Wektory Akademia Morska w Gdyni B.Pranszke środa, 21

Wektory
Akademia Morska w Gdyni
B.Pranszke
środa, 21 października 2015
⃗⃗ = (−1, 4, 2) i 𝐶⃗ =
1. Wyznaczyć y i z dla których wektor 𝐴⃗ = (2, 𝑦, 𝑧) jest prostopadły do wektorów 𝐵
⃗⃗ + 𝐶⃗ oraz 𝐴⃗ − 2𝐵
⃗⃗ + 3𝐶⃗?
(3, −3, −1). Jakie kąty tworzy wektor 𝐴⃗ z wektorami 𝐵
⃗⃗, 𝐶⃗, gdy :
2. Obliczyć objętość równoległościany wyznaczonego przez wektory 𝐴⃗, 𝐵
𝐴⃗ = (3, −2, −1)
𝐴⃗ = (5, 0,1)
⃗⃗ = (−1, 2,1)
𝐵
𝐶⃗ = (1,1, 4)
⃗⃗ = (2, 2,2)
𝐵
𝐶⃗ = (1,1, 4)
1
𝐴⃗ = (4, , 1)
2
⃗⃗ = (5, 2,3)
𝐵
𝐶⃗ = (2,2, 4)
3 1
𝐴⃗ = ( , 2, )
2 2
⃗⃗ = (1, 2,1)
𝐵
𝐶⃗ = (−2,1, 5)
𝐴⃗ = (−3, 2, 1)
⃗⃗ = (1,2,1)
𝐵
𝐶⃗ = (−2,1, 5)
3. Rysunek poniżej przedstawia sześciokąt foremny ABCDEF. Korzystając z oznaczeń jak na rysunku znajdź:
a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐹 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 =
C
1
B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
H
b) 𝐴𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐷 =
G
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐹𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
c) 2𝐹𝐸
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
d) 2 (𝐴𝐷
𝐵𝐸 ) =
e)
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐶
2
E
O
A
F
D
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
+ 𝐵𝐶
C
D
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐹
f) −2𝐸𝐷
A
F
B
E
4. Rysunek powyżej przedstawia równoległościan ABCDEFGH. Niech: 𝑢
⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, 𝑤
⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺 , 𝑣⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷.
a) Wyraź wektory poniższe za pomocą wektorów 𝑢
⃗⃗, 𝑣⃗ oraz 𝑤
⃗⃗⃗:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 ,
𝐻𝐵,
𝐶𝐸 ,
𝐴𝐹 .
G
H
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) Wiedząc, że |𝐴𝐷 | = 3, |𝐴𝐵 | = 4 i |𝐴𝐶 | = 6, znajdź:
kąt ∢𝐴𝐵𝐶 oraz pole powierzchni równoległoboku ABCD.
F
E
5. Rysunek obok przedstawia cztery równoległoboki.
Niech A=(-1, 3), C=(5, 4) i I= (7, 8).
a) Znajdź współrzędne wektora:
A
B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
𝐴𝐵
𝐴𝐸 , 𝐶𝐷
b) Wyraź poniższe wektory jako liniową kombinację wektorów jednostkowych (wersorów)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐷𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐻
𝐵𝐹
c) Znajdź wektor położenia punktów B, D, E, F, i G.
6. Dane są punkty P=(0, 2, -1) i Q=(2, 1, 1).
a) Znajdź współrzędne wektora ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑄 . Punkt O ma współrzędne (0, 0, 0),
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) Wyraź 𝑃𝑄 jako liniową kombinację wersorów osi.
y
7. Uprościć wyrażenia:
a) 𝑢
⃗⃗ + (𝑣⃗ + 2𝑢
⃗⃗) =
b) (𝑢
⃗⃗ − 𝑣⃗) + 2(𝑣⃗ − 2𝑢
⃗⃗) =
1
6
8. Rozwiąż równania:
a) 2(𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗) − 3(𝑦𝑖⃗ + 𝑥𝑗⃗) = 5(𝑖⃗ − 2𝑗⃗)
b) (2𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗) − (𝑥𝑖⃗ + 2𝑗⃗) − (𝑖⃗ + 3𝑗⃗) = 0
9. Obliczyć objętość czworościanu przedstawionego na rys. Oblicz
powierzchnię pomarańczowego trójkąta.
