próbny egzamin maturalny z matematyki

sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
Miejsce
na naklejkĊ
z kodem
dysleksja
PRÓBNY
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
Arkusz II
Czas pracy 150 minut
Instrukcja dla zdającego
1. ProszĊ sprawdziü, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 10 stron.
Ewentualny brak naleĪy zgáosiü przewodniczącemu zespoáu
nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi naleĪy zapisaü czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy kaĪdym zadaniu.
3. ProszĊ pisaü tylko w kolorze czarnym; nie pisaü oáówkiem.
4. W rozwiązaniach zadaĔ trzeba przedstawiü tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno uĪywaü korektora.
6. BáĊdne zapisy trzeba wyraĨnie przekreĞliü.
7. Brudnopis nie bĊdzie oceniany.
8. Obok kaĪdego zadania podana jest maksymalna liczba
punktów, którą moĪna uzyskaü za jego poprawne rozwiązanie.
9. Podczas egzaminu moĪna korzystaü z zaáączonego zestawu
wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie
moĪna korzystaü z kalkulatora graficznego.
10. Do ostatniej kartki arkusza doáączona jest karta odpowiedzi,
którą wypeánia nauczyciel.
ĩyczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczĊciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
ARKUSZ II
STYCZEē
ROK 2005
Za rozwiązanie
wszystkich zadaĔ
moĪna otrzymaü
áącznie 50 punktów.
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
po
br
an
oz
ww
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 11. (5 pkt.)
Pierwiastkiem równania 2 x 3 (3m 1) x 2 7 x m 0 jest liczba
parametru m oraz pozostaáe pierwiastki tego równania.
OdpowiedĨ:
2
-1. Wyznacz wartoĞü
sq
lm
ed
ia.
pl
po
br
an
oz
ww
w.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 12. (4 pkt.)
W trójkącie ABC, o kącie rozwartym przy wierzchoáku C dane są dáugoĞci boków AC
i BC
5cm
12 cm . Oblicz dáugoĞü boku AB wiedząc, Īe pole trójkąta jest równe 24 cm 2 .
OdpowiedĨ:
Zadanie 13. (6 pkt.)
Oblicz sumĊ wszystkich pierwiastków równania sin3x ctg
x 5S d 5S .
OdpowiedĨ:
3
25
ʌ , które speániają nierównoĞü
2
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
po
br
an
oz
ww
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 14. (7 pkt.)
Dany jest ciąg liczbowy a n 3n 2 3n 2 okreĞlony dla dowolnej liczby n  N .
a) WykaĪ, korzystając z definicji monotonicznoĞci ciągu, Īe ciąg a n jest rosnący.
b) Oblicz granicĊ
8n6 n
n of 1 an
3
lim
.
OdpowiedĨ:
b)
4
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 15. (7 pkt.)
Funkcja f dana jest wzorem f x x 3 6x 2 c dla x  R i c  R .
a) Wyznacz najwiĊkszą i najmniejszą wartoĞü funkcji f w przedziale 1,3 , wiedząc, Īe
f(0) = 8.
b) Wyznacz przedziaáy monotonicznoĞci funkcji f.
OdpowiedĨ:
a)
b)
5
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
po
br
an
oz
ww
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 16. (3 pkt.)
Jednokierunkowa droga o szerokoĞci 8m prowadzi przez tunel. Przekrój poprzeczny tunelu,
przedstawiony na poniĪszym rysunku, ma ksztaát zbliĪony do áuku paraboli o równaniu:
3
y x 2 6. SprawdĨ, wykonując odpowiednie obliczenia, czy ciĊĪarówka wioząca
8
prostopadáoĞcienny kontener o szerokoĞci 4,8 metra moĪe przejechaü tym tunelem, jeĪeli
najwyĪszy punkt kontenera znajduje siĊ 4 metry nad drogą.
OdpowiedĨ:
6
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
po
br
an
oz
ww
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 17. (5 pkt.)
Okrąg o1 okreĞlony jest równaniem: x 2 y 2 4 x 6 y 9 0 .
a) Napisz równanie okrĊgu o2 wspóáĞrodkowego z okrĊgiem o1, przechodzącego przez punkt
A = (6;0).
b) Oblicz pole pierĞcienia koáowego ograniczonego okrĊgami o1 i o2 .
OdpowiedĨ:
a)
b)
7
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
po
br
an
oz
ww
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 18. (7 pkt.)
Do salaterki wlano rozpuszczoną galaretkĊ, która po zastygniĊciu przybraáa ksztaát stoĪka
ĞciĊtego. Przekrój osiowy tej bryáy byá trapezem równoramiennym o wysokoĞci 6 cm
i podstawach dáugoĞci 14 cm i 26 cm.
Oblicz objĊtoĞü wlanego páynu. W obliczeniach przyjmij, Īe S | 3,14 , a wynik podaj
z dokáadnoĞcią do 1cm 3 .
OdpowiedĨ:
8
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
po
br
an
oz
ww
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 19. (6 pkt.)
Krótki áaĔcuch choinkowy skáada siĊ z dwudziestu Īarówek. Dla kaĪdej z Īarówek
prawdopodobieĔstwo, Īe bĊdzie dziaáaü przez co najmniej 300 godzin jest równe 0,9.
a) Oblicz prawdopodobieĔstwo tego, Īe w krótkim áaĔcuchu w ciągu 300 godzin przepali
siĊ co najwyĪej jedna Īarówka. W obliczeniach moĪesz przyjąü, Īe 0,9 19 | 0,14 .
b) W skrzyni jest 6 áaĔcuchów krótkich i 4 áaĔcuchy dáugie. Do dekoracji choinki uĪyto
cztery losowo wybrane áaĔcuchy. Oblicz prawdopodobieĔstwo tego, Īe do dekoracji
uĪyto dwóch áaĔcuchów krótkich i dwóch áaĔcuchów dáugich.
OdpowiedĨ:
a)
b)
9
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
po
br
an
oz
ww
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Brudnopis
10