+ f(4) + ˇˇˇ + f(180) = 90 ctg 1

Trygonometria
1. Niech dla każdego n zachodzi f (n) = n sin n◦ . Pokazać, że zachodzi:
f (2) + f (4) + · · · + f (180) = 90 ctg 1◦
2ak−1
2. Ciag
aco:
a0 = x oraz ak = 1−a
zaś, kończymy go, gdy pojawi
2
, ai określony jest nastepuj
,
,
k−1
sie, wyraz o module równym 1. Znaleźć wszystkie x dla których ciag
, jest skończony.
3. Ciagi
bi określone sa, warunkami: a0 = x, b0 = y, gdzie x2 + y 2 < 4, ak = ak−1 bk−1
, 2 ai oraz
2
b
−a
oraz bk = k−1 2 k−1 dla k ∈ Z+ . Pokazać, że dla dowolnego > 0 istnieje takie n, by an < i
bn < .
4. Pokazać, że dla dowolnego x rzeczywistego i n całkowitego dodatniego zachodzi:
cos(x) + cos(x +
π
2π
(2n − 1)π
) + cos(x +
) + · · · + cos(x +
)=0
n
n
n
5. Dana jest liczba n ∈ Z+ . Znaleźć wszystkie takie x, by:
cos(x) + cos(2x) + · · · + cos(nx) = 0
√
√
6. Znaleźć maksymalna, możliwa, wartość wyrażenia x 1 − y 2 + y 1 − x2 dla x, y ∈ [−1, 1].
7. Pokazać, że dla a, b rzeczywistych dodatnich, takich, że a ­ b zachodzi:
√
√
a2 − b2 + 2ab − b2 ­ a
1