𝐴⃗ = (0,5,0)
⃗⃗ = (4,0,0)
𝐵
𝐶⃗ = (0,0, 2)
⃗⃗ = (2, 0,0)
𝐵
𝐶⃗ = (0,0, 4)
D
C
𝐴⃗
1
3
c) 3 [ (𝑢
⃗⃗ + 𝑣⃗) + (𝑣⃗ − 𝑢
⃗⃗)] =
𝐴⃗ = (0, 4, 0)
I
1
𝐴⃗ = (0, , 0)
2
⃗⃗ = (5, 0,0)
𝐵
𝐶⃗ = (0,0, 4)
𝐶⃗
z
⃗⃗
𝐵
x
Wektory
Akademia Morska w Gdyni
B.Pranszke
10. Wektory 𝑎⃗ i 𝑏⃗⃗ spełniają następujące zależności: 4𝑎⃗ − 5𝑏⃗⃗ ⊥ 2𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗, 7𝑎⃗ − 2𝑏⃗⃗ ⊥ 𝑎⃗ − 4𝑏⃗⃗. Wyznaczyć kosinus
kąta zawartego pomiędzy wektorami 𝑎⃗ i 𝑏⃗⃗.
11. Dane są dwa wektory, takie że: : 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = 11𝑥̂ − 𝑦̂ + 5𝑧̂ oraz 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ = −5𝑥̂ + 11𝑦̂ + 9𝑧̂ . Znaleźć
a) 𝑎⃗ i 𝑏⃗⃗,
b) Długości wektorów 𝑎⃗ i 𝑏⃗⃗,
c) ∢{𝑎⃗, 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗}.
12. Stałe siły 𝐹⃗1 = 𝑥̂ + 2𝑦̂ + 3𝑧̂ i 𝐹⃗2 = 4𝑥̂ − 5𝑦̂ − 2𝑧̂ działają równocześnie na cząstkę w czasie przesunięcia z
punktu A=(20, 15, 0) do punktu B=(0, 0, 7). Jaka praca została wykonana przy przesunięciu cząstki?
⃗⃗⃗ względem danego punktu jest określony wzorem 𝑟⃗ × 𝐹⃗ , gdzie 𝑟⃗ jest wektorem o długości
13. Moment siły 𝑀
równej odległości tego punktu od punktu przyłożenia siły 𝐹⃗ . Rozważmy siłę 𝐹⃗ = −3𝑥̂ + 𝑦̂ + 5𝑧̂ działającą na
punkt o wektorze położenia 𝑟⃗ = 𝑥̂ + 2𝑦̂ + 3𝑧̂
a) Jaki jest moment siły względem punktu (0, 0, 0)? Podać współrzędne wektora momentu siły.
b) Jaki jest wektor momentu siły względem punktu (0, 10, 0)?
⃗⃗ = 4𝑥̂ + 2𝑦̂. Narysuj
14. Oblicz powierzchnię równoległoboku wyznaczonego przez wektory 𝐴⃗ = 2𝑥̂ + 4𝑦̂ oraz 𝐵
oba wektory oraz równoległobok .
⃗⃗ = (−2, −4, 1). Obliczyć ich iloczyn skalarny i
15. Obliczyć miarę kąta pomiędzy wektorami 𝐶⃗ = (2,4,6) i 𝐷
⃗⃗. Współrzędne
wektorowy. Obliczyć objętość równoległościanu rozpiętego na trzech wektorach: 𝐴⃗, 𝐶⃗ oraz 𝐷
wektora 𝐴⃗ = −𝑖⃗ + 2𝑗⃗.
16. 2. Położenie punktu materialnego zmienia się w czasie zgodnie z następującą funkcją:
a) 𝑥(𝑡) = 3𝑒 −2𝑡 + 𝑡,
b) 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡), gdzie A, ω – stałe dodatnie.
Wyznaczyć funkcje v(t) oraz a(t) oraz obliczyć wartości początkowe prędkości i przyspieszenia.
1
3
17. Położenie punktu materialnego zmienia się w czasie zgodnie z następującą funkcją: 𝑥(𝑡) = − 2 𝑡 2 + 4 𝑡.
18.
19.
20.
21.
Narysować przebieg położenia, prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu.
Przyspieszenie punktu zmienia się w czasie zgodnie z funkcją:
a) 𝑎(𝑡) = 2𝑡 3 ,
b) 𝑎(𝑡) = 𝑒 2𝑡 + 1.
Wyznaczyć prędkość i położenie w funkcji czasu. Warunki początkowe: v(0) = 0, x(0) = 1.
