Zadania

Statystyka matematyczna (2 mie, 2013/2014)
1. Rozkłady prawdopodobieństwa
Ćw. 1.1 Zważono 10 paczek masła i otrzymano wyniki (w gramach): X1 , . . . , X10 . Zakładamy, że
jest to próbka losowa z rozkładu normalnego N(250, 102 ). Niech X̄ będzie średnią obliczoną
1 P10
na podstawie tej próbki, tzn. X̄ = 10
i=1 Xi
(a) Oblicz E X̄ i V arX̄.
(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że X̄ przekroczy 251?
(c) Oblicz E(X̄ − 250)2 .
Ćw. 1.2 Rozkład prawdopodobieństwa dziennej sprzedaży produktu A w pewnym sklepie jest
w przybliżeniu normalny, N(200, 402 ). Rozkład dziennej sprzedaży produktu B jest w przybliżeniu N(150, 302 ). Zakładamy, że wysokości sprzedaży produktów A i B są niezależne.
Oblicz
(a) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż A będzie większa niż dzienna sprzedaż B;
(b) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż każdego z produktów A i B przekroczy
150PLN;
(c) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż produktów A i B razem przekroczy 350PLN.
Ćw. 1.3 Niech FX będzie dystrybuantą zmiennej losowej X, a fX jej gęstością. Wyznaczyć dystrybuanty i gęstości następujacych zmiennych losowych:
(a) aX + b, a 6= 0,
(b) |X|,
(c) X 2 ,
√
(d) X, P (X ­ 0) = 1,
(e) sin(X), P X ∈ [− π2 , π2 ] = 1.
Ćw. 1.4 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie z ciągłą i ściśle rosnącą dystrybuantą F .
Pokazać, że zmienna losowa Y = F (X) ma rozkład jednostajny U(0, 1).
Ćw. 1.5 Niech U będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U(0, 1). Pokazać, że zmienne
losowe
Y = −λ ln(1 − U ),
Z = −λ ln(U ),
λ > 0,
mają rozkład wykładniczy E( λ1 ).
Ćw. 1.6 Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy E(λ), to zmienna losowa
Y = X 1/α , α > 0, ma rozkład Weibulla We(α, λ−1/α ).
1. Rozkłady prawdopodobieństwa
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 1.1 Typowy student spędza X godzin dziennie na czytaniu książek. Zakładamy, że X ma
rozkład normalny N (3, 22 ). Niech X̄ będzie średnią obliczoną na podstawie próbki 20 losowo
1
wybranych studentów, tzn. X̄ = 20
Xi , gdzie Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym
samym rozkładzie co X.
(a) Jaki jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X̄?
Statystyka matematyczna (2 mie, 2013/2014)
(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że X̄ przekroczy 4?
(c) Oblicz E(X̄ − 3)2 .
Zad. 1.2 Niech U będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U(0, 1) i niech F będzie
dystrybuantą pewnego rozkładu. Oznaczmy
F −1 (t) = inf{x ∈ R; F (x) ­ t},
0 < t < 1.
Pokazać, że zmienna losowa Y = F −1 (U ) ma rozkład o dystrybuancie F .
Zad. 1.3 Wykazać, że jeżeli zmienna losowa U ma rozkład jednostajny U(0, 1), to zmienna losowa
X = x0 U −1/α , x0 , α > 0, ma rozkład Pareto Pa(x0 , α).
Zad. 1.4 Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład Pareto Pa(x0 , α), to zmienna losowa
1/X ma rozkład potęgowy Po(1/x0 , α), a zmienna losowa ln(X/x0 ) ma rozkład wykładniczy
E(α).
Zad. 1.5 Niech X = (X1 , . . . , Xk ) będzie próbą prostą i niech Y =
k
P
Xi . Udowodnić następujące
i=1
stwierdzenia.
(a) Jeżeli Xi , i = 1, .!. . , k, mają rozkład dwumianowy B(ni , p), to Y ma rozkład dwumianowy B
k
P
ni , p .
i=1
(b) Jeżeli Xi!, i = 1, . . . , k, mają rozkład Poissona P(λi ), to Y ma rozkład Poissona
k
P
λi .
P
i=1
(c) Jeżeli Xi , i = 1, . . . , k, mają rozkład wykładniczy E(λ), to Y ma rozkład gamma
G (k, λ).
(d) Jeżeli Xi , i = 1,!. . . , k, mają rozkład Cauchy’ego C(αi , λi ), to Y ma rozkład Cauchy’ego
C
k
P
i=1
αi ,
k
P
λi .
i=1
Zad. 1.6 Udowodnić, że jeżeli zmienne losowe X1 , . . . , Xn są niezależne o jednakowym rozkładzie
n
P
wykładniczym E(λ), to zmienna losowa T (X) = 2λ Xi ma rozkład χ2 (2n).
i=1
Zad. 1.7 (*) Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N (0,
zmienna losowa
√ 1),
X
2
√
Y ma rozkład χ (n) i zmienne te są niezależne, to zmienna losowa n Y ma rozkład tStudenta T (n).
Zad. 1.8 (*) Wykazać, że jeżeli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1), to zmienna losowa X/Y ma rozkład Cauchy’ego C(0, 1).
Zad. 1.9 (*) Niech X1 , X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
wykładniczym E(λ). Niech Y = X1 − X2 , Z = X2 .
1. Wyznaczyć gęstość łącznego rozkładu wektora losowego (Y, Z).
2. Wykazać, że zmienna losowa Y ma rozkład Laplace’a La(0, λ1 ).
Zad. 1.10 (*) Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą prostą z rozkładu Poissona P(λ) i niech
T = X1 + · · · + Xn . Wyznaczyć warunkowy rozkład wektora losowego X pod warunkiem
T = t.