ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI I Lista II WPPT/FT/IB

ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI I
Lista II
WPPT/FT/IB
Elementy rachunku wektorowego i różniczkowego
Physics makes you think
Są to zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązywania przez studentów. Stanowią uzupełnienie zadań rozwiązywanych na
ćwiczeniach.
*1. (a) Dwa punkty leżące na płaszczyźnie mają współrzędne kartezjańskie: (2, −4), (−3, 3) (w jednostkach SI). Wyznaczyć
odległość pomiędzy nimi oraz ich współrzędne biegunowe. (b) Współrzędne biegunowe punktu na płaszczyznie są równe
r = 5,5 m i θ = 240◦. Obliczyć jego współrzędne kartezjańskie. (c) Jeśli współrzędne biegunowe punktu (x, y) są (r, θ),
to ile wynoszą współrzędne biegunowe punktów: (−x, y), (−2x, −2y), (3x, −3y)?
2. Samolot leci od miasta A 200 km na wschód do miasta B, a następnie pod kątem 30◦ do kierunku wschód–zachód
przelatuje jeszcze 300 km do miasta C. Jaka jest odległość w linii prostej pomiędzy A i C? W jakim kierunku względem
A jest położone miasto C?
*3. Pewna osoba przespacerowała się po półokręgu o promieniu R = 20 m. Wyznaczyć wektor przesunięcia tej osoby oraz
jego długość. Określić długość przebytej drogi. Obliczyć wektor przesunięcia w przypadku, gdy spacerowicz obejdzie
cały okrąg.
4. Chłopiec przebiegł 30 m na północ, 40 m w kierunku północno–wschodnim oraz 50 m na zachód. Wyznaczyć długość
i kierunek wektora przesunięcia w tym ruchu.
5. Punkt A na rysunku jest dowolnym punktem linii łączącej dwa leżące na płaszczyźnie punkty o współrzędnych:
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ). Pokazać, że współrzędne A są równe ((1 − f)x1 + fx2 , (1 − f)y1 + fy2 ).
y6
y6
F2 = 120 N
(x2 , y2 )
r
A
r
F1 = 80 N
r
(x1 , y1 )
x
0
Zadanie 5
A
6
OC
C
C 75◦ C60◦
B 45◦
0 @ 45◦
@
C@
R
Zadanie 6
7
x
Zadanie 7
*6. Trzy wektory są zorientowane jak na rysunku, gdzie |A| = 20 m, |B| = 40 m, |C| = 30 m. Wyznaczyć składowe oraz
długość, kierunek i zwrot wektora wypadkowego.
7. Widok z lotu ptaka dwóch osiłków ciągniących zwierzę i działających na nie wskazanymi siłami jest przedstawiony na
rysunku. Z jaką wypadkową siłą działają oni na zwierzę?
8. Punkt leżący na płaszczyźnie XY i mający współrzędne (x, y) można przedstawić jako punkt końcowy wektora
r = xi + yj. Pokazać, że wektor przesunięcia cząstki, która przemieściła się od (x1 , y1 ) do (x2 , y2 ) jest wektorem
d = (x2 − x1 )i + (y2 − y1 )j. Narysować wektory r1 oraz r2 i zweryfikować graficznie, że d = r2 − r1 .
*9. Wykaż, że w prostokątnym układzie współrzędnych zachodzą dla wersorów związki: (A) î · î = ĵ · ĵ = k̂ · k̂ = 1
oraz î · ĵ = î · k̂ = k̂ · ĵ = 0. (B) î × î = ĵ × ĵ = k̂ × k̂ = 0 oraz î ×
ĵ = k̂, k̂ × î =ĵ, ĵ × k̂ = î.
i
j
k *10. Pokazać, że: (A) A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz ; (B) A × B = Ax Ay Az .
Bx By Bz *11. Z podanych wyrażeń wybierz te, które są poprawne: (A) A· B· C; (B) A+(B· C); (C) 5 +(B· C); (D) (B· C+(B×C).
*12. Dla wektorów A = 4i + 3j i B = −i + 3j znaleźć: (a) A · B, (b) kąt pomiędzy wektorami.
*13. Wektory A i B są zaczepione w początku układu odniesienia i mają współrzędne biegunowe równe odpowiednio
(r1 , θ1 ) i (r2 , θ2 ). Obliczyć A · B.
14. Obliczyć kąty pomiędzy wektorami: (a) A = 3i − 2j = (3, −2) i B = 4i − 4j = (4, −4), (b) A = 3i + kj + 2k = (3, 1, 2)
i B = i − 2j + 3k = (1, −2, 3).
15. Obliczyć iloczyn wektorowy oraz kąt pomiędzy wektorami: (a) A = 3i − 2j = (3, −2) i B = 4i − 4j = (4, −4),
(b) A = 3i + j + 2k = (3, 1, 2) i B = i − 2j + 3k = (1, −2, 3).
16. Jeśli |A × B| = A · B, to jaki kąt tworzą wektory A i B?
*17. Pewien student twierdzi, że znalazł wektor A taki, że (2i − 3j + 4k) × A = (4i + 3j − k). Czy można mu wierzyć?
*18. Obliczyć pochodne: (a) (d/dt)(x0 +v0 t+ 21 at2 ), gdzie x0 , v0 , a — stałe; (b) (d2 /dt2 )(x0 +v0 t+ 12 at2 ), gdzie x0 , v0 , a —
√
stałe; (c) (d/dt)A sin(2πt/T ),√
gdzie A, T — stałe; (d) (d2 /dt2 )A sin(2πt/T ), gdzie A, T — stałe; (e) (d/dx) x2 + a2 ,
gdzie a — stała; (f) (d2 /dx2 ) x2 + a2 , gdzie a — stała.
Wrocław, 6 X 2005
W. Salejda, A. Klauzer-Kruszyna & M.H. Tyc