⃗⃗ oraz wektorowy 𝐴⃗ × 𝐵
⃗⃗ wektorów: 𝐴⃗ = (1,2,3) i 𝐵
⃗⃗ = (−3,1,2). Obliczyć
Obliczyć iloczyn skalarny 𝐴⃗ ∙ 𝐵
⃗⃗ oraz różnicę 𝐴⃗ − 𝐵
⃗⃗ oraz długości wektorów 𝐴⃗ i 𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗.
sumę 𝐴⃗ + 𝐵
Obliczyć miarę kąta pomiędzy wektorami 𝐸⃗⃗ = (2, −4,6) i 𝐹⃗ = (−2,4, 1). Obliczyć objętość
równoległościanu rozpiętego na trzech wektorach: 𝐸⃗⃗ , 𝐹⃗ oraz 𝐶⃗. Współrzędne wektora 𝐶⃗ = 𝑗⃗ − 2𝑘⃗⃗.
Położenie punktu materialnego zmienia się w czasie zgodnie z następującą funkcją:
a) 𝑥(𝑡) = −2𝑒 −3𝑡 − 𝑡,
b) 𝑥(𝑡) = 𝑘𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡), gdzie k, ω – stałe dodatnie.
Wyznaczyć funkcje v(t) oraz a(t) oraz obliczyć wartości początkowe prędkości i przyspieszenia.
1
3
22. Położenie punktu materialnego zmienia się w czasie zgodnie z następującą funkcją: 𝑥(𝑡) = 2 𝑡 2 − 4 𝑡.
Narysować przebieg położenia, prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu.
23. Przyspieszenie punktu zmienia się w czasie zgodnie z funkcją:
a) 𝑎(𝑡) = 3𝑡 2 ,
b) 𝑎(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛2𝑡 + 1.
Wyznaczyć prędkość i położenie w funkcji czasu. Warunki początkowe: v(0) = 0, x(0) = 1.
⃗⃗ oraz wektorowy 𝐵
⃗⃗ × 𝐴⃗ wektorów: 𝐴⃗ = (1, −2,3) i 𝐵
⃗⃗ = (3, −1,2). Obliczyć
24. Obliczyć iloczyn skalarny 𝐴⃗ ∙ 𝐵
⃗⃗ oraz różnicę 𝐵
⃗⃗ − 𝐴⃗ oraz długości wektorów 𝐵
⃗⃗ i 𝐴⃗ − 𝐵
⃗⃗.
sumę 𝐴⃗ + 𝐵
Wektory
Akademia Morska w Gdyni
B.Pranszke
ODPOWIEDZI:
∢90°;
Odp.: y=5;
2.
3.
4.
V=14;
V=30;
V=7;
V=|-36|=36;
V=2.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;
a) 𝐴𝐸
b) 𝐴𝐶
c) 𝐸𝐷
d) 𝐴𝐸
e) 𝐴𝐶
f) 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑣⃗ + 𝑤
𝐴𝐶
⃗⃗ + 𝑣⃗,
𝐻𝐵
⃗⃗⃗,
𝐶𝐸
⃗⃗⃗ − 2𝑣⃗ − 2𝑢
⃗⃗,
5
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑖⃗ + 𝑗⃗ → (3,1),
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 ⃗⃗⃗⃗⃗
a) 𝐴𝐵
𝐴𝐸
𝐴𝐼 = 4𝑖⃗ + 𝑗⃗ ,
5.
z=-9;
⃗⃗ + 3𝐶⃗)} = √110 .
cos∢{𝐴⃗, (𝐴⃗ − 2𝐵
1.
569
2
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤
𝐴𝐹
⃗⃗⃗ − 𝑣⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 𝐶𝐼
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖⃗ + 2𝑗⃗.
𝐶𝐷
2
2
b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 2𝑖⃗ + 4𝑗⃗.
7
c) wektor położenia B: 𝑟⃗𝐵 = (3, ).
2
6.
⃗⃗ → (0, 2, −1), 𝑂𝑄
⃗⃗ → (2, 2, 1)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑗⃗ − 𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑖⃗ + 2𝑗⃗ + 𝑘
a) 𝑂𝑃
⃗⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝑃𝑄
𝑂𝑃 = −2𝑖⃗ − 2𝑘
7.
a) 𝑢
⃗⃗ + (𝑣⃗ + 2𝑢
⃗⃗) = 𝑣⃗ + 3𝑢
⃗⃗,
8.
a) x=4, y=1;
9.
V = |−32| =
b) (𝑢
⃗⃗ − 𝑣⃗) + 2(𝑣⃗ − 2𝑢
⃗⃗) = 𝑣⃗ − 𝑢
⃗⃗,
1
1
3
1
6
3
2
2
c) 3 [ (𝑢
⃗⃗ + 𝑣⃗) + (𝑣⃗ − 𝑢
⃗⃗)] = 𝑣⃗ − 𝑢
⃗⃗.
b) x=1, y=5.
