Badania Operacyjne - Uniwersytet Zielonogórski
Transkrypt
Badania Operacyjne - Uniwersytet Zielonogórski
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Badania Operacyjne Laboratorium Wprowadzenie do programowania liniowego 1. Dla następujących zadań programowania liniowego: a) min[−6x1 − 2x2 ] 2x1 + 4x2 ¬ 9 3x1 + x2 ¬ 6 x1 , x2 0 b) max[x1 + 2x2 ] x1 − x2 5 x1 + x2 ¬ 6 x1 0 x2 ¬ 0 • sprowadzić je do postaci standardowej, • wyznaczyć wszystkie rozwiązania bazowe, • określić zbiór rozwiązań dopuszczalnych i znaleźć rozwiązanie optymalne. 2. Metodą przeglądu rozwiązań bazowych znaleźć minimum funkcji z = −3x1 − 4x2 przy ograniczeniach x1 −x1 x1 + x2 + 4x2 x2 ¬ 20 ¬ 20 10 5 3. Wyznaczyć optymalne rozwiązanie bazowe dla problemu min[2x1 + 3x2 ] przy ograniczeniach x1 0, x2 ∈ R x1 3x1 + x2 + 5x2 10 ¬ 15 4. Firma produkuje dwa produkty A i B, których rynek zbytu jest nieograniczony. Każdy z produktów wymaga obróbki na każdej z maszyn I, II, III. Czasy obróbki (w godzinach) dla każdego z produktów są następujące: I 0.5 0.25 A B II 0.4 0.3 III 0.2 0.4 Tygodniowy czas pracy maszyn I, II, III wynosi odpowiednio 40, 36 i 36 godzin. Zysk ze sprzedaży jednej sztuki A i B stanowi odpowiednio 5 i 3$. Określić tygodniowe normy produkcji wyrobów A i B maksymalizujące zysk. 5. Sprowadzić następujące zadanie: max[x1 + 2x2 ] przy ograniczeniach x1 , x2 0 −x1 x1 x1 x1 + 3x2 + x2 − x2 + 4x2 ¬ 10 ¬ 6 ¬ 3 4 do postaci standardowej. Pokazać, że istnieje 15 rozwiązań bazowych, z których 5 jest dopuszczalnych. Przyporządkować te rozwiązania odpowiednim wierzchołkom zbioru punktów dopuszczalnych. 1 6. Układ równań Ax = b ma postać kanoniczną, jeżeli z macierzy A można wybrać kolumny, z których daje się zbudować macierz jednostkową. Rozważmy układ x1 + 3x2 + x3 + x4 = 12 −3x1 − 4x2 − 2x3 + x4 = −19 Za pomocą elementarnych operacji wierszowych sprowadzić go do postaci kanonicznej, a następnie wyznaczyć przynajmniej jedno rozwiązanie bazowe. 7. Wykorzystując metodę sympleks rozwiązać następujące ZPL: a) min[−4x1 − 4x2 ] 2x1 + 4x2 ¬ 8 3x1 + x2 ¬ 8 x1 , x2 0 min[−x1 − x2 ] x1 − x2 1 x2 ¬ 2 x1 , x2 0 b) 8. Zastosować algorytm sympleks do znalezienia maksimum funkcji z = 2x1 + x2 + 3x3 przy ograniczeniach x1 , x2 , x3 0 x1 2x1 x1 + − + x2 x2 2x2 ¬ 14 ¬ 6 ¬ 10 + x3 + x3 − x3 9. Znaleźć minimum funkcji z = −3x1 − x2 przy ograniczeniach x1 , x2 0 x1 x1 2x1 αx1 ¬ ¬ ¬ + x2 − x2 + x2 + βx2 1 1 3 6 w przypadku gdy a) α = β = 1, b) α = 2, β = 2/3, c) α = 6, β = −6 10. Firma potrzebuje węgiel z zawartością fosforu nie większą niż 0.03% i zawartością cynku nie większą niż 3.25%. Dostępne są trzy gatunki węgla A, B i C po następujących cenach za tonę: Gatunek węgla A B C Zaw. P [%] 0.06 0.04 0.02 Zaw. Zn [%] 2.0 4.0 3.0 Cena [$] 30 30 45 Jak należy je zmieszać, aby otrzymać najniższą cenę i jednocześnie spełnić ograniczenia na zawartość zanieczyszczeń? 