Krzywe stożkowe NOWE! 08 stycznia 2011, 15 15 , sala 212.

Krzywe sto»kowe
Równanie okr¦gu o ±rodku w punkcie
i promieniu
(a, b)
r:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Równanie prostej stycznej do okr¦gu w punkcie(x1 , y1 ):
(x − a)(x1 − a) + (y − b)(y1 − b) = r2 .
(−2, −3) i promieniu 3.
(2, −3) przechodz¡cego przez punkt (5, 1).
którego ±rednica jest odcinkiem o ko«cach w punktach (3, 9)
1.
Napisz równanie okr¦gu o ±rodku w punkcie
2.
Napisz równanie okr¦gu o ±rodku w punkcie
3.
Napisz równanie okr¦gu,
oraz
(7, 6).
4.
Jakie warto±ci przyjmuj¡ wspóªczynniki równania
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
je±li wiadomo, »e opisuje ono okr¡g o ±rodku w punkcie
(3, 2)
i promieniu 5?
x2 + y 2 − 4x + 2y + 1 = 0.
2
6. Napisz równanie prostej stycznej do okr¦gu (x + 1) + (y − 3) = 25 w punkcie (3, 6).
7.
Napisz równanie prostej stycznej do okr¦gu x2 + y 2 = 13 równolegªej do prostej
4x + 6y − 5 = 0.
2
2
8. Napisz równanie prostej stycznej do okr¦gu x + y + 6x = 0 prostopadªej do prostej
4x − 3y + 7 = 0.
5.
Okre±l wspóªrz¦dne ±rodka oraz promie« okr¦gu o równaniu
2
x2
y2
Równanie elipsy: a2 + b2 = 1.
Ogniska elipsy: (c, 0), (−c, 0), gdzie b2
Mimo±ród:
e=
c
.
a
Prosta styczna do elipsy w punkcie
9.
+ c 2 = a2
(x1 , y1 ):
xx1
a2
(o ile o± dªuga pokrywa si¦ z
+
yy1
b2
0x).
= 1.
Napisz równanie elipsy o osiach dªugo±ci 5 i 4.
10.
Napisz równanie elipsy o dªu»szej osi równej 10 i o odlegªo±ci mi¦dzy ogniskami
równej 8.
11.
Napisz równanie elipsy o krótszej osi równej 4 i o odlegªo±ci mi¦dzy ogniskami równej
12.
Napisz równanie elipsy o mimo±rodzie
13.
Napisz równanie elipsy o mimo±rodzie
14.
Napisz równanie elipsy o mimo±rodzie
6.
15.
oraz du»ej osi równej 20.
oraz maªej osi równej 12.
oraz odlegªo±ci mi¦dzy ogniskami 8.
Znajd¹ dªugo±ci osi, wspóªrz¦dne ognisk oraz mimo±ród elipsy danej równaniem
16x2 + 25y 2 = 400.
x2
Ile stycznych do elipsy 9
x2
17. Ile stycznych do elipsy
9
16.
0, 6
0, 8
0, 8
x2
18. Ile stycznych do elipsy
9
+
+
+
y2
4
y2
4
y2
4
= 1,
= 1,
= 1,
przechodzi przez punkt
przechodzi przez punkt
przechodzi przez punkt
(1, 1)?
(3, 1)?
(0, 2)?
Wiadomo, »e prosta
19.
2x − 5y − 30 = 0
x2
jest styczna do elipsy 75
y2
24
= 1.
Znajd¹
18x2 + 32y 2 = 576 w punkcie M (4, 3).
elipsy 9x2 + 16y 2 = 144 równolegªych do
prostej
+
wspóªrz¦dne punktu styczno±ci.
Znale¹¢ równanie stycznej do elipsy
20.
Znale¹¢ równania stycznych do
21.
x + y − 1 = 0.
Dobra¢ tak warto±¢ wspóªczynnika
22.
x2
elipsy 9
+
y2
4
m,
aby prosta
mx − 2y + 5 = 0
byªa styczna do
= 1.
x2
y2
Równanie hiperboli: a2 − b2 = 1.
Ogniska hiperboli: (c, 0), (−c, 0), gdzie b2
+ a2 = c 2
(o ile gaª¦zie s¡ wzdªu» osi
Mimo±ród:
e=
b
Asymptoty: y = ± a x.
Prosta styczna do hiperboli w pkt.
(x1 , y1 ):
xx1
a2
−
yy1
b2
= 1.
Znale¹¢ mimo±ród hiperboli, maj¡c dany k¡t mi¦dzy asymptotami równy
23.
0x).
c
.
a
60o .
Napisa¢ równanie hiperboli o ogniskach poªo»onych na osi odci¦tych symetrycznie
24.
wzgl¦dem ±rodka ukªadu wspóªrz¦dnych, maj¡c dan¡ odlegªo±¢ 12 mi¦dzy ogniskami oraz
mimo±ród równy 2.
Napisa¢ równanie hiperboli o ogniskach poªo»onych na osi odci¦tych symetrycznie
25.
wzgl¦dem ±rodka ukªadu wspóªrz¦dnych, maj¡c dane równanie asymptot
5
x
y = ± 12
i odle-
gªo±¢ mi¦dzy ogniskami równ¡ 26.
Napisa¢ równania stycznych do hiperboli
26.
4x2 − y 2 = 36
równolegªych do prostej
3x − y − 17 = 0.
Napisa¢ równania stycznych do hiperboli
27.
x2 − 4y 2 = 32
poprowadzonych z punktu
A(1, 0).
Napisa¢ równanie hiperboli o ogniskach na osi
28.
ukªadu, stycznej do prostej
Równanie paraboli:
x−y−2=0
w punkcie
Ox symetrycznie
M (4, 2).
wzgl¦dem pocz¡tku
y 2 = 2px.
x = − 12 p.
(x1 , y1 ): yy1 = p(x + x1 ).
1
Ognisko paraboli: ( 2 p, 0), kierownica:
Styczna do paraboli w pkt.
Napisa¢ równanie paraboli o wierzchoªku w pocz¡tku ukªadu symetrycznej wzgl¦dem
29.
osi
Ox
i przechodz¡cej przez punkt
30.
A(−2, 4).
Napisa¢ równanie paraboli o wierzchoªku w pocz¡tku ukªadu i ognisku w punkcie
F (2, 0).
31.
32.
Z punktu
A(−2, 0)
y 2 = 8x.
y 2 = 16x i prostopadªej
poprowadzi¢ styczne do paraboli
Napisa¢ równanie prostej stycznej do paraboli
do prostej
x + 2y − 16 = 0.
Wersja z 8 stycznia 2011
A
Typeset by L TEX.