1
32
3
3
1
10. cos∢{𝑎⃗, 𝑏⃗⃗} =
2
1
40
3
3
V = |−40| =
,
1
10
3
3
V = |−10| =
,
11. a) 𝑎⃗ = 3𝑥̂ + 5𝑦̂ + 7𝑧̂ , 𝑏⃗⃗ = 8𝑥̂ − 6𝑦̂ − 2𝑧̂ , b) |𝑎⃗| = √83, |𝑏⃗⃗| = √104,
12. 𝑊 = (𝐹⃗1 + 𝐹⃗2 ) ∙ 𝑟⃗ = 48.
13. a) 14𝑥̂ − 38𝑦̂ + 16𝑧̂ ,
14. P = 12 cm2.
−2𝑡
c) cos∢{𝑎⃗, 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗} =
63
.
√83∙147
b) 36𝑥̂ − 38𝑦̂ − 14𝑧̂ .
⃗⃗ = −14; 𝐶⃗ × 𝐷
⃗⃗ = (−28, −14, 0);
15. 𝐶⃗ ∙ 𝐷
16. a) 𝑣(𝑡) = −6𝑒
.
.
+ 1, 𝑎(𝑡) = 12𝑒
−2𝑡
⃗⃗} =
cos∢{𝐶⃗, 𝐵
−√6
12
;
V = 0.
, 𝑣(𝑡 = 0) = −5, 𝑎(𝑡 = 0) = 12; b) 𝑣(𝑡) = 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡, 𝑎(𝑡) = −𝐴𝜔2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡, 𝑣(0) = 𝐴𝜔, 𝑎(0) = 0.
3
17. 𝑣(𝑡) = −𝑡 + , 𝑎(𝑡) = −1.
4
1
18. a) 𝑣(𝑡) = 𝑡 4 , 𝑥(𝑡) =
2
1
10
1
1
1
1
1
3
2
2
4
2
2
4
𝑡 5 + 1; b), 𝑣(𝑡) = 𝑒 2𝑡 + 𝑡 − , 𝑥(𝑡) = 𝑒 2𝑡 + 𝑡 2 − 𝑡 + .
⃗⃗ = 5; 𝐴⃗ × 𝐵
⃗⃗ = (−1, −11, 7); 𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗ = (−2, 3, 5); 𝐴⃗ − 𝐵
⃗⃗ = (4, 1, 1); |𝐴⃗| = √14 = 3.74; |𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗| = √38 = 6.16.
19. 𝐴⃗ ∙ 𝐵
−14
20. 𝐸⃗⃗ ∙ 𝐹⃗ = −14; |𝐸⃗⃗ | = √56; |𝐹⃗ | = √21; cos∢{𝐸⃗⃗ , 𝐹⃗ } =
; 𝑉 = |−14| = 14.
√56∙√21
21. a) 𝑣(𝑡) = 6𝑒 −3𝑡 − 1, 𝑎(𝑡) = −18𝑒 −3𝑡 , 𝑣(𝑡 = 0) = 5, 𝑎(𝑡 = 0) = −18; b) 𝑣(𝑡) = 𝑘𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡, 𝑎(𝑡) = −𝑘𝜔2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡, 𝑣(0) = 𝑘𝜔, 𝑎(0) = 0
3
22. 𝑣(𝑡) = 𝑡 − , 𝑎(𝑡) = 1.
4
1
1
1
1
1
1
4
2
2
4
2
2
23. a) 𝑣(𝑡) = 𝑡 3 , 𝑥(𝑡) = 𝑡 4 + 1; b), 𝑣(𝑡) = − 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑡 + , 𝑥(𝑡) = − 𝑠𝑖𝑛2𝑡 + 𝑡 2 + 𝑡 + 1.
⃗⃗ = 11; 𝐴⃗ × 𝐵
⃗⃗ = (1, 7, 5); 𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗ = (4, −3, 5); 𝐴⃗ − 𝐵
⃗⃗ = (−2, −1, 1); |𝐵
⃗⃗| = √14 = 3.74; |𝐴⃗ − 𝐵
⃗⃗| = √6.
24. 𝐴⃗ ∙ 𝐵
Kalkulator wektorów:
http://www.naukowiec.org/kalkulatory/wektory.html
Kalkulator macierzy (wyznaczników):
http://www.naukowiec.org/macierz.html