Metoda Newtona, metoda siecznych Niech f : R n ⊃ U → R n,n> 1 b

Metoda Newtona, metoda siecznych
Niech
f : Rn ⊃ U → Rn , n > 1
bedzie
funkcja, różniczkowalna, na zbiorze otwatym U oraz niech f (z) = 0. Metoda Newtona, to metoda
,
polegajaca
na wyznaczeniu kolejnych przybliżej xn nieznanego pierwiastka z.
,
Niech najpierw n = 1. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0 ∈ (a, b). Równanie
stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0
0
y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ).
Miejsce zerowe x1 stycznej
0
0 = f (x0 ) + f (x0 )(x1 − x0 ).
Zatem
0
x1 = x0 − [f (x0 )]−1 f (x0 ).
W kolejnym kroku wyznaczamy styczna, do wykresu w punkcie x1 znajdujac
, punkt x2 itd. Ogólny wzór
0
xn+1 = xn − [f (x0 )]−1 f (xn ) .
Twierdzenie 1 Niech f : Rn ⊂ U → Rn bedzie
różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu z ∈ Rn
,
0
0
takim, że f (z) = 0. Zalóżmy, że f jest ciag
la
w
punkcie z oraz odwzorowanie f (z) jest nieosobliwe.
,
Wówczas z jest punktem przyciagania
metody Newtona.
,
Zadania
1. Dana jest funkcja f (x) = (x − 1)2 oraz niech x0 = 2. Wyznaczyć 100 kolejnych iteracji metody
Newtona.
2. Dana jest funkcja f (x) = ex − 3x2 wyznaczyć możliwie najlepsze przybliżenie zera funkcji f .
3. Dana jest funkcja f (x) = e2x sin 5x−x. Wyznaczyć przybliżenie pierwiastka funkcji f z dokladnościa,
do 0, 01.
Metode, Newtona można zastosować w przypadku wielowymiarowym. Mianowicie niech jak wyżej
f : Rn ⊃ U → Rn , n > 1,
bedzie
różniczkowalna na zbiorze otwartym U . Zalóżmy, że f (z) = 0 dla pewnego z ∈ U . Wówczas
,
y − f (x0 ) = f (x0 ) (x1 − x0 ).
Zatem, jeżeli y = 0, to
0
−1
x1 = x0 − f (x0 ) f (x0 )
i dla kolejnych liczb n ∈ N
0
−1
xn+1 = xn − f (xn ) f (xn ).
Zadania
1. Dana jest funkcja
f (x, y) = (ex y − 1, x2 − y 2 + 1)
(a) Sporzadzić
wykres funkcji f .
,
(b) Wyznaczyć z dokladnościa, do 0, 01 pierwiastek funkcji f .
1
Metoda siecznych
Zalóżmy, że
f: R⊂U →R
bedzie
funkcja, ciag
, la, w przedziale [a, b]. Zalóżmy, że f (a)f (b) < 0. Kolejne kroki w metodzie siecznych
,
dane sa, zależnościa,
f (xn )(xn − xn−1 )
xn+1 = xn −
.
f (xn ) − f (xn−1 )
1. Wyznaczyć koleje 100 przybliżeń w metodzie siecznych rozwiazania
równania
,
tan x − x = 1
2. Wyznaczyć rozwiazanie
równania
,
tan x − x = 1
z dokladnościa, do 0, 1.
Definiowanie formul rekurencyjnych w pakiecie Mathematica 7:
In[1]:= f[1]=1 SHIFT+ENTER
Out[1]= 1
In[2]:= f[n_]=n+f[n-1] SHIFT+ENTER ENTER
In[3]:= f[2] SHIFT+ENTER
Out[3]:=3
Ważne wyrażenia
While[n<100,Print[n];n++]
For[i=0,i<4,i++,Print[i]]
2