Egzamin 2003/4

Egzaminy, styczeń/luty 2004
Trzeci termin
Trzeci termin egzaminu – poniedziałek 8/03/04 – godz. 11.30 - 13.30 (4-5 osób) i 15.00 - 16.30 (4-5 osób). Zainteresowane osoby proszę o
wysłanie mail’a z określeniem, który z podanych dwóch terminów wybierają. Na egzaminie obowiązuje w pierwszym rzędzie znajomość
problemów z dwóch poprzednich terminów egzaminu (patrz niżej), oraz podanych wcześniej zagadnień. .
Pierwszy termin
1. Do jeziora o objętości V = 106 m3 wpływa i równocześnie wypływa woda z szybkością Qwe = Qwy = 1 m3 /s. W chwili oznaczonej
jako t = 0 s do jeziora dostają się wraz z wpływającą wodą zanieczyszczenia o stężeniu C = 25 mg/litr.
• Jaką interpretację fizyczną ma wielkość τ = V /Qwe ?
• Oblicz koncentrację zanieczyszczeń w funkcji czasu przyjmując ich jednorodny rozkład w całej objętości jeziora jeżeli C(t ¬
0) = 0.
• Jakie jest stężenie zanieczyszczeń po bardzo długim czasie (t → ∞)?
2. W celu usunięcia cząsteczek aerozolu ze strugi powietrza płynącej przez przewód o przekroju kwadratowym użyto jednorodnego
pola elektrycznego o zmiennym w czasie natężeniu E(t) = E0 sin(2πt/T ), gdzie T – okres zmian pola elektrycznego, skierowanego
prostopadle do prędkości U strugi powietrza (rysunek).
Napisz równanie ruchu cząsteczki aerozolu wzdłuż osi 0y pomijając siłę wyporu i przyjmując, że działa na nią opór cieczy opisany
prawem Stokesa FD = 3πµd/Cc , gdzie µ – współczynnik lepkości; d – średnica cząsteczki; Cc – współczynnik poślizgu (trzeba
go uwzględnić, gdy ruch odbywa się w powietrzu). Dana jest także gęstość cząsteczki aerozolu ρ i jej ładunek q. Następnie –
wprowadzając ewentualnie bezwymiarowy czas i prędkość: x = t/T ; uy = Vy /U – a także czas charakterystyczny cząsteczki
aerozolu
Cc ρd2
τ=
18µ
wykaż, że jeśli τ T , a także τ t (czyli rozważamy stan quasi–stacjonarny), to wówczas
uy (t) =
6qE0 τ
sin(2πt/T ).
πρd3
Oblicz jaka powinna być szerokość przewodu, h, aby cząsteczki aerozolu zostały całkowicie usunięte z przewodu na drodze o długości
L?
3. W procesie sedymentacji przy przepływie tłokowym można zastosować płyty umieszczane wewnątrz zbiornika sedymentacyjnego,
które zwiększają skuteczność sedymentacji (rysunek).
Oblicz efektywny współczynnik sedymentacji, Reff , jeśli włożono do zbiornika N symetrycznie rozmieszczonych płyt w przypadku
(JEDNO DO WYBORU):
• sedymentacji objętościowej bez mieszania, (czy można osiągnąć Reff = 1?)
• sedymentacji objętościowej w z idealnym mieszaniem,
jeżeli współczynnik sedymentacji w zbiorniku bez płyt wynosi R.
4. Znajdź pole prędkości – składową transwersalną uφ (r) – cieczy lepkiej o gęstości ρ między dwoma współśrodkowymi cylindrami
(szary obszar) obracającymi się z przeciwnie skierowanymi prędkościami kątowymi o wartości ω.