11. Organizm mężczyzny pracującego fizycznie wymaga dostarczenia dziennie co najmniej 5000 jednostek witaminy A i 1,4 jednostek witaminy B1 oraz co najmniej 75 jednostek witaminy C. Tabela podaje zawartość witamin w 1 kg niektórych produktów oraz ceny tych produktów. Należy tak zaplanować zakup produktów na 10 dni, aby łączny koszt zakupu był minimalny. Witamina A B1 C Cena 1 kg Drób 2500 0,6 – 2,7 Ryby 10200 0,3 10 3,4 2 Mleko 1400 0,5 10 1,5 Chleb – 3 – 3,5 12. W zakładzie doświadczalnym wyhodowano nową odmianę pszenicy, która daje wysokie plony z ha. Konieczne jest jednak stosowanie trzech nawozów: fosforowego, potasowego i naturalnego. Nawozy te zawierają cztery istotne składniki A, B, C, D. Zawartość tych składników w 1 kg poszczególnych nawozów oraz minimalne ilości składników odżywczych, jakie powinny być dostarczone pszenicy w ciągu okresu wegetatywnego (na 1 ha) podaje tabela. Składniki A B C D Zawartość składników odżywczych w 1 kg nawozu fosforowy potasowy naturalny 6 2 26 40 4 20 3 20 60 18 12 13 Minimalna ilość składnika 96 160 120 152 Określić optymalną dawkę nawozów ze względu na wielkość kosztów, jeśli ceny 1 kg poszczególnych nawozów kształtują się odpowiednio: 0,5 zł, 0,6 zł i 0,2 zł. Rozwiązać problem, jeśli proporcja użytych nawozów wynosi 1 : 0,5 : 4. 13. W dwóch miejscowościach A i B istnieje zapotrzebowanie na opryski ochronne przy użyciu herbicydów. W obu miejscowościach potrzeba po 6 samolotów celem realizacji zadania. Wiadomo, że 3, 4 i 5 samolotów można otrzymać odpowiednio z lotnisk L1 , L2 i L3 . Jak należy rozdzielić samoloty pomiędzy miejsca A i B, aby zminimalizować ich całkowity przelot? Odległości z lotnisk do miejscowości A i B przedstawia poniższa tabela: Lotnisko L1 L2 L3 Odległość od punktów A B 12 15 7 14 16 5 14. Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów A, B, C, D, które są obrabiane na trzech maszynach M1 , M2 i M3 . Czas pracy maszyn w godz. przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podaje tabela poniżej. Wyroby A B C D M1 1,0 1,5 2,0 1,0 Czas pracy [h] M2 M3 2,0 1,5 2,5 2,0 3,0 2,0 0,5 1,5 Rynek może wchłonąć każdą ilość produkcji. Jednostkowe zyski (w tys. zł) wynoszą przy produkcji wyrobu A - 2,0, wyrobu B - 2,5, wyrobu C - 4,0, a wyrobu D - 1,5. Każda maszyna może pracować miesięcznie: M1 - nie więcej niż 100 godz., M2 - co najmniej 50 godz., M3 - nie więcej niż 120 godz. Określić optymalny asortyment produkcji umożliwiający maksymalizację zysku. 15. Sprowadzić do postaci standardowej programowania liniowego zadanie programowania nieliniowego |x| + |y| + |v| x + y 2x + v 3 −→ min ¬ 1 = 3