Egzamin z Badań Operacyjnych

Egzamin z Badań Operacyjnych
1. Wartość funkcji celu dowolnego rozwiązania dopuszczalnego zadania prymalnego
{cx  max, Ax≤b, x≥0}
jest mniejsza od wartości funkcji celu dla dowolnego rozwiązania dopuszczalnego zadania dualnego
{yb  min, yA ≥c, y≥0}.
a) prawda
b) fałsz.
Rozwiązanie: b). Wartość funkcji celu dowolnego rozwiązania dopuszczalnego zadania prymalnego jest
mniejsza lub równa od wartości funkcji celu dla dowolnego rozwiązania dopuszczalnego zadania dualnego.
Równość zachodzi dla rozwiązań optymalnych.
2. W przypadku gdy w grze dwuosobowej o sumie zero nie istnieje punkt siodłowy to gra ta nie posiada
rozwiązania w zbiorze strategii czystych.
a) prawda
b) fałsz
Rozwiązanie: a). Rozwiązanie gry szukać należy wówczas wśród strategii mieszanych.
3. Wskaźniki optymalności zmiennych bazowych w dowolnym rozwiązaniu bazowym zadania programowania
liniowego są równe 0,
a) prawda
b) fałsz
Rozwiązanie: a).
4. W metodzie CPM opóźnienie realizacji czynności niekrytycznych może spowodować niedotrzymanie
terminu realizacji projektu, określonego przez czas krytyczny.
a) prawda
b) fałsz
Rozwiązanie a). Jeżeli opóźnienie przekroczy zapas czasu dla danej czynności, wtedy spowoduje
niedotrzymanie terminu realizacji projektu, określonego przez czas krytyczny.
5. Rozpatrujemy zbilansowane zadanie transportowe o 3 dostawcach i 4 odbiorcach. Liczba węzłów bazowych
w zadaniu wynosi 6
a) prawda
b) fałsz
Rozwiązanie: a). Ponieważ zadanie jest zbilansowane, nie ma potrzeby wprowadzania fikcyjnego dostawcy ani
fikcyjnego odbiorcy.
6. Współczynnik funkcji celu przy zmiennej sztucznej, wprowadzanej do zadania programowania liniowego
wynosi 0,
a) prawda
b) fałsz
Rozwiązanie: b). W zadaniu maksymalizacji powinien on przyjąć wartość ujemną odpowiednio małą,
natomiast w zadaniu minimalizacji – odpowiednio dużą (patrz zasady określania współczynników przy
zmiennej sztucznej w programie SIMP.EXE w pakiecie „Badania operacyjne z komputerem”).
7. Zapotrzebowanie fikcyjnego odbiorcy w zadaniu niezbilansowanym, w którym podaż przewyższa popyt,
wynosi 0,
a) prawda
b) fałsz
Rozwiązanie: b). Jest to to różnica pomiędzy sumaryczną podażą a sumarycznym popytem.
8. Wartość funkcji celu dla rozwiązania początkowego otrzymanego metoda minimalnego elementu jest zawsze
lepsza od wartości funkcji celu uzyskanej przy zastosowaniu metody kąta północno-zachodniego.
a) prawda
b) fałsz
Rozwiązanie: b). Rozwiązanie początkowe otrzymane metoda minimalnego elementu zazwyczaj bywa lepsze
od rozwiązania początkowego otrzymanego metodą kata północno-zachodniego, ale często zdarzają się wyjątki
od tej reguły.
1
9. Przyjmujemy, że czas trwania każdej czynności pozornej w CPM jest większy od 0,
a) prawda
b) fałsz
Rozwiązanie: b).
10. Zadanie minimalizacji programowania liniowego, w którym mamy dwie zmienne decyzyjne i cztery
ograniczenia można rozwiązać metoda geometryczną.
a) prawda
b) fałsz
Rozwiązanie: a). Metodą geometryczną można rozwiązać każde zadanie, w którym występują dwie zmienne i
dowolna liczba ograniczeń, jak również każde zadanie, w którym występują dwa ograniczenia i dowolna liczba
zmiennych (w tym drugim przypadku tworzymy i rozwiązujemy geometrycznie zadanie dualne, a następnie
korzystamy z twierdzeń o dualności).