Oblicz ponadto
a) strumień cieczy między walcami J = j · ds, gdzie j = ρuφ (r)φ̂ – gęstość strumienia cieczy, b) średnią prędkość kątową obrotu
cieczy ωsr = uφ (r)/r (wsk.: średniujemy po powierzchni prostopadłej do kierunku prędkości uφ (r) ). Czy ciecz wiruje efektywnie
zgodnie czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara? Wsk.: Równanie Naviera-Stokesa redukuje się tutaj do postaci
R
"
#
∂ 1 ∂
(ruφ (r)) = 0.
∂r r ∂r
5. Oblicz strumień tlenu dyfundującego do powierzchni cząsteczki kulistej (grudki czystego węgla) o średnicy d = 10−2 cm w procesie
spalania
C + O2 → CO2
kontrolowanego wyłącznie dyfuzją tlenu. Spalanie zachodzi w temperaturze T = 1145 K, współczynnik dyfuzji tlenu O2 w powietrzu
o tej temperaturze wynosi D = 1.4 · 10−4 jednostek w układzie SI, natomiast ciśnienie parcjalne tlenu w powietrzu daleko od
cząsteczki węgla wynosi pO2 = 0.22 · 105 Pa. Jaka jest jednostka D w układzie SI?
wskazówka: jeżeli nie pamiętasz równania na strumień WA = 4πr2 NA,r (r) na powierzchni cząstki, wyprowadź go, rozwiązując
równanie
d 2
r NA,r = 0,
dr
(za NA,r (r) podstawiamy z prawa Ficka) z warunkami:
xA,r→∞ ≡ xA,∞ ;
xA,r=a =?
6. Zapisz równanie dyfuzji, dla przypadku „ jednowymiarowego” – tzn. dla ρA ≡ ρA (x, t) i jego rozwiązanie dla injekcji punktowej w
przestrzeni:
ρA (x, t = 0) = MA δ(x);
(MA – masa, którą w chwili t = 0 generuje każdy metr kwadratowy płaszczyzny prostopadłej do osi Ox. W oparciu o to rozwiązanie,
skonstruuj rozwiązanie dla injekcji:
(
C0 , dla x < 0;
C(x, t = 0) =
0, dla x > 0.
1. Równanie bilansu:
dCuk
= Qwe Cwe − Qwy Cwy .
dt
= Cwy , a więc
V
Ponieważ rozkład zanieczyszczeń jednorodny Cuk
dCwy
Q
= Cwe − Cwy .
dt
V
Całkujemy (albo od razu jako r.r. o zmiennych rozdzielonych, albo jako równanie niejednorodne – metoda „zgadywania” całki
szczególnej, bądź uzmienniania stałej) z warunkiem: Cwy (t = 0) = Cuk (t = 0) = 0. Wynik
Q
1 − exp − t
V
Cwy (t) = Cuk (t) = Cwe
≡ Cwe
t
1 − exp −
τ
,
gdzie τ = V /Q to czas potrzebny do napełnienia zbiornika. Przy t → ∞ mamy Cuk → Cwe .
2. Równanie
qE0
dv 1
sin ω0 t,
+ v=
dt τ
mp
gdzie mp – masa cząstki (można wyrazić przez podaną gęstość i średnicę. Dla odpowiednio dużego czasu (stan stacjonarny!) prędkość
jest stała
1
qE0
v =
sin ω0 t,
τ
mp
a więc
v=
qE0
sin ω0 tτ.
mp
Całkując
y(t) =
qE0 τ
(1 − cos ω0 t) ;
mp ω0
jeżeli y(0) = 0.
Stąd (dla cząstek które wchodzą „przy dolnej ściance”)
qE0 τ
L
h=
1 − cos ω0 .
mp ω0
U
3. Najprościej jest posłużyć się wzorami na Ref f :
a) dla przepływu bez mieszania
R=
vgr
vgr
vgr
=
=A .
V0
Q/A
Q
(V0 – prędkość przelewu). Widać, że skuteczność osadzania jest proporcjonalna do powierzchni, jaką „mają do dyspozycji” sedymentujące cząstki; wstawiając dodatkowe N płyt zwiększamy powierzchnię ( a więc i R) N + 1 razy. Oczywiście, zawsze R ¬ 1 —
