Egzamin z fizyki transportu, 1/02/08 – 1. termin

Egzamin z fizyki transportu, 1/02/08 – 1. termin
Wyniki pozytywne
119 249 (4.0)
Jerzy Maszewski (-3.0)
Krzysztof Mazanek (-3.0)
195 716 (4.5)
195 744 (3.5)
Przepraszam za podawanie „imienne” wyników – ale nie mam numerów indeksu wszystkich z Państwa.
poprawa – następne strony
zadania
1. Pewna pani jadąca w windzie o objętości V0 = 5 m3 i powierzchni podłogi S = 2 m2 , w Pałacu
Kultury i Nauki w Warszawie, kichnęła do puderniczki (przy okazji kończenia porannej toalety).
Winda natychmiast wypełniła się pudrem o stężeniu C0 = 10 pyłków/cm3 , który zaczął osiadać na
podłodze z prędkością Vgr = 2 cm/s. Po czasie t1 = 1 min. od kichnięcia, pewien pasażer (alergik)
włączył wentylację, która nawiewała czyste powietrze o wydatku Q = 2 L/s, mieszając dokładnie
puder w windzie (puder leżący na podłodze nie unosił się powtórnie, a ciśnienie w windzie pozostawało
przez cały czas stałe).
a) Podaj nazwy dwóch typów sedymentacji, z jakimi mamy tutaj do czynienia.
b) Oblicz szybkość sedymentacji Q(1)
s (tj. całkowity strumień osadzającego się pudru na podłodze)
do momentu włączenia wentylacji.
c) Oblicz koncentrację pudru w pomieszczeniu po włączeniu wentylacji w funkcji czasu (przyjmując
za zerową chwilę, w której ją włączono) oraz szybkość sedymentacji w funkcji czasu Q(2)
s (t).
d) Który z mechanizmów usuwania pudru jest tutaj bardziej wydajny: wydmuchiwanie pudru z
pomieszczenia czy sedymentacja? Wsk.: Porównaj odpowiednie stałe czasowe.
Rozwiązanie:
W pierwszej fazie mamy do czynienia z sedymentacją (w nieruchomym płynie); całkowity strumień
osadzający się Q(1) = C0 Vgr S = 4 · 10−5 pyłków/s.
V0
Po upływie t1 liczba pyłków zmniejsza się: N = C0 S( −Vgr t1 ); te pyłki wymieszane w całej objętości
S
dają koncentrację początkową dla procesu sedymentacji z ciągłym (kompletnym) mieszaniem:
Vgr t1 S
D0 = C0 1 −
.
V0
Równanie bilansu dla procesu sedymentacji z ciągłym (kompletnym) mieszaniem – stężenie C(t):
dC
V0 = −QC − CVgr S;
dt
jego rozwiązanie – z warunkiem C(t = 0) = D0 – to
1
Q
Vgr S
=
+
.
τ
V0
V0
C(t) = D0 e−t/τ ;
Z porównania strumieni
QC(t)
Jwydmuch
=
= . . . = 0.05
Jsedym
Vgr SC(t)
wynika, że znacznie wydajniejsza jest sedymentacja. (to samo z porównaniu stałych czasowych: τ
jest średnia harmoniczną z dwóch stałych sterujących procesy sedymentacji i wydmuchiwania).
2.
Układ składa się z dwóch współosiowych rur o promieniach a i b, przy czym a < b. Rura zewnętrzna
spoczywa natomiast wewnętrzna porusza się z prędkością u0 = 1 m/s wzdłuż osi Z. Przestrzeń między
rurami jest wypełniona wodą.
z-owa składowa równania Navier’a-Stokes’a we współrzędnych cylindrycznych (r, θ, z) ma postać:
ρ
∂uz uθ ∂uz
∂uz
∂uz
+ ur
+
+ uz
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
!
"
∂uz
1 ∂
=µ
r
r ∂r
∂r
!
#
1 ∂ 2 u z ∂ 2 uz
∂p
+ 2
+
−
,
2
2
r ∂φ
∂z
∂z
gdzie ρ = 1 g/cm3 – gęstość wody, µ ≈ 10−3 Pa s – współczynnik lepkości wody. Oblicz:
a)stacjonarne pole prędkości wody (najpierw, wykorzystując symetrię problemu uprość powyższe
równanie);
b) pęd wody przypadający na jednostkę długości rury.
c) Czy temperatura wody wzrasta w wyniku wyciągania wewnętrznej rury? Odpowiedź jakościowo
uzasadnij. Uwaga! Ciśnienie wody wzdłuż osi rury nie zmienia się.