11. Rozwiązując pewne zadanie programowania liniowego całkowitoliczbowego z kryterium minimalizacji
metodą podziału i ograniczeń otrzymano następującą listę zadań:
Nr zadania Wartość funkcji celu Warunki całkowitoliczbowości Numery zadań podzielonych
5
15.6
Nie
7
15.5
Tak
8
15.7
Nie
11
15.8
Nie
12, 13
12
Zadanie sprzeczne
–
13
15.9
Tak
Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe:
a) z listy zadań należy usunąć zadanie 7,
b) z listy zadań należy usunąć zadanie 13,
c) z listy zadań należy usunąć zadanie 12,
d) z listy zadań należy usunąć zadanie 8,
e) żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe.
Rozwiązanie:
b), c), d). Zadania 7 nie możemy usunąć z listy, ponieważ spełnia warunki
całkowitoliczbowości i jest najlepsze z wymienionych na liście zadań. W szczególności jest ono lepsze od
wymienionych w punktach b) i d) zadań o numerach 13 i 8, dlatego też zadania te usuwamy z listy. Zadanie 12
usuwamy jako zadanie sprzeczne.
12. Rozpatrujemy zadanie wektorowej maksymalizacji, w którym funkcjami celu są: f1(x1, x2) = –x1 – x2, f2(x1,
x2) = –x1 + 2x2, natomiast zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej ma następujące
wierzchołki: O(0,0), A(0,1), B(1,2), C(2,2), D(3,1), E(3,0). Przyjmujemy, że f(O) = O’, f(A) = A’, f(B) = B’,
f(C) = C’, F(D) = D’, F(E) = E’.
Rozwiązaniami niezdominowanymi w przestrzeni kryterialnej są (należy sporządzić rysunek):
a) wszystkie punkty leżące na odcinku B’C’,
b) wszystkie punkty leżące na odcinku C’D’,
c) wszystkie punkty leżące na odcinku O’A’
d) wszystkie punkty leżące na odcinku A’B’
e) istnieją punkty niezdominowane, ale są one inne niż te, które podano powyżej.
Rozwiązanie: c), d). Obliczamy współrzędne punktów O’, A’, B’, C’ D’ i E’. Otrzymujemy:
O’(0, 0), A’(-1, 2), B’(-3, 3), C’(-4, 2), D’(-4, -2), E’(-3, -3). Z rysunku wynika, że wszystkie punkty
niezdominowana leżą na odcinkach O’A’ i A’B’ i nie ma innych punktów niezdominowanych.
2
13. Rozpatrujemy następującą grę dwuosobowa o sumie zero:
Gracz II
Strategie
1
2
3
4
0
-3
-2
-4
Gracz I 1
-4
-2
-1
1
2
1
-1
-2
0
3
Strategią zdominowaną jest:
a) strategia 1 Gracza I,
b) strategia 3 Gracza I,
c) strategia 1 Gracza II,
d) strategia 3 Gracza II,
e) żadna z powyższych strategii nie jest zdominowana.
Rozwiązanie: a). Strategia I gracza I zdominowana jest przez strategię 3 tego gracza, Innych strategii
zdominowanych nie ma.
14. Rozpatrujemy drzewo decyzyjne opisane danymi w poniższej tabeli.
ETAP
WĘZEŁ DECYZYJNY DECYZJA P
Stan/Wypłata
1
1
A
0,5
400
0,5
2
B
1,0
3
2
2
C
1,0
360
D
0,4
500
0,6
350
3
E
0,5
350
0,5
450
F
0,2
600
0,8
300
Maksymalna oczekiwana wypłata wynosi (sporządzić rysunek drzewa):
a) 360
b) 405
c) 450
d) 520
e) Żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna
Rozwiązanie: b). Z rysunku wynika, że rozpatrywane drzewo jest dwuetapowe. Obliczamy kolejno
oczekiwane wypłaty dla węzłów 3, 2 i 1. Oczekiwana wypłata dla węzła 1 wynosi 405.
15. Zadanie programowania liniowego nazywamy sprzecznym, jeżeli:
a) nie istnieje rozwiązanie optymalne,
b) zbiór rozwiązań dopuszczalnych nie jest zbiorem pustym,
c) zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest wypukły,
d) zbiór rozwiązań bazowych redukuje się do jednego punktu,
e) żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe.