może być równy 1.
b) dla przepływu z mieszaniem
R=1−
1
1
vgr = .1 −
vgr
1+
1+
V0
Q/A
Zwiększenie (N + 1)-krotne powierzchni zwiększa oczywiście R, ale nigdy nie osiągniemy R = 1.
4. Jedyny kłopot to odpowiednie warunki brzegowe:
(
ωR1
r = R1
−ωR2 r = R2 .
uφ =
Wynik całkowania (prostego!!)
2R1 2 R2 2
ω
2
2
−
R
+
R
r
+
.
uφ =
2
1
r
R2 2 − R1 2
"
#
Strumień to całka
J=
Z
R2
uφ (r)ρ 2πr dr,
R1
podobnie średnia prędkość kątowa to
R2
uφ (r)
2πr dr
r
R1
ωsr =
.
π(R2 2 − R1 2 )
Z
5. Całkowity strumień na powierzchni cząsteczki to
WA = −4πacDAB xA,∞ .
(0-1)
Jeżeli zapomniałeś tego wzoru , to można było go natychmiast wyprowadzić:
WA = 4πr2 NA,r = constans. Z kolei: NA,r = −cDAB dxdrA i mamy
dr
−WA 2 = 4πacDAB dxA ;
r
Z
∞
dr;
Z
a
xA,∞
xA (a)
dxA .
Ponieważ dyfuzja w pełni kontroluje proces xA (a) = 0 – stąd wzór (0-1).
Mamy
xA,∞ =
a więc
WA = −4πaD
6.
p O2
;
p
c=
n
p
=
,
V
RT
p p O2
= . . . ≈ 2 · 10−7 mol/s.
RT p
∂c
∂2c
=
∂t
∂x2
Rozwiązanie:
!
1
−x2
c(x, t) = √
exp
.
4Dt
4Dπt
Tak jest dla transportu „w obie strony” (ujemne i dodatnie wartości x). Dla transportu tylko w jedną (np. dodatnie x) koncentracje
są dwa razy większe
!
−x2
1
.
exp
c(x, t) = √
4Dt
Dπt
Rozwiązanie dla injekcji ciągłej można uzyskać całkując powyższe równanie po pół-nieskończonym układzie źródeł „płaskich”
c = C0
Z
ξ2
≡ u2 ;
4Dt
∞
x
1
ξ2
√
exp −
4Dt
Dπt
ξ
√
≡ u;
2 Dt
!
= ...
dξ
√
≡ du
2 Dt
!
2 Z ∞ −u2
x
. . . = C0 √
e du ≡ C0 erfc √
.
π 2√xDt
2 Dt
Drugi termin
1. W zbiorniku bez odpływu znajduje z czysta woda o objętości V0 . W chwili t = 0 zaczyna do zbiornika wpływać woda ze stałą
szybkością objętościową (stałym wydatkiem) Q(m3 /s) zawierająca zanieczyszczenia o stężeniu C0 = 10 mg/litr.
Przyjmując, że współczynnik sedymentacji zanieczyszczeń przy całkowitym mieszaniu wynosi
R = 1 − (1 + vp /vgr )−1 (gdzie vp oraz vgr to odpowiednio, prędkość przelewu i opadania zanieczyszczeń oblicz:
a) stężenie zanieczyszczeń w funkcji czasu, C(t);
b) w końcowym wzorze wprowadź czas τ = V0 /Q (jaka jest jego interpretacja?) i oblicz stężenie jakie ustali się dla t τ ;
c) jak z powyższego doświadczenia można obliczyć współczynnik sedymentacji R ?
Rozwiązanie
Objętość zbiornika zmienia się według wzoru
V (t) = V0 + Qt,
stąd dV /dt = Q. Równanie bilansu to
szybkość zmian masy w objętości V = szybkość dopływu – szybkość sedymentacji
d
(CV ) = QC0 − J S
dt
czyli
V
dC
dV
+C
= QC0 − Cvgr S.
dt
dt
Porządkujemy
dC
1
=
[QC0 − C(Q + vgr S)]
dt
V0 + Qt
Po rozdzieleniu zmiennych
dC
dt
=
QC0 − C(Q + vgr S)
V0 + Qt
Po wycałkowaniu po t od 0 do pewnej wartości t (koncentracja w chwili t = 0 jest równa 0) mamy

