozostałych klasach średnie
punktów wynosiły: 3,875 w IIIb (24 osoby) i 4,6 w IIIc (25 osób). Czy ocena otrzymana przez Jasia
znajduje się powyżej średniej liczonej łącznie wśród wszystkich uczniów klas trzecich?
Zadanie 5 (2 pkt)
Obserwator, stojąc w pewnej odległości, widzi wieżę kościoła pod kątem 60◦ . Po oddaleniu się o 50
m kąt widzenia zmniejszył się do 45◦ . Obliczyć wysokość wieży.
Zadanie 6 (2 pkt)
5
O kącie α wiadomo, że tg α = − 12
oraz cos α > 0. Obliczyć sin α.
Zadanie 7 (3 pkt)
Obliczyć objętość ostrosłupa o podstawie kwadratowej, którego wszystkie krawędzie mają długość a.
Zadanie 8 (5 pkt)
Trapez o kątach przy podstawie 30◦ oraz 45◦ jest opisany na okręgu. Obliczyć stosunek pola koła do
pola trapezu.
Zadanie 9 (5 pkt)
Trzy liczby dodatnie tworzą ciąg geometryczny. Suma tych liczb równa jest 26, a suma ich odwrotności
wynosi 0.7(2). Wyznaczyć te liczby.