Liga zadaniowa – styczeń 2015 1. Wyznacz wszystkie pary
Transkrypt
Liga zadaniowa – styczeń 2015 1. Wyznacz wszystkie pary
Liga zadaniowa – styczeń 2015 1. Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych x, y spełniających równanie . 2. Wykaż, że prosta dzieląca trójkąt na dwie figury o równych polach i równych obwodach przechodzi przez środek okręgu wpisanego w ten trójkąt. 3. Wyznacz objętość i pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa n-kątnego, dla którego promienie okręgów opisanych na ścianach bocznych i na podstawie mają długość r . 4. W trójkącie prostokątnym ABC z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość CD, otrzymując trójkąt ADC i DBC o obwodach 2p oraz 2q. Oblicz obwód trójkąta ABC. Zad. 1 Rozwiązanie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy i i Czyli Zad. 2 Z warunków zadania Niech O2 będzie punktem przecięcia dwusiecznej , gdzie obwód trójkąta i prostej k . Odległość O2 od |AB| oznaczam jako r 2. Pokażę, że O2 jest środkiem okręgu wpisanego w Przypuśćmy, że O1 jest środkiem okręgu wpisanego w o promieniu r1 i . czyli , ale , stąd i zatem prosta k przechodzi przez środek okręgu wpisanego w . Zad. 3 W podstawie n-kąt foremny P podstawy Bok wielokąta , czyli Ściana boczna: Liczę wyskość ściany bocznej (rys 2) Czyli ) (można też wykorzystać twierdzenie cosinusów) ) a Stąd P boczne )= Pc )) = )) Do obliczenia objętości potrzebna jest wysokość H ostrosłupa Można ją obliczyć np. z powyższego trójkąta = to Stad Zad. 4 Obwód trójkąta , Obwód trójkąta Oznaczam pole trójkąta , pole trójkąta pole trójkąta , Obwód trójkąta oczywiście (mają jednakowe kąty) w skali to analogicznie to y zatem = czyli Zatem Obwód trójkąta = a stąd