C(t) = 1 −

V0
V0 + Qt
! Q+vgr S

Q


QC0
Q + vgr S
C0
C0
QC0
=
=
Q + vgr S
1 + vgr S/Q
1 + vvgrp
Z kolei
R=1−
1
1 + vvgrp
a więc
QC0
= C0 (1 − R)
Q + vgr S
Podobnie
Q + vgr S
vgr
1
=1+
=
Q
vp
1−R
Wprowadzając τ = V0 /Q mamy

1
c(t) = C0 (1 − R) 1 −
1 + t/τ
Dla t τ
c(∞) = C0 (1 − R)
a więc
R=1−
c(∞)
.
C0
!
1
1−R

.
2. Wyjaśnij zjawisko liniowego spadku ciśnienia przy lepkim przepływie wody przez poziomą rurę.
Korzystając ze wzoru Poiseuille’a dla pola prędkości cieczy w rurze
U (r) = −
1 dp 2
a − r2
4µ dz
oblicz prędkość średnią Usr (zaznaczoną na rysunku) i oblicz współczynnik lepkości µ cieczy jeśli dana jest objętościowa szybkość
przepływu cieczy (wydatek) Q, promień rury a oraz spadek ciśnienia ∆p na drodze L.
Rozwiązanie:
Siła oporu lepkiego jest proporcjonalna do długości rury: FD = αL; aby zachować stałą prędkość przepływu musimy ją zrównoważyć
odpowiednią różnica ciśnień ∆p; stąd
∆p = FD = αL.
Tak więc dp/dz we wzorze Poiseuille’a to pewna ujemna stała −β i
U (r) =
1 2
β a − r2
4µ
β 2
βa2
1 Za
2πr
a − r2 dr = . . . =
.
Usr = 2
πa 0
4µ
8µ
Wydatek spełnia równanie (bilans masy)
ρQ =
Z
a
2πrJdr =
0
Z
a
2πrρU (r)dr
0
a jeżeli tak to – zgodnie z określeniem prędkości średniej –
Q=
Z
0
a
2πrU (r)dr = (πa2 )Usr =
πa4 β
.
8µ
Dostajemy więc prosty wzór
µ=
πa4 β
;
8Q
β = −dp/dz.
3. Na dnie pionowej otwartej probówki o długości L znajduje się pewna ilość amoniaku, którego współczynnik dyfuzji do powietrza
o temperaturze t = 20◦ i ciśnieniu p = 1 atm wynosi DAp = 0.28 cm2 /s.
Korzystając z prawa Ficka wykaż, że gęstość strumienia cząsteczek amoniaku NA wydostających się z probówki wynosi
NA =
p DA p
ln(xp2 /xp1 ),
kT L
gdzie k – stała Boltzmanna, xp1 i xp2 – frakcje molowe powietrza, odpowiednio na dnie i u wylotu z probówki.
Uwaga:
Równanie określające gęstość strumienia to
N A (1 − xA ) = −cDAp ∇xA
przy czym xA + xp = 1; gdzie xA to frakcja molowa amoniaku, xp – frakcja molowa powietrza. Skomentuj to równanie (to już jest
nieco uproszczona postać bardziej ogólnego równania) – w jakim to jest układzie, jaki jest jego związek z 2. prawem Ficka?
Rozwiązanie:
W stanie ustalonym składowa z-owa gęstości strumienia jest stała
d
NA,z = 0.
dz
Podane w temacie równanie przybiera postać
NA,z dz = cDAp
−dxA
.
1 − xA
Całkujemy go w granicach Z1 i z2 : xA (z1 ) ≡ xA1 = 1 − xp1 i xA (z2 ) ≡ xA2 = 1 − xp2 . W dodatku z2 − z1 = L. Mamy więc
NA,z
Z
z2
z1
dz = cDAp ln
1 − xA2
= cDAp ln(xp2 /xp1 ).
1 − xA1