Prognoza punktowa ex post (1) - E-SGH

Ekonometria
WYKŁAD 4
Piotr Ciżkowicz
Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych
Plan
Czym się zajmiemy:
1. Prognozowanie na podstawie modelu
ekonometrycznego
2. Modele liniowe i nieliniowe – przykłady
Prognozowanie – podstawowe pojęcia (1)
►Prognozowanie (albo predykcja) to określanie nieznanych
wartości zmiennej objaśnianej na podstawie modelu
ekonometrycznego opisującego kształtowanie się wartości tej
zmiennej
►Prognozowanie na podstawie wyestymowanego modelu wymaga
aby:
► model był pozytywnie zweryfikowany (w szczególności nie było
podstaw do podejrzewania braku stabilności modelu)
► zasadna jest ekstrapolacja wartości zmiennych objaśniających
i objaśnianej na okres poza próbą
►Przy takich założeniach prognoza jest nieobciążona tzn. wartość
oczekiwana odchylenia prognozy od rzeczywistej wartości
oczekiwanej zmiennej objaśnianej jest równa 0
Prognozowanie – podstawowe pojęcia (2)
►Dla oszacowanego modelu
wartość zmiennej objaśnianej na okres 0, odpowiednio,
rzeczywista i prognozowana na podstawie modelu wynosi
►Błąd prognozy wynosi wtedy:
►Ponieważ
zachodzi
oraz
to
Prognozowanie – podstawowe pojęcia (3)
►Źródła błędów prognozy:
►Błąd estymacji - oszacowane parametry różne od
prawdziwych
►Błąd losowy – wartość składnika losowego w okresie
prognozy różna od 0
►Błąd struktury stochastycznej – niespełnione założenia MNK
►Błąd warunków endogenicznych – zmiana warunków
kształtowania się zmiennej objaśnianej
►Błąd warunków egzogenicznych - błędne założenia
odnośnie do kształtowania się zmiennych egzogenicznych
►Błąd pomiaru – zmiana danych na podstawie których
oszacowany był model
Prognozowanie – podstawowe pojęcia (4)
► Dekompozycja prognozy
Prognoza punktowa ex ante
► Prognoza punktowa:
lub:
►Błąd prognozy ex ante oblicza się według wzoru:
►W celu sprowadzenia go do porównywalnych kategorii wyraża
się jego wartość w odniesieniu do wartości prognozowanej
zmiennej otrzymując względny błąd prognozy ex ante
Prognoza przedziałowa ex ante
► Jeśli spełnione jest założenie o normalności rozkładu składnika
losowego, to zmienna losowa
ma rozkład t-Studenta z n-(k+1) stopniami swobody
►Dla zadanego poziomu ufności
przedział ufności to:
Prognoza punktowa ex post (1)
►Prognoza ex post wyznaczana jest wtedy, gdy znane są
rzeczywiste wartości zmiennej objaśnianej
► Celem wyznaczania prognozy ex post jest analiza własności
prognostycznych modelu
►Badanie własności prognostycznych opiera się na kilku
rodzajach miar błędów prognoz:
►Średni błąd predykcji (mean error – ME) – główan wada:
zmniejszanie wartości błędów dodatnich przez ujemne
►Średni błąd absolutny (mean absolute error - MAE) porównanie z ME pozwala wykryć systematyczne różnice
Prognoza punktowa ex post (2)
►Błąd średniokwadratowy (meand square error – MSE), w
praktyce posługujemy się jego pierwiastkiem (RMSE); duże
róznice w stosunku do MAE wskazują na pojawianie się bardzo
dużych błędów prognozy
►Średni absolutny błąd procentowy (mean absolute percentage
error - MAPE)
Prognoza punktowa ex post (3)
►Współczynnik Theila – MSE odniesiony do sumy kwadratów
wartości rzeczywistych
► Współczynnik Theila i MSE można zdekomponować na trzy
elementy, wskazujące trzy różne źródła powstawania błędu
prognozy
►systematyczne obciążenie prognozy:
►Mała elastyczność modelu względem
zmian wartości zmiennej objaśnianej
►Błąd niesystematyczny:
Prognoza punktowa ex post (4)
►Współczynnik rozbieżności U: nadaje się do porównywania
własności prognostycznych modeli o różnych wartościach
zmiennej objaśnianej, gdyż przyjmuje wartości z przedziału [0,2]
Modele liniowe
►Modele liniowe względem parametrów i zmiennych np.:
►Modele liniowe względem parametrów, lecz nieliniowe
względem zmiennych np.:
lub w postaci ogólnej:
►Jeśli funkcja g (y)=y, to model jest bezpośrednio liniowy
względem parametrów , w przeciwnym przypadku model jest
linearyzowany np.
lub po zlinearyzowaniu:
Typowe modele liniowe wzg. parametrów
►Modele bezpośrednio liniowe:
► Modele funkcji kwadratowej (zależność U-kształtna)
►Model ze zmiennymi interakcyjnymi
► Modele linearyzowane:
►Model potęgowy:
► Model wykładniczy:
► Model hiperboliczny:
Interpretacja parametrów regresji w modelach z
logarytmami
►Model liniowy : poziom – poziom - wyjaśnione wcześniej
►Model logarytmiczny : poziom – logarytm
Interpretacja: wzrost x o 1% prowadzi do wzrostu y o
► Model wykładniczy : logarytm– poziom
Interpretacja: wzrost x o 1 prowadzi do wzrostu y o
► Model potęgowy: logarytm– logarytm
Interpretacja: wzrost x o 1% prowadzi do wzrostu y o
jednostek
Co oznacza przyrost logarytmu?
►Wyrażenie
oznacza tempo wzrostu
zmiennej x
►Dla zmiennej przekrojowej oznacza natomiast procentowy
przyrost zmiennej x
►Dowód:
►Z rozwinięcia Taylora mamy
stąd dla
mamy:
Elastyczność a logarytmy
►Elastyczność cząstkowa zmiennej y po zmiennej x dana jest
wzorem:
►Dowód: oznaczając u=lny, v=lnx, x=e^lnx=e^v otrzymujemy
Interpretacja parametru w wykładniczym modelu trendu
►W modelu postaci
parametr stojący przy zmiennej t oznacza stopę wzrostu
zmiennej y
►Dowód:
co ze wzoru Maclaurina jest równe
Przykład modelu ściśle nieliniowego – funkcja logistyczna
►Funkcja logistyczna to funkcja określona wzorem
►Wykres funkcji logistycznej postaci
Przykład modelu ściśle nieliniowego – funkcja logistyczna
►Własności funkcji logistycznej:
► parametr
jest poziomem nasycenia zmiennej y, gdyż zachodzi :
► dla t= 0 funkcja przyjmuje
► punktem przegięcia funkcji jest
►funkcję można sformułować w innej wersji, w której przyjmuje
wartość nasycenia równą 1, stąd nadaje się do modelowania
prawdopodobieństwa (podstawa tzw. modelu logistycznego)
Dziękuję za uwagę