R3 → R 2 określone wzorem f(x1,x2,x3)

Przykładowy zestaw zadań na kolokwium nr 1
Zadanie 1
Dane jest przekształcenie f : R3 → R2 określone wzorem
f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + 5x2 − x3 , 3x1 − x2 + 2x3 )
Wykazać, że jest to przekształcenie liniowe
Zadanie 2
Dane jest przekształcenie liniowe f : R3 → R3 określone wzorem
f (x1 , x2 , x3 ) = (7x1 + 3x2 − x3 , −8x1 − 3x2 + x3 , 2x1 + x2 + x3 )
Wyznacz:
1. jego macierz w bazach kanonicznych przestrzeni R3
2. wielomian charakterystyczny tej macierzy
3. równanie charakterystyczne
4. wartości własne
5. krotności algebraiczne wyznaczonych wartości własnych
6. wektory własne odpowiadające znalezionym wartościom własnym
7. krotności geometryczne wyznaczonych wartości własnych
Zadanie 3
Oblicz wartość wielomianu f (A) = A5 − 3A4 + 3A3 − 2A2 + 5 · I dla macierzy
−1 9
A=
1 −1
1