lista 2

Zadania z przedmiotu
Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr
seria 2
1. Czy dzialanie ∗ jest laczne
w zbiorze M , jeśli:
,
y
(1) M = N, x ∗ y = x ;
(2) M = N, x ∗ y = 2xy;
(3) M = Z, x ∗ y = x2 + y 2 ;
x
(4) M = R∗ , x ∗ y = x · y |x| ;
(5) M = N, x ∗ y = N W D(x, y);
(6) M = Z, x ∗ y = x − y;
(7) M = R, x ∗ y = sin x · sin y;
(8) M = R \ {−1}, x ∗ y = x + y + xy?
2. Podać przyklady addytywnych grup liczbowych zawartych w grupie Q i zawierajacych
grupe,
,
Z. Czy każda addytywna grupa liczbowa zawarta w Q ma niezerowy przekrój z Z? Czy istnieja,
w Q dwie niezerowe addytywne podgrupy, których przekrój zawiera tylko 0?
3. Opisać multiplikatywne grupy Z∗m za pomoca, tabelki dla m = 6, 8, 12, 24.
∗
4. Wyznaczyć rzad
, grupy multiplikatywnej Zm , gdy m jest poteg
, a, liczby pierwszej p.
5. Niech O(Π), OX (Π) bed
, a, odpowiednio: zbiorem wszystkich obrotów plaszczyzny Π oraz
zbiorem wszystkich obrotów plaszczyzny Π wokól ustalonego punktu X ∈ Π. Czy zbiory te
wraz z dzialaniem skladania obrotów sa, grupami?
6∗ . Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne m takie, że w grupie Z∗m każdy element spelnia
warunek x2 = 1.
7. Wykazać, że w grupach Z∗m dla m = 3, 5, 16 wszystkie elementy spelniaja, warunek x4 = 1.
Na tej podstawie wykazać, że jeśli p jest liczba, pierwsza, p ≥ 7, to 240 | p4 − 1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8. Dane sa, permutacje σ =
,τ =
.
2 8 9 4 3 7 6 1 5
3 4 5 8 7 1 9 6 2
Obliczyć σ ◦ τ, τ ◦ σ, σ −1 , τ −1 . Rozlożyć σ, τ na cykle rozlaczne.
Obliczyć σ 35 ◦ τ −40 . Rozlożyć
,
σ, τ na transpozycje.
9. Wyznaczyć
parzystość permutacji:
1 2 3 4 5 6 7
1 2
(a)
, (b)
3 5
5 6 4 7 2 1 3
1
2
3
... n − 2 n − 1
(e)
n n − 1 n − 2 ...
3
2
3 4 5 6 7
2 1 6 4 8
n
1
, (f)
n
1
1 2 3 4 5 6 7
8
,
, (c)
7
2 4 1 7 6 5 3
2
3
4 ... n − 1 n
.
1 n − 1 2 ... ... ...
10. Wykazać, że każda, permutacje, σ ∈ Sn można przedstawić jako iloczyn
(1) transpozycji postaci (1, 2), (1, 3), ... , (1, n);
(2) transpozycji postaci (1, 2), (2, 3), ... , (n − 1, n);
(3) cykli (1, 2) i (1, 2, . . . , n);
(4) jeśli dodatkowo σ jest permutacja, parzysta,, to można ja, przedstawić jako iloczyn cykli
dlugości 3;
11. Sporzadzić
tabelki dzialań dla grup izometrii wlasnych nastepuj
acych
figur: a) prostokatny
,
,
,
,
trójat
równoramienny,
b)
prostok
at
różny
od
kwadratu
c)
kwadrat.
Wyznacz
podgrupy tych
,
,
grup.