Rozwiązanie: e). Brak rozwiązania optymalnego nie świadczy o sprzeczności zadania, gdyż funkcja celu może
nie być ograniczona, Jeżeli zbiór rozwiązań dopuszczalnych nie jest zbiorem pustym oznacza to, że istnieją
rozwiązania dopuszczalne, więc zadanie nie może być sprzeczne. Zbiór rozwiązań każdego zadania PL zawsze
jest wypukły i nie świadczy to o sprzeczności zadania. Jeżeli istnieje rozwiązanie bazowe (nawet jedno),
świadczy to o niesprzeczności zadania.
16. Podejmując decyzje w warunkach ryzyka można stosować regułę
a) maksymalizacji oczekiwanej użyteczności,
b) maksymalizacji oczekiwanej korzyści,
c) punktu siodłowego,
d) minimalnego żalu,
e) w rozpatrywanej sytuacji nie może być wykorzystana żadna z powyższych reguł.
Rozwiązanie: a), b). Punkt siodłowy występuje w grach dwuosobowych o sumie zero. Regułę minimalnego
żalu stosujemy przy podejmowaniu decyzji w warunkach niepewności.
3
17. Korzystając z metody CPM możemy:
a) przyśpieszyć realizację projektu,
b) określić najkrótszy czas realizacji projektu,
c) obliczyć prawdopodobieństwo realizacji projektu w zadanym czasie,
d) wyznaczyć czas dyrektywny,
e) żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe.
Rozwiązanie: b). Metoda CPM właśnie do tego służy.
18. Rozwiązując zadanie metodą PERT wyznaczono oczekiwany czas realizacji projektu równy 37, jego
odchylenie standardowe równe 3 oraz jedyną ścieżkę krytyczną łączącą wierzchołki 1 – 3 – 5 – 7. Na tej
podstawie może my stwierdzić, że:
a) suma oczekiwanych czasów zdarzeń leżących na pewnej ścieżce 1-2-6-7 jest mniejsza od 37,
b) suma wariancji czasów trwania czynności 1 – 3 i 5 – 7 musi być równa 9,
c) szanse na zrealizowanie projektu w czasie nie dłuższym niż 39 są mniejsze niż 50%,
d) prawdopodobieństwo, że uda się zrealizować projekt w czasie nie przekraczającym 33 jest mniejsze,
niż prawdopodobieństwo, że uda się go zrealizować w czasie większym niż 40,
e) żadne z powyższych twierdzeń nie jest poprawne.
Rozwiązanie: d). Suma oczekiwanych czasów czynności leżącej na (jedynej) ścieżce krytycznej jest
najmniejsza dla wszystkich ścieżek, a więc większa od sumy oczekiwanych czasów dla podanej w punkcie a)
ścieżki. Nie ma żadnych podstaw by twierdzić, ze suma wariancji czasów trwania czynności wymienionych w
punkcie b) jest równa 9. Szanse zrealizowania projektu w każdym czasie dłuższym od 37 są większe od 50%.
Pierwsze z prawdopodobieństw wymienionych w punkcie d) jest mniejsze od 50%, natomiast drugie jest
większe od 50%, więc stwierdzenie to jest prawdziwe.
19. Rozwiązując zadanie programowania liniowego z kryterium maksymalizacji otrzymano następująca tablicę:
Cx  max
–2
1
1
–1
1
0
200
0
b
xb
cb
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x6
0
–1
2
–3
0
–1
1
0
0
6
x7
200
2
0
–1
3
1
0
1
0
0
x8
0
2
0
–1
3
1
0
0
1
8
c–z
–402
1
201
–601 –199
0
0
0
W kolejnej iteracji do bazy wprowadzamy zmienną
a) x1
b) x2
c) x3
d) x4
f) żadne z powyższych twierdzeń nie jest poprawne.
Rozwiązanie. c). Do bazy wprowadzamy zmienną, dla której współczynnik optymalności jest największy.
20. Rozpatrujemy problem podejmowania decyzji w warunkach niepewności:
Stan natury S1
Decyzja
D1
D2
D3
D4
30
20
55
30
S2
21
32
10
44
S3
33
2
42
21
Zgodnie z regułą Hurwicza, przy współczynniku ostrożności równym 0,4 należy wybrać decyzję:
a) D1
b) D2
c) D3
d) D4
b) Żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna.
Rozwiązanie: c). Obliczamy wartości funkcji Hurwicza dla kolejnych decyzji i wybieramy decyzję, dla której
ta wartości jest najkorzystniejsza.
4