Rozwiązanie:
z całego równania zostaje
1 ∂
∂uz
r
r ∂r
∂r
!
= 0;
uz = C ln r + D,
gdzie stałe wyliczamy z dwóch warunków brzegowych: uz (a) = u0 ,
uz (r) = u0
ln r/b
.
ln a/b
uz (b) = 0. Daje to
Jednostka długości rury ma pęd uz ≡ u)
P =
Z
!
b
a
u(r)dm = . . . dm = 1 · 2πrρdr = . . . = 2πρu0
−a2
b 2 − a2
+
.
2
4 ln b/a
(Tak jak zawsze objętość płynu wyobrażamy sobie jako współśrodkowe „rurki” o promieniu wewnętrznym r i grubości dr.
Temperatura się podnosi – mamy do czynienie z procesami dysypatywnymi (tarcie); aby utrzymać
stałą prędkość musimy dostarczać energii.
3. Na dnie cylindra znajduje się płynny kwas solny. Na rysunku jest on oznaczony wskaźnikiem A
natomiast powietrze wskaźnikiem B.
Opary kwasu wydostają stają się na zewnątrz. Wykaż, że zachodzi relacja NA = cA u∗ + JA , a następnie, przyjmując że mamy do czynienia ze stanem ustalonym, wykaż że stężenie molowe powietrza w
połowie między powierzchnią kwasu a wylotem próbówki, xB (h/2), wynosi:
q
xB (h/2) = (1 − xA0 ) (1 − xAh )(1 − xA0 ),
gdzie xA0 , xAh to frakcje molowe amoniaku na poziomie „0” i na wysokości h.
Rozwiązanie: To standardowy problem; rozwiązanie: Clark: Procesy stacjonarne; bilans masy w małych elementach objętości: tutaj
4. Oblicz liczbę moli tlenu dyfundujących w jednej sekundzie do powierzchni cząsteczki kulistej grudki
węgla o średnim promieniu r = 10−2 cm w procesie częściowego spalania
2C + O2 → 2CO.
Przyjmij, że spalanie to jest kontrolowane dyfuzją tlenu (jest na tyle szybkie, że stężenie O2 przy
powierzchni ziarna wynosi 0) oraz, że współczynnik dyfuzji tlenu wynosi D = 1, 4 · 10−4 m2 /s, natomiast ciśnienie cząstkowe tlenu w powietrzu daleko od cząsteczki węgla wynosi pO2 = 0.21 atm. Dane
są: stała gazowa R = 8, 32 J/mol.K, temperatura spalania tlenu T = 827 K, ciśnienie atmosferyczne
p = 1 atm.
Rozwiązanie:
W układzie stacjonarnym zachodzi związek
Ni = −cDi
X
dxi
+ xi
Nj ;
dr
j
(1. prawo Ficka obowiązuje w układzie poruszającym się ze średnią prędkością – średnią ważoną, po
masach (gęstościach) lub liczbach moli).
U nas wskaźnik i ma dwie „wartości”: O –(tlen, O2 ) i CO (tlenek węgla). Mamy NCO = −2NO2 (bo
konsumpcja jednego mola tlenu generuje dwa mole tlenku węgla), a więc
X
Nj = NO2 + NCO = −NO2 ≡ NA
j
równanie:
dxA
+ xA (−NA ); albo
dr
dxA
(1 + xA )NA = −cDA
.
dr
NA = N( r). Mnożymy obie strony przez 4πr2 — NA 4πr2 = WA – to całkowity i stały strumień
składnika A. Dostajemy równanie
NA = −cDA
−
dxA
1
WA
= 4πr2
,
cDA
dr (1 + xA )
które całkujemy po r w granicach r = a (powierzchnia cząsteczki) do ∞. Zgodnie z tematem xA (a) =
0; rozwiązanie
W = −cDA a ln(1 + xA,∞ ).
xA = cA /c wyznaczamy ze stosunku ciśnienia parcjalnego tlenu do ciśnienia całkowitego (podane w
temacie).
!
p
.
W = −cDA a ln 1 +
pcalk
5. Podaj definicje liczb Reynoldsa Re i Peckleta Pe, wyrażając te liczby jako stosunki pewnych charakterystycznych czasów, dla procesów dyfuzji (τd ), transferu pędu (τν ) i konwekcji (τk ). Jakie znaczenie
mają występujące we wzorach na τν i τd długości (odległości) L? W jakich omawianych na zajęciach
problemach pojawiły się wzory (rozwiązania tych problemów), które pozwalają postulować takie
właśnie τν i τ ?
tu polecam choć pobieżne przeglądnięcie notatek (książek, materiałów w internecie).